2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線練習(xí) 理 北師大版

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1、第7講 雙曲線 [基礎(chǔ)題組練] 1．“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.因為方程＋＝1表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25， 所以“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A. 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選A.法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±

2、x，故選A. 法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 3．(2020·廣東揭陽一模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個交點組成一個正方形，則該雙曲線的離心率為(　　) A.－1 B． C. D．2 解析：選B.將x＝±c代入雙曲線的方程得y2＝?y＝±，則2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝(舍負)．故選B. 4．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方

3、程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選C. 如圖，不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標(biāo)分別為，.又A1，A2的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)． 所以＝，＝. 因為A1B⊥A2C，所以·＝0， 即(c＋a)(c－a)－·＝0， 即c2－a2－＝0， 所以b2－＝0，故＝1，即＝1. 又雙曲線的漸近線的斜率為±， 故該雙曲線的漸近線的方程為y＝±x. 5．(2020·河北衡水三模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(，0)作斜率為k(k＜－1)的直線與雙曲線過第

4、一象限的漸近線垂直，且垂足為A，交另一條漸近線于點B，若S△BOF＝(O為坐標(biāo)原點)，則k的值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 解析：選B.由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為y＝－x，過第二象限的漸近線的方程為y＝x，直線FB的方程為y＝k(x－)，聯(lián)立方程得?x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝. 令＝，得k＝－2或k＝(舍)．故選B. 6．(2020·黃山模擬)過雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(－，0)，作圓(x－)2＋y2＝4的切線，切點在雙曲線E上，則E的離心率等于(　　) A．2 B． C. D． 解析：選B.

5、設(shè)圓的圓心為G，雙曲線的左焦點為F.由圓的方程(x－)2＋y2＝4，知圓心坐標(biāo)為G(，0)，半徑R＝2，則FG＝2. 設(shè)切點為P， 則GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2， 即(2＋2a)2＋4＝20， 即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 7．設(shè)F為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，若線段OF的垂直平分線與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的交點到另一條漸近線的距離為|OF|，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C．2 D．3 解析：選B.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)

6、的漸近線方程為y＝±x，線段OF的垂直平分線為直線x＝，將x＝代入y＝x，則y＝，則交點坐標(biāo)為， 點到直線y＝－x，即bx＋ay＝0的距離d＝＝|OF|＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 8．已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：選B.因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MF

7、O＝60°，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B. 9．(2020·湛江模擬)設(shè)F為雙曲線E：－＝1(a，b＞0)的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|＝－1，則雙曲線E的方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：選D.雙曲線E：－＝1的漸近線方程為y＝±x， 因為四邊形OAFB為菱形， 所以對角線互相垂直平分，

8、所以c＝2a，∠AOF＝60°， 所以＝. 則有 解得P. 因為|PF|＝－1， 所以＋＝(－1)2，解得a＝1， 則b＝， 故雙曲線E的方程為x2－＝1. 故選D. 10．已知雙曲線－＝1(b＞0)的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且⊙F與雙曲線的漸近線相切，若過點A作⊙F的兩條切線，切點分別為M，N，則|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．4 解析：選D.因為雙曲線－＝1(b＞0)的虛軸長為8， 所以2b＝8，解得b＝4， 因為a＝3， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，

9、0)， 因為⊙F與雙曲線的漸近線相切， 所以⊙F的半徑為＝4， 所以|MF|＝4， 因為|AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝＝4， 因為S四邊形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|， 所以2××4×4＝×8|MN|， 解得|MN|＝4，故選D. 11．(2020·開封模擬)過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D．2 解析：選B.設(shè)P(0，3m)，由＝2，可得點M的坐標(biāo)為，因為OM⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以

10、M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，故選B. 12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且△ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞) 解析：選D.設(shè)雙曲線：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1(－c，0)， 令x＝－c，可得y＝±，可設(shè)A，B. 又設(shè)D(0，b)，可得＝，＝， ＝，＝. 由△ABD為鈍角三角形，可得∠DAB為鈍角或∠ADB為鈍角．

