小學(xué)數(shù)學(xué)解題的19種方法

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的19種措施 一、形象思維措施??????? ? 形象思維措施是指人們用形象思維來(lái)結(jié)識(shí)、解決問題的措施。它的思維基本是具體形象，并從具體形象展開來(lái)的思維過程。 形象思維的重要手段是實(shí)物、圖形、表格和典型等形象材料。它的結(jié)識(shí)特點(diǎn)是以個(gè)別體現(xiàn)一般，始終保存著對(duì)事物的直觀性。它的思維過程體現(xiàn)為表象、類比、聯(lián)想、想象。它的思維品質(zhì)體現(xiàn)為對(duì)直觀材料進(jìn)行積極想象，對(duì)表象進(jìn)行加工、提煉進(jìn)而提示出本質(zhì)、規(guī)律，或求出對(duì)象。它的思維目的是解決實(shí)際問題，并且在解決問題當(dāng)中提高自身的思維能力。 1、實(shí)物演示法 運(yùn)用身邊的實(shí)物來(lái)演示數(shù)學(xué)題目的條件和問題，及條件與條件，條件與問題之間的關(guān)系，在

2、此基本上進(jìn)行分析思考、謀求解決問題的措施。 這種措施可以使數(shù)學(xué)內(nèi)容形象化，數(shù)量關(guān)系具體化。例如：數(shù)學(xué)中的相遇問題。通過實(shí)物演示不僅可以解決“同步、相向而行、相遇”等術(shù)語(yǔ)，并且為學(xué)生指明了思維方向。再如，在一種圓形（方形）水塘周邊栽樹問題，如果能進(jìn)行一種實(shí)際操作，效果要好得多。 二年級(jí)數(shù)學(xué)教材中，“三個(gè)小朋友會(huì)面握手，每?jī)扇宋找淮?，共要握幾次手”與“用三張不同的數(shù)字卡片擺成兩位數(shù)，共可以擺成多少個(gè)兩位數(shù)”。像這樣的有關(guān)排列、組合的知識(shí)，在小學(xué)教學(xué)中，如果實(shí)物演示的措施，是很難達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的的。 特別是某些數(shù)學(xué)概念，如果沒有實(shí)物演示，小學(xué)生就不能真正掌握。長(zhǎng)方形的面積、長(zhǎng)方體的結(jié)識(shí)、圓柱

3、的體積等的學(xué)習(xí)，都依賴于實(shí)物演示作思維的基本。 因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)盡量多地制作某些數(shù)學(xué)教（學(xué)）具，并且這些教（學(xué)）具用過后要好好保存，可以反復(fù)使用。這樣可以有效地提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。 2、圖示法 借助直觀圖形來(lái)擬定思考方向，尋找思路，求得解決問題的措施。 圖示法直觀可靠，便于分析數(shù)形關(guān)系，不受邏輯推導(dǎo)限制，思路靈活開闊，但圖示依賴于人們對(duì)表象加工整頓的可靠性上，一旦圖示與實(shí)際狀況不相符，易使在此基本上的聯(lián)想、想象浮現(xiàn)謬誤或走入誤區(qū)，最后導(dǎo)致錯(cuò)誤的成果。例如有的數(shù)學(xué)教師愛徒手畫數(shù)學(xué)圖形，難免導(dǎo)致不精確，使學(xué)生產(chǎn)生誤解。 在課堂教學(xué)當(dāng)中，要多用圖示的措施來(lái)解決問題。有

4、的題目，圖畫出來(lái)了，成果也就出來(lái)的；有的題，圖畫好了，題意學(xué)生也就明白了；有的題，畫圖則可以協(xié)助分析題意、啟迪思路，作為其她解法的輔助手段。 例1? 把一根木頭鋸成3段需要24分鐘，鋸成6段需要多少分鐘？（圖略） 思維措施是：圖示法。 思維方向是：鋸幾次，每次用幾分鐘。 思路是：鋸3段鋸了幾次，每次用幾分鐘，鋸6段鋸了幾次，需要多少分鐘。 例2?? 判斷? 等腰三角形中，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，圖甲的面積比圖乙的面積大，圖甲的周長(zhǎng)比圖乙的周長(zhǎng)長(zhǎng)。（圖略） 思維措施：圖示法。 思維方向：先比較面積，再比較周長(zhǎng)。 思路：作條輔助線。圖甲占的面積大，圖乙所占面積小，因此“圖甲的面積比圖

