《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練63 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練63 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文(含解析)(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、題組層級(jí)快練(六十三)
1.若過原點(diǎn)的直線l與雙曲線-=1有兩個(gè)不同交點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是( )
A.(-,] B.(-,)
C.[-,] D.(-∞,-]∪[,+∞)
答案 B
解析 ∵-=1,其兩條漸近線的斜率分別為k1=-,k2=,要使過原點(diǎn)的直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),畫圖可知,直線l的斜率的取值范圍應(yīng)是[0,)∪(-,0].
2.已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為( )
A.3 B.2
C. D.
答案 C
解析 設(shè)y-1=k(x-1),∴y=kx+1-k.
代入橢圓方程,得x2+2(k
2、x+1-k)2=4.
∴(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.
由x1+x2==2,得k=-,x1x2=.
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4-=.
∴|AB|=·=.
3.(2019·遼寧師大附中期中)過點(diǎn)M(-2,0)的直線m與橢圓+y2=1交于P1,P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為( )
A.2 B.-2
C. D.-
答案 D
解析 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則
兩式相減,得+(y1+y2)(y1-y2)=0.
3、
即+2y(y1-y2)=0.
∴k1=-,又∵k2=.
∴k1·k2=-.
4.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB,CD,則+=( )
A.2 B.4
C. D.
答案 D
解析 根據(jù)題意,拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0),直線CD的方程為y=-x+1,由得y2-(2+4k2)y+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得yA+yB=2+4k2,所以|AB|=y(tǒng)A+yB+2=4+4k2,同理|CD|=y(tǒng)C+yD+2=4+,所以+=+=,故選D.
5.(2019·福州外國(guó)語學(xué)校適應(yīng)性考試)已知雙曲線C:-=1(a
4、>0,b>0)的焦距為2,拋物線y=x2+與雙曲線C的漸近線相切,則雙曲線C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
答案 D
解析 由題意可得c=,即a2+b2=5,雙曲線的漸近線方程為y=±x.將漸近線方程和拋物線方程y=x2+聯(lián)立,可得x2±x+=0,由漸近線和拋物線相切可得Δ=-4××=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=1,可得雙曲線的方程為-y2=1.故選D.
6.(2019·濰坊考試)已知拋物線y2=4x與直線2x-y-3=0相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)OA,OB的斜率分別為k1,k2,則+的值為( )
5、
A.- B.-
C. D.
答案 D
解析 設(shè)A(,y1),B(,y2),易知y1y2≠0,則k1=,k2=,所以+=,將x=代入y2=4x,得y2-2y-6=0,所以y1+y2=2,+=.
7.(2019·石家莊質(zhì)量檢測(cè)一)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A平分線段F1B,則該雙曲線的離心率是( )
A. B.2+
C.2 D.+1
答案 B
解析 由題意可知A是F1B的中點(diǎn),O是F1F2的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),連接BF2,則OA是△F1BF2的中位線.故
6、OA∥BF2,故F1F2⊥BF2,又∠BF1F2=60°,|F1F2|=2c,∴|BF1|=4c,|BF2|=2c,∴2a=4c-2c,∴e==2+,故選B.
8.(2019·滄州七校聯(lián)考)已知直線l1:y=kx+2(k>0)與橢圓C:+=1相切,且切點(diǎn)為M,F(xiàn)是橢圓C的左焦點(diǎn),直線l2過點(diǎn)M且垂直于直線l1,交橢圓于另一點(diǎn)N,則△MNF的面積是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由可得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
因?yàn)橹本€l1與橢圓C相切于點(diǎn)M,所以Δ=(16k)2-4(3+4k2)×4=48(4k2-1)=0,
又k>0,所以k=,M(-1,)
7、,
故l2:y=-2(x+1)+=-2x-,
代入橢圓方程得19x2+8x-11=0,
解得x1=-1,x2=,則y1=,y2=-,
設(shè)l2與x軸的交點(diǎn)為A,則A(-,0),
又F(-1,0),所以△MNF的面積S=|AF|·|y2-y1|=××|--|=.故選D.
9.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓上,則橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設(shè)焦點(diǎn)F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(m,n),
則所以
所以m===(1-2e2)c,n===2be2.
因?yàn)辄c(diǎn)P(
8、m,n)在橢圓上,所以+=1,即(1-2e2)2e2+4e4=1,即4e6+e2-1=0,將各選項(xiàng)代入知e=符合,故選D.
