2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓19 利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題 文 北師大版

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1、課后限時集訓19 利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題 建議用時：45分鐘 1．(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ln x－x－1.證明： (1)f(x)存在唯一的極值點； (2)f(x)＝0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)． [解](1)證明：f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因為y＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0， 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0. 又當x

2、(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當x>x0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 因此，f(x)存在唯一的極值點． (2)證明：由(1)知f(x0)0， 所以，f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得＜1＜x0. 又f＝ln －－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根． 綜上，f(x)＝0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)． 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax＋b. (1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝ax恰有兩個不同的交點，求實數(shù)b的

3、值． [解](1)當a＝－1時，f(x)＝x3＋x2－x＋b， 則f′(x)＝3x2＋2x－1， 由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和. (2)函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝ax恰有兩個不同的交點，等價于f(x)－ax＝0有兩個不等的實根． 令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，則g′(x)＝3x2＋2x. 由g′(x)＞0，得x＜－或x＞0； 由g′(x)＜0，得－＜x＜0. 所以函數(shù)g(x)在和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 所以當x＝－時，函數(shù)g(x)取得極大值g＝＋b；當x＝0時，函數(shù)g(x)取得極小值為g(

4、0)＝b. 要滿足題意，則需g＝＋b＝0或g(0)＝b＝0，所以b＝－或b＝0. 3．(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)討論g(x)＝f(x)·在區(qū)間[0,1]上零點的個數(shù)． [解](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a， 當a≤0時，f′(x)＞0恒成立， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間； 當a＞0時，令f′(x)＜0，得x＜ln a，令f′(x)＞0，得x＞ln a， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，單調(diào)

5、遞增區(qū)間為(ln a，＋∞)． (2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝， 先考慮f(x)在區(qū)間[0,1]上的零點個數(shù)， ①當a≤1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增且f(0)＝0， ∴f(x)在[0,1]上有一個零點． ②當a≥e時，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減， ∴f(x)在[0,1]上有一個零點． ③當1＜a＜e時，f(x)在(0，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a,1)上單調(diào)遞增． 而f(1)＝e－a－1，當e－a－1≥0，即1＜a≤e－1時，f(x)在[0,1]上有兩個零點； 當e－a－1＜0，即e－1＜a＜e時，f(x)在[0,1]上有一個零點． 再考慮x＝時，由f＝0，得a＝2(－1)． 綜上所述，當a≤1或a＞e－1或a＝2(－1)時，g(x)在[0,1]上有兩個零點； 當1＜a≤e－1且a≠2(－1)時，g(x)在[0,1]上有三個零點. - 3 -