5、乙的面積大”是對(duì)的的。線段AD比曲線AD短，因此“圖甲的周長(zhǎng)比圖乙的周長(zhǎng)長(zhǎng)”是錯(cuò)誤的。 3、列表法 運(yùn)用列出表格來(lái)分析思考、尋找思路、求解問題的措施叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比較、提示規(guī)律，也有助于記憶。它的局限性在于求解范疇小，合用題型狹窄，大多跟尋找規(guī)律或顯示規(guī)律有關(guān)。例如，正、反比例的內(nèi)容，整頓數(shù)據(jù)，乘法口訣，數(shù)位順序等內(nèi)容的教學(xué)大都采用“列表法”。 用列表法解決老式數(shù)學(xué)問題：雞兔同籠問題。制作三個(gè)表格：第一張表格是逐個(gè)舉例法，根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條……這樣逐個(gè)列舉，直至尋找到所求的答案；第二張表格是列舉了幾種后來(lái)發(fā)現(xiàn)了只

6、數(shù)與腿數(shù)的規(guī)律，從而減少了列舉的次數(shù)；第三張表格是從中間開始列舉，由于雞與兔共20只，因此各取10只，接著根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)狀況擬定列舉的方向。 4、摸索法 按照一定方向，通過嘗試來(lái)摸索規(guī)律、探求解決問題思路的措施叫做探究法。國(guó)內(nèi)出名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，在數(shù)學(xué)里，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，如何去找出公式來(lái)?！碧K霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，均有一種根深蒂固的需要，這就是但愿自己是一種發(fā)現(xiàn)者、研究者、摸索者，而在小朋友的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！皩W(xué)習(xí)要以探究為核心”，是新課程的基本理念之一。人們?cè)陔y以把問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)樸的、基本的、熟悉的、典型的問題時(shí)，常常采用的一種好措

7、施就是探究、嘗試。 第一、探究方向要精確，愛好要高漲，切忌胡亂嘗試或形式主義的探究。例如，教學(xué)“比例尺”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)“學(xué)生出題考教師”的教學(xué)情境,師：“目前我們考試好不好?”學(xué)生一聽：很奇怪，合法學(xué)生疑惑之時(shí)，教師說：“今天變化過去的考試措施，由你們出題考教師，樂意嗎?”學(xué)生聽后很感愛好。教師說：“這里有一幅地圖，你們用直尺任意量出兩地的距離，我都能不久地告訴你們這兩地之間的實(shí)際距離，相信嗎?”于是學(xué)生紛紛上臺(tái)度量、報(bào)數(shù)，教師都一種接一種地回答相應(yīng)的實(shí)際距離。學(xué)生這時(shí)更感到奇怪，異口同聲地說：“教師您快告訴我們吧，您是如何算的?”教師說：“其實(shí)呀，有一位好朋友在暗中協(xié)助教師，你們懂得它是誰(shuí)嗎

8、?想結(jié)識(shí)它嗎?”于是引出所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“比例尺”。 第二、定向猜想，反復(fù)實(shí)踐，在不斷分析、調(diào)節(jié)中尋找規(guī)律。 例3?? 找規(guī)律填數(shù)。 （1）1、4、?? 、10、13、?? 、19； （2）2、8、18、32、?? 、72、?? 。 第三，獨(dú)立探究與合伙探究結(jié)合。獨(dú)立，有自由的思維時(shí)空；合伙，可以知識(shí)上互補(bǔ)，措施上互相借鑒，不時(shí)還能碰撞出智慧的火花。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)盡量創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生去探究的情景，發(fā)明讓學(xué)生去探究的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)有探究精神和習(xí)慣的學(xué)生。 5、觀測(cè)法 通過大量具體事例，歸納發(fā)現(xiàn)事物的一般規(guī)律的措施叫做觀測(cè)法。巴浦洛夫說:"應(yīng)當(dāng)先學(xué)會(huì)觀測(cè),不學(xué)會(huì)觀測(cè)永遠(yuǎn)當(dāng)不了科學(xué)