11、當(dāng)∠DAB為鈍角時，可得·<0，即為0－·<0，化為a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得10，由e＝， 可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>. 綜上可得，e的范圍為(1，)∪(，＋∞)．故選D. 13．焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案：－＝1

12、 14．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F1作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線的右支于點P，且切點為T，已知O為坐標(biāo)原點，M為線段PF1的中點(點M在切點T的右側(cè))，若△OTM的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析：連接OT，則OT⊥F1T， 在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b. 設(shè)雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點，O為坐標(biāo)原點， 所以O(shè)M＝PF2， 所以|MO|－|MT|＝|PF2|－ ＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a， 故

13、|MO|＝，|MT|＝， 由勾股定理可得a2＋＝，即＝， 所以漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 15．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是________． 解析：由題意知a＝，b＝1，c＝， 設(shè)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． 因為·<0， 所以(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0. 因為點M(x0，y0)在雙曲線C上， 所以－y＝1，即x＝2＋2y， 所以2＋2y－3＋y<0，所以－

14、，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為________． 解析：由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線y＝x代入雙曲線C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因為e>1，所以e2＝2＋，所以e＝. 答案： [綜合題組練] 1．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　)

15、 A. B． C.＋1 D． 解析：選A. 法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′， 因為PF是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A. 法二：連接OE，因為|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，設(shè)F′為雙曲線的右焦點，連接PF′，因為O，E分別為線段FF′，F(xiàn)P

16、的中點，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝. 2．(2020·漢中模擬)設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是∠F1PF2的平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標(biāo)原點，則|OQ|(　　) A．為定值a B．為定值b C．為定值c D．不確定，隨P點位置變化而變化 解析：選A.延長F1Q，PF2交于點M，則三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a，由三角形中位線定

17、理可得|OQ|＝|F2M|＝a，故選A. 3．以橢圓＋＝1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.已知點M的坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則S△PMF1－S△PMF2＝(　　) A．2 B．4 C．1 D．－1 解析：選A.由題意，知雙曲線方程為－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2. 又結(jié)合平面幾何知識可得，△F1PF2的內(nèi)心在直線x＝2上，所以點M(2，1)就是△F1PF2的內(nèi)心． 故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.

18、 4．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 解析：通解：因為·＝0，所以F1B⊥F2B，如圖． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為＝，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因為tan ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以

19、c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2. 優(yōu)解：因為·＝0，所以F1B⊥F2B， 在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得B，因為點B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2. 答案：2 5．已知雙曲線C：－y2＝1，直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，則直線l所過定點為________． 解析：設(shè)

20、A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0， 所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. 因為以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1， 即·＝－1， 所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0， 即＋＋＋4＝0， 所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝. 當(dāng)m＝2k時，l的方程為y＝k(x＋2)，直線過定點(－2，0)，與已知矛盾

21、； 當(dāng)m＝時，l的方程為y＝k，直線過定點，經(jīng)檢驗符合已知條件． 故直線l過定點. 答案： 6．已知P為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一點，經(jīng)過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點．若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)＝時，△AOB的面積為2b，則雙曲線C的實軸長為________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)， 則x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2， 所以－＝1. 由題意知A在直線y＝x上，B在y＝－x上，則y1＝x1，y2＝－x2. 所以－＝1，即b2(x1＋x2)2－a2(x1－x2)2＝a2b2， 化簡得：a2＝x1x2， 由漸近線的對稱性可得sin∠AOB＝sin 2∠AOx ＝＝＝＝. 所以△AOB的面積為|OA||OB|sin∠AOB＝··sin∠AOB ＝·· ＝x1x2··· ＝a2··[1＋()2]＝ab＝2b，解得a＝.所以雙曲線C的實軸長為. 答案： 13