10.(2019·福州質(zhì)檢)已知圓C:(x-5)2+(y-)2=8,拋物線E:x2=2py(p>0)上兩點(diǎn)A(-2,y1)與B(4,y2),若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切,則E的準(zhǔn)線方程為( )
A.x=- B.y=-1
C.y=- D.x=-1
答案 C
解析 由題意知,A(-2,),B(4,),∴kAB==,設(shè)拋物線E上的切點(diǎn)為(x0,y0),
由y=,得y′=,∴=,∴x0=1,∴切點(diǎn)為(1,),
∴切線方程為y-=(x-1),
9、即2x-2py-1=0,
∵切線2x-2py-1=0與圓C相切,∴圓心C(5,)到切線的距離為2,即=2,
∴31p2+18p-49=0,∴(p-1)(31p+49)=0,∵p>0,∴p=1.
∴拋物線x2=2y的準(zhǔn)線方程為y=-,故選C.
11.(2019·廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3,則|BF|=________.
答案
解析 ∵p=2,+=,
∴+=1,∴|BF|=.
12.(2019·武漢市武昌高三調(diào)考)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,且=3,則||=_______
10、_.
答案
解析 過點(diǎn)P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1,
由=3,得|PM|=2|PF|.
又由拋物線的定義知|PF|=|PP1|,所以|PM|=2|PP1|.
由三角形相似,得===,所以|PP1|=,所以||=.
13.(2019·天星聯(lián)考二)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過A作直線l與拋物線交于M,N兩點(diǎn),則|FM|2+|FN|2的取值范圍為________.
答案 (8,+∞)
解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),其準(zhǔn)線x=-1與x軸交于A(-1,0),顯然直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程為y=k(x+1),k≠0,與y2=4x聯(lián)立并化簡(jiǎn)整
11、理得x2+(2-)x+1=0,Δ=(2-)2-4>0,即>1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-2,x1x2=1.
方法一:由拋物線的定義知,|FM|=x1+1,|FN|=x2+1,則|FM|2+|FN|2=(x1+1)2+(x2+1)2=(x1+x2)2-2x1x2+2(x1+x2)+2=(-2)2+2(-2)=(-1)2-1>8,即|FM|2+|FN|2的取值范圍為(8,+∞).
方法二:由兩點(diǎn)間的距離公式,知|FM|2+|FN|2=(x1-1)2+y12+(x2-1)2+y22=(x1-1)2+4x1+(x2-1)2+4x2=(x1+x2)2-2x1x2+2(x1
12、+x2)+2=(-2)2+2(-2)=(-1)2-1>8,即|FM|2+|FN|2的取值范圍為(8,+∞).
14.(2019·河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知拋物線C:x2=2py(y>0),過焦點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn),D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn).
(1)若AB∥l,且△ABD的面積為1,求拋物線C的方程;
(2)設(shè)M為AB的中點(diǎn),過M作l的垂線,垂足為N,證明:直線AN與拋物線相切.
答案 (1)x2=2y (2)略
解析 (1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.
∴S△ABD=p2=1.∴p=1.
∴拋物線C的方程為x2=2y.
(2)證明:設(shè)直線AB的方程為y
13、=kx+,
聯(lián)立得x2-2kpx-p2=0.①
設(shè)方程①的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=2kp,x1x2=-p2.
設(shè)A(x1,),B(x2,).
設(shè)M(kp,k2p+),N(kp,-).
∴kAN=====.
又∵x2=2py,∴y′=.
∴拋物線x2=2py在點(diǎn)A處的切線斜率k=.
∴直線AN與拋物線相切.
15.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn).
(1)若=2,求直線AB的斜率;
(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值.
答案 (1)±2 (2)4
解析 (1)依題意知F(1,0)
14、,設(shè)直線AB的方程為x=my+1.
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x,得
y2-4my-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.①
因?yàn)椋?,所以y1=-2y2.②
聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=±.
所以直線AB的斜率是±2.
(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得M是線段OC的中點(diǎn).
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.
因?yàn)?S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|
==4,
所以當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值是4.
16.(2019·河北唐山一中期
15、末)已知拋物線C:x2=2py(p>0),圓O:x2+y2=1.
(1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓上,且A為C和圓O的一個(gè)交點(diǎn),求|AF|;
(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點(diǎn)M,N,求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值.
答案 (1)-1 (2)2
解析 (1)由題意得F(0,1),∴C:x2=4y.
解方程組得yA=-2,∴|AF|=-1.
(2)設(shè)M(x0,y0),則切線l:y=(x-x0)+y0,整理得x0x-py-py0=0.
由|ON|=1,得|py0|==.
∴p=且y02-1>0.
∴|MN|2=|OM|2-1=x02+y02-1=2py0+y02-1=+y02-1=4++(y02-1)≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y0=時(shí)等號(hào)成立.
∴|MN|的最小值為2,此時(shí)p=.
8