9、家.” 小學(xué)數(shù)學(xué)“觀測(cè)”的內(nèi)容一般有：①數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)；②條件與結(jié)論之間的關(guān)系；③題目的構(gòu)造特點(diǎn)；④圖形的特點(diǎn)及大小、位置關(guān)系。 如：觀測(cè)一組算式：25×4＝4×25，62×11＝11×62，100×6＝6×100……歸納出乘法互換率：在乘法算式里，互換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變。 “觀測(cè)”的規(guī)定： 第一、觀測(cè)要細(xì)致、精確。 例4?? 找出下列各題錯(cuò)在哪里，并改正。 （1）25×16=25×（4×4）=（25×4）×（25×4）； （2）18×36+18×64=（18+18）×（36+64） 例5? 直接寫出下列各題的得數(shù)： （1）3.6+6.4??? (2)3.6+6

10、.04?? (3)125×57×0.04?? (4)(351－37－13)÷5 第二、科學(xué)觀測(cè)。科學(xué)觀測(cè)滲入了更多的理性因素,它是有目的,有籌劃地察看研究對(duì)象。例如，在教學(xué)長(zhǎng)方體的結(jié)識(shí)時(shí)，要做到“有序”觀測(cè)：（1）面——形狀、個(gè)數(shù)、面與面之間的關(guān)系；（2）棱——棱的形成、條數(shù)、棱與棱之間的關(guān)系（相對(duì)的棱相等；相對(duì)的棱有四條；長(zhǎng)方體的棱可以分為三組）；（3）頂點(diǎn)——頂點(diǎn)的形成、個(gè)數(shù)，結(jié)識(shí)頂點(diǎn)的一種重要作用是引出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的概念。 第三，?? ?觀測(cè)必然與思考結(jié)合。 例6? 7 10 6 18 這是一年級(jí)下學(xué)期的一道思考題，如果只觀測(cè)不思考，這道題目

11、讓干什么就不懂得。 6、典型法 針對(duì)題目去聯(lián)想已經(jīng)解過的典型問題的解題規(guī)律，從而找出解題思路的措施叫做典型法。典型是相對(duì)于普遍而言的。解決數(shù)學(xué)問題，有些需要用一般措施，有些則需要用特殊（典型）措施。例如，歸一、倍比和歸總算法、行程、工程、消同求異、平均數(shù)等。 運(yùn)用典型法必須注意： （1）要掌握典型材料的核心及規(guī)律。 例7 已知爸爸比兒子大30歲，爸爸今年的年齡正好是兒子的7倍。爸爸、兒子今年分別是多少歲？核心點(diǎn)在：爸爸比兒子大30歲，爸爸的年齡比兒子多幾倍。典型題均有典型解法，要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)，即要理解和掌握一般思路和解法，還要學(xué)會(huì)典型解法。 （2）熟悉典型材料，并能敏捷地聯(lián)想到所

12、合用的典型，從而擬定所需要的解題措施。 例8 見到“某都市有一條公共汽車線路，長(zhǎng)16500米，平均每隔500米設(shè)一種車站。這條線路需要設(shè)多少個(gè)車站？”這樣題目，就應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到上面所講到的“鋸木頭用多少分鐘”的典型問題。 （3）典型和技巧相聯(lián)系。 例9 甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共有82人，如果從乙隊(duì)調(diào)8人到甲隊(duì)，兩隊(duì)人數(shù)正好相等。甲乙兩隊(duì)本來(lái)各有多少人？這題目的技巧：調(diào)前、調(diào)后兩隊(duì)總?cè)藬?shù)沒變。先算調(diào)后各隊(duì)人數(shù)，再算本來(lái)各隊(duì)人數(shù)。 7、放縮法 通過對(duì)被研究對(duì)象的放縮估計(jì)來(lái)解決問題的措施叫做放縮法。放縮法靈活、巧妙，但有賴于知識(shí)的拓展能力及其想象能力。 例16 求12和9的最小公倍數(shù)。 求兩個(gè)數(shù)的

