（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習（含解析）

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1、第7講 拋物線 [基礎達標] 1．已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 解析：選C.由已知，得準線方程為x＝－2，所以F的坐標為(2，0)．又A(－2，3)，所以直線AF的斜率為k＝＝－. 2．已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)的準線與拋物線C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B兩點，C1的焦點為F，若△FAB的面積等于1，則C1的方程是(　　) A．x2＝2y B．x2＝y C．x2＝y D．x2＝y 解析：選A.由題意得，F，不妨設A，B(－p，－)，所以S

2、△FAB＝·2p·p＝1，則p＝1，即拋物線C1的方程是x2＝2y，故選A. 3．(2019·麗水調研)已知等邊△ABF的頂點F是拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，頂點B在拋物線的準線l上且AB⊥l，則點A的位置(　　) A．在C開口內 B．在C上 C．在C開口外 D．與p值有關 解析：選B.設B，由已知有AB中點的橫坐標為，則A，△ABF是邊長|AB|＝2p的等邊三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得點A在拋物線C上，故選B. 4．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

3、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2| D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2 解析：選C.根據拋物線的定義知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， 所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|. 5. 拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，經過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是(　　) A．4 B．3 C

4、．4 D．8 解析：選C.F(1，0)，直線AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0， 解得x＝3或x＝. 由于點A在x軸上方且直線的斜率為，所以其坐標為(3，2)． 因為|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率為，即傾斜角為60°，所以∠KAF＝60°， 所以△AKF為等邊三角形， 所以△AKF的面積為×42＝4. 6．(2019·杭州市高考模擬)設傾斜角為α的直線l經過拋物線Г：y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線Г交于A，B兩點，設點A在x軸上方，點B在x軸下方．若＝m，則cos α的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選A.設拋物線

5、y2＝2px(p>0)的準線為l：x＝－. 如圖所示，分別過點A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分別為M，N. 在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角α， 由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|， 根據拋物線的定義得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|， 所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|， 在直角三角形ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故選A. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為________． 解析：設M

6、(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入拋物線方程可得yM＝±p，則直線MF的斜率為＝＝±. 答案：± 8．已知拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，○·M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準線與○·M相切，那么p的值為________． 解析：將○·M的方程化為標準方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標為(－4，0)，半徑r＝2，又因為拋物線的準線方程為x＝－，所以＝2，p＝12或4. 答案：12或4 9．若點P在拋物線y2＝x上，點Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________． 解析：由題意得拋物線與圓不

7、相交， 且圓的圓心為A(3，0)， 則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 當且僅當P，Q，A三點共線時取等號， 所以當|PA|取得最小值時，|PQ|最小． 設P(x0，y0)，則y＝x0，|PA|＝＝＝ ，當且僅當x0＝時，|PA|取得最小值，此時|PQ|取得最小值－1. 答案：－1 10．(2019·浙江省名校協作體高三聯考)拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點(4，4)，焦點為F. (1)求拋物線的焦點坐標和標準方程； (2)P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程． 解：(1)拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點(4，4)，設拋物線解析式為y2

8、＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2， 所以拋物線標準方程為y2＝4x，焦點坐標為F(1，0)． (2)設M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中點，則x0＋1＝2x，0＋y0＝2y， 所以x0＝2x－1，y0＝2y， 因為P是拋物線上一動點，所以y＝4x0， 所以(2y)2＝4(2x－1)，化簡得y2＝2x－1. 所以M的軌跡方程為y2＝2x－1. 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線的方程

9、； (2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． 解：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－， 于是4＋＝5，所以p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因為點A的坐標是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)． 又因為F(1，0)，所以kFA＝， 因為MN⊥FA，所以kMN＝－. 又FA的方程為y＝(x－1)，① MN的方程為y－2＝－x，② 聯立①②，解得x＝，y＝， 所以點N的坐標為. [能力提升] 1．(2019·臺州書生中學月考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝120°，過AB的

10、中點M作拋物線準線l的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A． B．1 C． D．2 解析：選A.過A、B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，B1，連接AF、BF，由拋物線的定義知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|. 所以＝· ＝ ＝≤×＝， 當且僅當|AF|＝|BF|時取等號，所以的最大值為. 2．已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，·＝2(其中O為坐標原點)，則△ABO與△A

11、FO面積之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． 解析：選B.設A(x1，)，B(x2，－)， 則S△AFO＝×＝. 由·＝2得x1x2－＝2， 即x1x2－－2＝0，解得x1x2＝4， 所以(||·||)2＝(x＋x1)(x＋x2) ＝xx＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2 ＝20＋4(x1＋x2)， 因為cos∠AOB＝， 所以sin∠AOB＝ ＝. 所以S△AOB＝||||sin∠AOB ＝|||| ＝ ＝＝ ＝＝＋， 所以S△ABO＋S△AFO＝＋≥2＝3，當＝，即x1＝時等號成立． 3．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別

12、為a，b(a＜b)，原點O為AD的中點，拋物線y2＝2px(p＞0)經過C，F兩點，則＝________． 解析：依題知C，F，因為點C，F在拋物線上，所以兩式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍)． 答案：1＋ 4．(2019·臺州市高考模擬)如圖，過拋物線y2＝4x的焦點F作直線與拋物線及其準線分別交于A，B，C三點，若＝4，則||＝________． 解析： 分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為A1，B1，則DF＝p＝2，由拋物線的定義可知FB＝BB1，AF＝AA1， 因為＝4，所以＝＝， 所以FB＝BB1＝. 所以FC＝4FB＝6， 所以cos ∠D

13、FC＝＝， 所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得AF＝3， 所以AB＝AF＋BF＝3＋＝. 答案： 5．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內的圖象上的一個動點． (1)當|PF|＝2時，求點P的坐標； (2)求點P到直線y＝x－10的距離的最小值． 解：(1)由拋物線x2＝4y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內的圖象上的一個動點， 故設P(a＞0)， 因為|PF|＝2，結合拋物線的定義得＋1＝2， 所以a＝2，所以點P的坐標為(2，1)． (2)設點P的坐標為P(a＞0)， 則點P到直線y＝x－10的距離為＝. 因為－a＋10＝(a－2)2＋9，

14、 所以當a＝2時，－a＋10取得最小值9， 故點P到直線y＝x－10的距離的最小值為. 6．(2019·杭州寧波二市三校聯考)已知A，B，C是拋物線y2＝2px(p＞0)上三個不同的點，且AB⊥AC. (1)若A(1，2)，B(4，－4)，求點C的坐標； (2)若拋物線上存在點D，使得線段AD總被直線BC平分，求點A的坐標． 解：(1)因為A(1，2)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x. 設C，則由kAB·kAC＝－1，即·＝－1，解得t＝6，即C(9，6)． (2)設A(x0，y0)，B，C，則y＝2px0， 直線BC的方程為＝，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由kAB·kAC＝·＝－1， 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2， 與直線BC的方程聯立，化簡，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)， 故直線BC恒過點E(x0＋2p，－y0)． 因此直線AE的方程為y＝－(x－x0)＋y0， 代入拋物線的方程y2＝2px(p＞0)， 得點D的坐標為. 因為線段AD總被直線BC平分， 所以 解得x0＝，y0＝±p， 即點A的坐標為. 10