2021高考數學一輪復習 課后限時集訓33 等差數列及其前n項和 文 北師大版

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1、課后限時集訓33 等差數列及其前n項和 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 C　[設{an}的公差為d，則 由得解得d＝4. 故選C.] 2．(2019·峨眉山模擬)在等差數列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，則數列{an}的前11項和等于(　　) A．66 B．132 C．－66 D．－132 D　[因為a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根， 所以a3＋a9＝－

2、24， 又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12， S11＝＝＝－132.故選D.] 3．在數列{an}中，an＝28－5n，Sn為數列{an}的前n項和，當Sn最大時，n＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 C　[∵an＝28－5n，∴數列{an}為遞減數列． 令an＝28－5n≥0，則n≤，又n∈N*，∴n≤5. ∴當n＝5時，Sn最大．故選C.] 4．程大位《算法統宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤

3、，直到第八個孩子為止．分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數為(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 D　[由題意知，8個孩子所得棉花構成公差為17的等差數列，且前8項之和為996. 設首項為a1，則S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65， 則a8＝a1＋7d＝65＋7×17＝184，故選D.] 5．設數列{an}的前n項和為Sn，且an＝－2n＋1，則數列的前11項和為(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 D　[∵an＝－2n＋1，∴數列{an}是以－1為首項，－2為公差的等差數列，∴Sn＝＝－n2

4、， ∴＝＝－n，∴數列是以－1為首項，－1為公差的等差數列，∴數列的前11項和為11×(－1)＋×(－1)＝－66，故選D.] 二、填空題 6．(2019·全國卷Ⅲ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3＝5，a7＝13，則S10＝________. 100　[∵{an}為等差數列，a3＝5，a7＝13， ∴公差d＝＝＝2， 首項a1＝a3－2d＝5－2×2＝1， ∴S10＝10a1＋d＝100.] 7．若x≠y，數列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差數列，則＝________. 　[由題意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.] 8．在等差數列{a

5、n}中，公差d＝，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.] 三、解答題 9．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解](1)設{an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通項公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－1

6、6. 所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16. 10．已知等差數列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數列． (1)求{an}的通項公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. [解](1)設{an}的公差為d.由題意，得 a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數列． 從而

7、Sn＝(a1＋a3n－2) ＝(－6n＋56) ＝－3n2＋28n. 1．在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數列的通項公式為(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數列，所以＝n，即an＝.] 2．設an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，則下列命題中不正確的是(　　) A．{an＋1－an}是等差數列 B．{bn＋1－bn}是等差數列 C．{an－bn}是等差數列 D．{an＋bn}是等差數列 D　[對于A，因為an＝(n＋1)2， 所以a

8、n＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3， 設cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2. 所以{an＋1－an}是等差數列，故A正確； 對于B，因為bn＝n2－n(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝2n， 設cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2， 所以{bn＋1－bn}是等差數列，故B正確； 對于C，因為an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)， 所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1， 設cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3， 所以{an－bn}是等差數列，故C正確； 對于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，設cn＝an＋bn， cn＋1－cn

9、不是常數，故D錯誤．] 3．設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數m的值為________． 5　[由題意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，則公差d＝am＋1－am＝1. 由Sm＝0得＝0， 解得a1＝－am＝－2， 則am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.] 4．已知數列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求證：數列是等差數列，并求其通項公式； (2)設bn＝－15，求數列{|bn|}的前n項和Tn. [解](1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝

10、(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴數列是等差數列，其公差為2，首項為2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， ∴bn＋1－bn＝2，b1＝－13， ∴數列{bn}是首項為－13，公差為2的等差數列， 則數列{bn}的前n項和Sn＝＝n2－14n. 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7. ∴n≤7時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n. n≥8時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋

11、…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ 1．已知函數y＝f(x)對任意自變量x都有f(x)＝f(2－x)，且函數f(x)在[1，＋∞)上單調．若數列{an}是公差不為0的等差數列，且f(a6)＝f(a2 012)，則{an}的前2 017項之和為(　　) A．0 B．2 017 C．2 016 D．4 034 B　[由題意知a6＋a2 012＝2，則 S2 017＝＝＝2 017，故選B.] 2．各項均不為0的數列{an}滿足＝an＋2an，且a3＝2a8＝. (1)證明數列是等差數列，并求數列{an}的通項公式； (2)若數列{bn}的通項公式為bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn. [解](1)證明：依題意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，兩邊同時除以anan＋1an＋2， 可得＋＝， 故數列是等差數列， 設數列的公差為d. 因為a3＝2a8＝，所以＝5，＝10， 所以－＝5＝5d， 即d＝1， 所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2， 故an＝. (2)由(1)可知bn＝＝·＝，故Sn＝＝. - 6 -