13、最小公倍數(shù)一般的措施是“短除式”措施，它是根據(jù)這兩個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)狀況來(lái)求出它們的最小公倍數(shù)的。但也有兩個(gè)典型措施：一是“如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)就是它們的乘積”；二是“如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)就是大數(shù)”。目前我們根據(jù)典型措施二，進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用，放大“大數(shù)”來(lái)求12和9的最小公倍數(shù)。 12不是9的倍數(shù)，就把它放大2倍，得24，仍然不是9的倍數(shù)，放大3倍，得36，36是9的倍數(shù)，那么，12和9的最小公倍數(shù)就是36。這種措施的核心點(diǎn)在于，如果大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)，就把大數(shù)翻番，但一定從2倍開始，如果一下子擴(kuò)大6倍，得數(shù)是它們的公倍數(shù)，而不是最小的了。 例17

14、期末考試，小剛的語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)的和是197分；語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)加起來(lái)是199分；數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)加起來(lái)是196分。想一想，小剛的哪科成績(jī)最高？你能算出小剛的各科成績(jī)嗎？ 思路一：“放大”。通過觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，語(yǔ)、數(shù)、外三科成績(jī)?cè)陬}目中各浮現(xiàn)兩次，我們求197+199+196的和，這個(gè)和是“語(yǔ)數(shù)外成績(jī)的2倍”，除以2得三科成績(jī)之和，再減去任意兩科的成績(jī)，就得到第三科的成績(jī)。 思路二：“縮小”。我們用語(yǔ)數(shù)成績(jī)的和減去語(yǔ)外的成績(jī)，199－197=2（分），這是數(shù)學(xué)減英語(yǔ)成績(jī)的差。數(shù)學(xué)和英語(yǔ)的和是196分，再求數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)就不難了。 放縮法有時(shí)運(yùn)用在估算和驗(yàn)算上。 例18 檢查下列計(jì)算成果與否對(duì)的？

15、 （1）18.7×6.9=137.3;??? (2)17485÷6.6=3609. 對(duì)于（1）用總體估計(jì)，放大至19×7=133，估計(jì)得數(shù)要不不小于133，因此本題成果錯(cuò)誤。對(duì)于（2）用最高位估計(jì)，把17看作18，把6.6看作6，18÷6=3，顯然答數(shù)的最高位不會(huì)是3，故本題成果也不對(duì)的。 例19 把雞和兔放在一起，共有48個(gè)頭，114只足，問雞、兔各有幾只。 這是一道雞兔同籠的典型問題，我們也用放縮法，不妨把雞和兔的足數(shù)縮小2倍，那么，雞的足數(shù)和它的頭數(shù)同樣，而兔的足數(shù)是它的只數(shù)的2倍。因此，總的足數(shù)縮小2倍后，雞和兔的總足數(shù)與它們的總只數(shù)相差數(shù)就是兔的只數(shù)。 8、驗(yàn)證法 你的成果

