（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓練習(xí) 文 新人教A版

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1、第1講　直線與圓 一、選擇題 1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，則a的值等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－2 解析：選D.直線ax＋2y＋1＝0的斜率k1＝－，直線x＋y－2＝0的斜率k2＝－1，因?yàn)閮芍本€相互垂直，所以k1·k2＝－1，即(－)·(－1)＝－1，所以a＝－2. 2．半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝

2、4 解析：選C.設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，－a)(a>0)，則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2，所以a＝2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故選C. 3．已知直線l：y＝x＋1平分圓C：(x－1)2＋(y－b)2＝4的周長，則直線x＝3與圓C的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定 解析：選B.由已知得，圓心C(1，b)在直線l：y＝x＋1上，所以b＝1＋1＝2，即圓心C(1，2)，半徑為r＝2.由圓心C(1，2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)直線與圓相切． 4．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)兩圓x2＋y2＋4x－4y＝

3、0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長為(　　) A. B．4 C. D. 解析：選D.兩圓方程相減，得直線MN的方程為x－2y＋4＝0，圓x2＋y2＋2x－8＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝9，所以圓x2＋y2＋2x－8＝0的圓心為(－1，0)，半徑為3，圓心(－1，0)到直線MN的距離d＝，所以線段MN的長為2＝.故選D. 5．(一題多解)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線x＋y－m＝0與圓O：x2＋y2＝8交于不同的兩點(diǎn)A，B，若圓上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．±1 B．±2 C．±2 D．±2 解

4、析：選B.通解：由題意知，點(diǎn)C和圓心O在直線AB的同側(cè)，且圓心O在線段AB的垂直平分線上，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，圓O的半徑r＝2，則|CD|＝|OD|＋r＝|AB|.因?yàn)閨OD|＝，|AB|＝2，所以＋2＝×2，解得m＝±2. 優(yōu)解：設(shè)圓O的半徑為r，則r＝2，由圓周角∠ACB＝60°，得圓心角∠AOB＝120°，則圓心O到直線x＋y－m＝0的距離d＝r＝，所以＝，解得m＝±2. 6．已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B分別是切點(diǎn)，若四邊形PACB的面積的最小值是2，則k的值為(　　) A．1 B. C.

5、 D．2 解析：選D.由題意知，圓C的圓心為C(0，1)，半徑r＝1，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，若四邊形PACB的面積的最小值是2，則S△PBC的最小值為1.而S△PBC＝r|PB|＝|PB|＝1，則|PB|的最小值為2，此時(shí)|PC|取得最小值，而|PC|的最小值為圓心到直線的距離，所以＝＝，即k2＝4，由k>0，解得k＝2. 二、填空題 7．已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝________． 解析：因?yàn)閳AC：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑為2，直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝±. 答案：±

6、 8．(2019·廣州市調(diào)研測試)若點(diǎn)P(1，1)為圓C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為______． 解析：由圓的方程易知圓心C的坐標(biāo)為(3，0)，又P(1，1)，所以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.由弦MN所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P(1，1)，得所求直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 9．已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，直線l1：y＝x，l2：y＝kx－1.若直線l1，l2被圓C所截得的弦的長度之比為1∶2，則k的值為______． 解析：依題意知，圓C：(x－2)2＋y2＝

7、4的圓心為C(2，0)，半徑為2.圓心C到直線l1：y＝x的距離為＝，所以直線l1被圓C所截得的弦長為2×＝2.圓心C到直線l2：y＝kx－1的距離d＝，所以直線l2被圓C所截得的弦長為2，由題意知2∶(2)＝1∶2，解得d＝0，故直線l2過圓心C.所以2k－1＝0，解得k＝. 答案： 三、解答題 10．已知點(diǎn)P(0，5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：(1)如圖所示， |AB|＝4， 將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 所以圓

8、C的圓心坐標(biāo)為(－2，6)，半徑r＝4， 設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，所以|AD|＝2，|AC|＝4，C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，6)． 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 若直線l的斜率存在，設(shè)為k， 則直線l的方程為y－5＝kx， 即kx－y＋5＝0. 由點(diǎn)C到直線AB的距離公式為＝2，得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0. 所以所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)， 則CD⊥PD，即·＝0， 所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化簡

9、得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 11．(2018·高考全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 因此l的方程為

10、y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 12．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x＋3y－29＝0相切． (1)設(shè)直線ax－y＋5＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)在(1)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P(－2，4)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)設(shè)圓心

11、為M(m，0)(m∈Z)． 因?yàn)閳A與直線4x＋3y－29＝0相切，且圓的半徑為5， 所以＝5，即|4m－29|＝25. 因?yàn)閙為整數(shù)，所以m＝1. 所以圓的方程是(x－1)2＋y2＝25. 將ax－y＋5＝0變形為y＝ax＋5， 并將其代入圓的方程，消去y并整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0.　 由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點(diǎn)， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，即12a2－5a>0， 解得a<0或a>. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪. (2)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在． 由(1)得a≠0，則直線l的斜率為－. 所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0. 因?yàn)橹本€l垂直平分弦AB， 所以圓心M(1，0)必在直線l上． 所以1＋0＋2－4a＝0， 解得a＝. 因?yàn)椤剩? 所以存在實(shí)數(shù)a＝，使得過點(diǎn)P(－2，4)的直線l垂直平分弦AB. - 6 -