數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.2 直接證明與間接證明 6.2.2 間接證明：反證法 湘教版選修2-2

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1、1了解間接證明的一種基本方法反證法2了解反證法的思考過程、特點3結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，理解反證法的推理過程，證明步驟，體會直接證明與間接證明的區(qū)別與聯(lián)系62.2間接證明：反證法【課標要求】1間接證明不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的 為假，或改證它的為真，以間接地達到目的是間接證明的一種基本方法2一般地，先假設(shè)原命題的 ，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出與已知事實相矛盾的結(jié)果，這個矛盾的結(jié)果說明原命題結(jié)論的否定不成立，從而間接肯定了原命題結(jié)論成立，像這樣一種間接證法，稱為 自學(xué)導(dǎo)引 反論題等價命題反證法否定成立反證法3反證法證題的一般步驟：(1)；(2)；(3)4運用反證法的關(guān)鍵是 反設(shè)

2、歸謬結(jié)論導(dǎo)出矛盾有人說，反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？提示這種說法是錯誤的，反證法是否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題命題的否定與原命題是對立的，原命題為真，其命題的否定一定為假自主探究 用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角中至少有一個大于等于60”時，反設(shè)正確的是()A三個內(nèi)角都小于60B三個內(nèi)角都大于60C三個內(nèi)角中至多有一個大于60D三個內(nèi)角中至多有兩個大于60解析“至少有一個”的否定是“一個都沒有”，則反設(shè)為“三個內(nèi)角都小于60”答案：A預(yù)習(xí)測評 1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是()與已知

3、條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A B C D答案D“x0且y0”的否定形式為_答案：x0或y0用反證法證明：“ABC中，若AB，則ab”的結(jié)論的否定為_答案ab2 34 間接證明不是從正面確定命題的真實性，而是證明它的結(jié)論的否定不成立，或改證它的等價命題為真，以間接地達到目的，反證法是間接證明的一種基本方法反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，即從原命題的否定入手，由p與綈q合乎邏輯地推出一個矛盾結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個互相矛盾的判斷不能同真，必有一假，斷定命題的否定為

4、假；從而根據(jù)排中律，兩個互相矛盾的判斷不能同假，必有一真由此肯定命題“若p則q”為真要點闡釋 第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假定綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況典例剖析 題型一“至多”、“至少”型問題 點評從正面說明需分多種情況討論，而從反面進行證明只要研究一種情況的題目，適宜用反證法若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根證明假設(shè)方

5、程f(x)0在a，b上至少有兩個實根，即f()f()0.，不妨設(shè).又f(x)在a，b上為增函數(shù)，f()f()，這與f()f()0矛盾所以f(x)0在a，b上至多有一個實根1如圖所示，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直證明假設(shè)AC平面SOB，因為直線SO在平面SOB內(nèi)，所以SOAC.因為SO底面圓O，所以SOAB.所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圓O.這顯然與平面SAB與底面圓O相交矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直題型二“否定性”“肯定性”問題【例2】點評否定性的問題常用反證法，例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)

6、作為已知條件推導(dǎo)出矛盾若a是整數(shù)，且a2能被4整除，求證：a能被2整除證明假設(shè)a不能被2整除，則a2n(nZ)，所以a24n2，所以a2不一定能被4整除，這與已知相矛盾，假設(shè)不成立，即a能被2整除2 函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，對命題“若ab0(a、bR)，則f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論解(1)逆命題是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.(真命題)下面用反證法證明：假設(shè)ab0，則ab，ba.因為f(x)是(，)上的增函數(shù)，則f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，所以逆命題為真題型三綜合性問題【例3】(2)逆否命題：若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0，(真命題)下面用反證法證明：假設(shè)ab0，所以ab，ba，因為f(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)與已知矛盾，故假設(shè)不成立，因此逆否命題為真點評本題利用函數(shù)單調(diào)性進行推理論證，綜合性較強一般地，對直接證明有困難的命題的證明，可考慮用反證法糾錯心得防止命題的否定寫錯的措施有兩種：熟記“邏輯”中的真值表，p與綈p真假相反借助集合觀點，原命題與原命題的否定是補集關(guān)系.