2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 綜合檢測(cè)一(標(biāo)準(zhǔn)卷)文(含解析) 新人教A版
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1、綜合檢測(cè)一(標(biāo)準(zhǔn)卷) 考生注意: 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁(yè). 2.答卷前,考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫(xiě)在相應(yīng)位置上. 3.本次考試時(shí)間120分鐘,滿(mǎn)分150分. 4.請(qǐng)?jiān)诿芊饩€(xiàn)內(nèi)作答,保持試卷清潔完整. 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知集合M={2,3,4,5},N={x|x2-5x+4<0},則M∩N為( ) A.{2,3,4,5} B.{2,3} C.{3,4,5} D.{2,3,4}
2、答案 B
解析 ∵N={x|x2-5x+4<0}={x|1 3、的最大值為( )
A.8B.7C.2D.1
答案 B
解析 作出題設(shè)約束條件可行域,如圖△ABC內(nèi)部(含邊界),作直線(xiàn)l:x+2y=0,把直線(xiàn)l向上平移,z增加,當(dāng)l過(guò)點(diǎn)B(3,2)時(shí),z=3+2×2=7為最大值.故選B.
5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 幾何體為一個(gè)四棱錐與一個(gè)半圓錐的組合體,四棱錐的高為,底面為邊長(zhǎng)為2的正方形;半圓錐高為,底面為半徑為1的半圓,因此體積為××22+××=,故選B.
6.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是( )
4、A.a(chǎn)n=n B.a(chǎn)n=n-1
C.a(chǎn)n=n2 D.a(chǎn)n=2n-1
答案 A
解析 由已知整理得(n+1)an=nan+1,∴=,
∴數(shù)列是常數(shù)列.且==1,∴an=n,故選A.
7.若sin=,則cos等于( )
A.B.-C.D.-
答案 B
解析 ∵sin=cos
=cos=,
∴cos=2cos2-1=2×-1=-.故選B.
8.如圖是一個(gè)算法的程序框圖,當(dāng)輸入的x的值為7時(shí),輸出的y值恰好是-1,則“?”處應(yīng)填的關(guān)系式可能是( )
A.y=2x+1 B.y=3-x
C.y=|x| D.y=
答案 A
解析 依題意,輸入的x的值為7,執(zhí)行4次循環(huán)體 5、,x的值變?yōu)椋?,這時(shí),如果輸出的y值恰好是-1,則函數(shù)關(guān)系式可能為y=2x+1.
9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象如圖所示,為了得到g(x)=cosωx的圖象,則只要將f(x)的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 A
解析 由函數(shù)的圖象可得A=1,
則=×=-,可得ω=2,
由圖象可得2×+φ=kπ(k∈Z),
又|φ|<,可得φ=,
故函數(shù)的解析式為f(x)=sin,
由f(x)=sin=cos
=cos,
故將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到g(x)=co 6、sωx的圖象.
10.球面上有三點(diǎn)A,B,C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形的三個(gè)頂點(diǎn),其中AB=6,BC=8,AC=10,球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半,則球的表面積為( )
A.B.150πC.D.
答案 A
解析 ∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC為直角三角形,其外接圓半徑為=5,即截面的圓的半徑為r=5,
又球心到截面的距離為d=,
∴R2-2=r2=25,R=,∴S=4πR2=.
11.拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A和B分別為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).且滿(mǎn)足∠AFB=120°,過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)MN,垂足為N,則的最大值為( ) 7、
A.B.1C.D.
答案 D
解析 如圖所示,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AQ,BP,垂足分別為Q,P,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,由拋物線(xiàn)的定義,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,由余弦定理得:|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab,整理得|AB|2=(a+b)2-ab,因?yàn)閍b≤2,則(a+b)2-ab≥(a+b)2-2=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,所以≥=3,所以≥,即≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即|AF|=|BF|時(shí)取等號(hào),故選D.
12.已知函數(shù)f(x)=,t∈R,若對(duì)任意的x 8、∈[1,2],f(x)>-x·f′(x)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.(-∞,) B.
C.(-∞,3) D.
答案 B
解析 ∵f′(x)=,
∴對(duì)任意的x∈[1,2],f′(x)·x+f(x)>0恒成立?對(duì)任意的x∈[1,2],>0恒成立
?對(duì)任意的x∈[1,2],2x2-2tx+1>0恒成立?t<=x+=x+恒成立,令g(x)=x+,
又g(x)=x+在[1,2]上單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(1)=,
∴t<.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)
13.已知向量a=(1,),b 9、=(3,m),且b在a上的投影為3,則a與b的夾角為_(kāi)_______.
答案
解析 ∵b在a上的投影為3,∴|b|cos〈a,b〉=|b|·==3,m=,cos〈a,b〉===,∵0≤〈a,b〉≤π,∴向量a與b的夾角為.