16、對(duì)的嗎？不能只等教師的評(píng)判，重要的是自己心里要清晰，對(duì)自己的學(xué)習(xí)有一種清晰的評(píng)價(jià)，這是優(yōu)秀學(xué)生必備的學(xué)習(xí)品質(zhì)。 驗(yàn)證法應(yīng)用范疇比較廣泛，是需要純熟掌握的一項(xiàng)基本功。應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐訓(xùn)練及其長(zhǎng)期體驗(yàn)積累，不斷提高自己的驗(yàn)證能力和逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的好習(xí)慣。 （1）用不同的措施驗(yàn)證。教科書上多次提出：減法用加法檢查，加法用減法檢查，除法用乘法驗(yàn)算，乘法用除法驗(yàn)算。 （2）代入檢查。解方程的成果對(duì)的嗎？用代入法，看等號(hào)兩邊與否相等。還可以把成果當(dāng)條件進(jìn)行逆向推算。 （3）與否符合實(shí)際?！扒Ы倘f(wàn)教教人求真，千學(xué)萬(wàn)學(xué)學(xué)做真人”陶行知先生的話要貫徹在教學(xué)中。例如，做一套衣服需要4米布，既有布31米，可以

17、做多少套衣服？有學(xué)生這樣做：31÷4≈8（套） 按照“四舍五入法”保存近似數(shù)無(wú)疑是對(duì)的的，但和實(shí)際不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教學(xué)中，常識(shí)性的東西予以注重。做衣服套數(shù)的近似計(jì)算要用“去尾法”。 （4）驗(yàn)證的動(dòng)力在猜想和質(zhì)疑。牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！薄安隆币彩墙鉀Q問題的一種重要方略?？梢蚤_拓學(xué)生的思維、激發(fā)“我要學(xué)”的愿望。為了避免瞎猜，一定學(xué)會(huì)驗(yàn)證。驗(yàn)證猜想成果與否對(duì)的，與否符合規(guī)定。如不符合規(guī)定，及時(shí)調(diào)節(jié)猜想，直到解決問題。 二、抽象思維措施 運(yùn)用概念、判斷、推理來(lái)反映現(xiàn)實(shí)的思維過程，叫抽象思維，也叫邏輯思維。 抽象思維又分為：形式思維和辯證思維。

18、客觀現(xiàn)實(shí)有其相對(duì)穩(wěn)定的一面，我們就可以采用形式思維的方式；客觀存在也有其不斷發(fā)展變化的一面，我們可以采用辯證思維的方式。形式思維是辯證思維的基本。 形式思維能力：分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷、推理。 辯證思維能力：聯(lián)系、發(fā)展變化、對(duì)立統(tǒng)一律、質(zhì)量互變律、否認(rèn)之否認(rèn)律。 小學(xué)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象思維能力，重點(diǎn)突出在：（1）思維品質(zhì)上，應(yīng)當(dāng)具有思維的敏捷性、靈活性、聯(lián)系性和發(fā)明性。（2）思維措施上，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)有條有理，有根有據(jù)地思考。（3）思維規(guī)定上，思路清晰，因果分明，言必有據(jù)，推理嚴(yán)密。（4）思維訓(xùn)練上，應(yīng)當(dāng)規(guī)定：對(duì)的地運(yùn)用概念，恰本地下判斷，合乎邏輯地推理。 9、對(duì)照法 如

19、何對(duì)的地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念？小學(xué)數(shù)學(xué)常用的措施就是對(duì)照法。根據(jù)數(shù)學(xué)題意，對(duì)照概念、性質(zhì)、定律、法則、公式、名詞、術(shù)語(yǔ)的含義和實(shí)質(zhì)，依托對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、記憶、辨識(shí)、再現(xiàn)、遷移來(lái)解題的措施叫做對(duì)照法。 這個(gè)措施的思維意義就在于，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)的理解、牢固記憶、精確辨識(shí)。 例20、三個(gè)持續(xù)自然數(shù)的和是18，則這三個(gè)自然數(shù)從小到大分別是多少？ 對(duì)照自然數(shù)的概念和持續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以懂得：三個(gè)持續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個(gè)持續(xù)自然數(shù)的中間那個(gè)數(shù)。 例21、判斷：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。 這里要對(duì)照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。只有這兩個(gè)概念全理解了，才干做出對(duì)的判斷。 10、