14.定義在R上函數(shù)f(x)=則不等式f(x)<-的解集為_(kāi)_______.
答案
解析 當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=2x-1<-,∴2x1時(shí),f(x)=|x-3|-1<-? 10、2|PT|,則a的最大值為_(kāi)_______.
答案
解析 易知A(-1,0),設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PT|,可得(x+1)2+y2=4(x2+y2-1),化簡(jiǎn)得2+y2=,可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)3x+4y-a=0與圓2+y2=有公共點(diǎn),所以d=≤,解得-≤a≤.故a的最大值為.
16.已知函數(shù)f(x)=-2x2+lnx(a>0),若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是____________.
答案 ∪[1,+∞)
解析 f′(x)=-4x+,
若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù),
即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0
在[1,2]上恒成 11、立,
即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.
令h(x)=4x-,則h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,
所以≥h(2)或≤h(1),
即≥或≤3,
又a>0,所以0<a≤或a≥1.
三、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿(mǎn)足b2+c2=bc+a2.
(1)求角A的大??;
(2)若等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,求的前n項(xiàng)和Sn.
解 (1)∵b2+c2=bc+a2,
∴cosA===,
又A∈(0,π),∴A=.
12、(2)設(shè){an}的公差為d,由已知得a1==2,且a=a2a8,
∴(2+3d)2=(2+d)(2+7d).又d不為零,∴d=2,
∴an=2n,
∴==-,
∴Sn=++…+
=1-=.
18.(12分)為選拔選手參加“全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽”,某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)競(jìng)賽”活動(dòng),為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿(mǎn)分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù) 13、).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x,y的值;
(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽”,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的概率.
解 (1)由題意可知,樣本容量n==50,
y==0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.
(2)由題意可知,分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)的學(xué)生有5人,記這5人分別為a1,a2,a3,a4,a5,分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的學(xué)生有2人,記這2人分別為b1,b2.抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種,分別為:
(a1 14、,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).
其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90,100]內(nèi)的情況有10種,分別為:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).
∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得 15、分在[90,100]內(nèi)的概率P=1-=.
19.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2AD=2,PD=BD=AD,且PD⊥底面ABCD.
(1)證明:BC⊥平面PBD;
(2)若Q為PC的中點(diǎn),求三棱錐A-PBQ的體積.
(1)證明 ∵AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,
∵AD∥BC,∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC.
∵PD∩BD=D,PD,BD?平面PBD,
∴BC⊥平面PBD.
(2)解 三棱錐A-PBQ的體積VA-PBQ與三棱錐A-QBC的體積相等,
而VA-QBC=VQ-ABC=VP-ABC=VP-A 16、BCD=××1××=.
∴三棱錐A-PBQ的體積VA-PBQ=.
20.(12分)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)和橢圓C2:+y2=1的離心率相同,且點(diǎn)(,1)在橢圓C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C2上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)交橢圓C1于A,C兩點(diǎn),且P恰為弦AC的中點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),試問(wèn)△AOC的面積是否為常數(shù),若是,請(qǐng)求出此常數(shù),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)由題知,+=1,且=,即a2=4,b2=2,
橢圓C1的方程為+=1.
(2)是.?、佼?dāng)直線(xiàn)AC的斜率不存在時(shí),必有P(±,0),此時(shí)|AC|=2,S△AOC=.
②當(dāng)直線(xiàn)AC的斜率存在時(shí),設(shè)其 17、斜率為k,點(diǎn)P(x0,y0),則AC:y-y0=k(x-x0),直線(xiàn)AC與橢圓C1聯(lián)立,得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-4=0,設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
則x0==-,即x0=-2ky0,
又x+2y=2,∴y=,
S△AOC=××·
=
=
=|y0|=.
綜上,△AOC的面積為常數(shù).
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax,a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且≥e2,求證:(x1-x2)f′(x1+x2)>.
(1)解 函數(shù)f(x)=lnx+ax,a∈R 18、的定義域?yàn)閧x|x>0},f′(x)=+a,
①當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)=+a>0,0 19、
請(qǐng)?jiān)诘?2~23題中任選一題作答.
22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=,直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù),0≤α<π).
(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)A,B,且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(2,2),求α.
解 (1)曲線(xiàn)C:ρ=,即ρsin2θ=4cosθ,
于是有ρ2sin2θ=4ρcosθ,
化為直角坐標(biāo)方程為y2=4x.
(2)方法一 ?(2+tsinα)2=4(2+tcosα),
即t2sin2α+(4sinα-4cosα)t-4=0.
由AB的中點(diǎn)為M(2, 20、2),得t1+t2=0,有4sinα-4cosα=0,所以k=tanα=1,
由0≤α<π得α=.
方法二 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
?(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
∵y1+y2=4,∴k=tanα==1,
由0≤α<π得α=.
方法三 設(shè)A,B(y1
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