20、公式法 運(yùn)用定律、公式、規(guī)則、法則來(lái)解決問題的措施。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡(jiǎn)便、有效，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)和掌握的一種措施。但一定要讓學(xué)生對(duì)公式、定律、規(guī)則、法則有一種對(duì)的而深刻的理解，并能精確運(yùn)用。 例22、?? 計(jì)算59×37+12×59+59 59×37+12×59+59 ＝59×（37+12+1）　…………運(yùn)用乘法分派律 ＝59×50　　　　　 …………運(yùn)用加法計(jì)算法則 ＝(60-1) ×50　　? …………運(yùn)用數(shù)的構(gòu)成規(guī)則 ＝60×50－1×50　? …………運(yùn)用乘法分派律 ＝3000-50　　　　? …………運(yùn)用乘法計(jì)算法則 ＝2950　　

21、　　　　 …………運(yùn)用減法計(jì)算法則 11、比較法 通過對(duì)比數(shù)學(xué)條件及問題的異同點(diǎn)，研究產(chǎn)生異同點(diǎn)的因素，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的措施，叫比較法。 比較法要注意： (1)找相似點(diǎn)必找相異點(diǎn)，找相異點(diǎn)必找相似點(diǎn)，不可或缺，也就是說，比較要完整。 (2)找聯(lián)系與區(qū)別，這是比較的實(shí)質(zhì)。 (3)必須在同一種關(guān)系下（同一種原則）進(jìn)行比較，這是“比較”的基本條件。 (4)要抓住重要內(nèi)容進(jìn)行比較，盡量少用“窮舉法”進(jìn)行比較，那樣會(huì)使重點(diǎn)不突出。 (5)由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，決定了比較必須要精細(xì)，往往一種字，一種符號(hào)就決定了比較結(jié)論的對(duì)或錯(cuò)。 例23、填空：0．75的最高位是（?? ），這個(gè)數(shù)小數(shù)部分的

22、最高位是（??? ）；十分位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的（??? ） 相似，（????? ）不同，前者比后者小了（?????? ）。 這道題的意圖就是要對(duì)“一種數(shù)的最高位和小數(shù)部分的最高位的區(qū)別”，尚有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。 例23、六年級(jí)同窗種一批樹，如果每人種5棵，則剩余75棵樹沒有種；如果每人種7棵，則缺少15棵樹苗。六年級(jí)有多少學(xué)生？ 這是兩種方案的比較。相似點(diǎn)是：六年級(jí)人數(shù)不變；相異點(diǎn)是：兩種方案中的條件不同樣。 找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。 找解決思路（措施）：每人多種7-5=2（棵），那么，全班就多種了75+15=90（棵），全班人數(shù)為

23、90÷2=45（人）。 12、分類法 俗語(yǔ)：物以類聚，人以群分。 根據(jù)事物的共同點(diǎn)和差別點(diǎn)將事物辨別為不同種類的措施，叫做分類法。分類是以比較為基本的。根據(jù)事物之間的共同點(diǎn)將它們合為較大的類，又根據(jù)差別點(diǎn)將較大的類再分為較小的類。 分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不反復(fù)、不漏掉、不交叉。 例24、?? 自然數(shù)按約數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分，可提成幾類？ 答：可分為三類。（1）只有一種約數(shù)的數(shù)，它是一種單位數(shù)，只有一種數(shù)1；（2）有兩個(gè)約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)；（3）有三個(gè)約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無(wú)數(shù)個(gè)。 13、分析法 把整體分解為部分，把復(fù)雜的事物分解為各個(gè)部分

24、或要素，并對(duì)這些部分或要素進(jìn)行研究、推導(dǎo)的一種思維措施叫做分析法。 根據(jù)：總體都是由部分構(gòu)成的。 思路：為了更好地研究和解決總體，先把整體的各部分或要素割裂開來(lái)，再分別對(duì)照規(guī)定，從而理順解決問題的思路。 也就是從求解的問題出發(fā)，對(duì)的選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，始終到問題得到解決為止，這種解題模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形圖”進(jìn)行圖解思路。 例25、玩具廠籌劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過籌劃多少件？ 思路：規(guī)定平均每天超過籌劃多少件，必須懂得：籌劃每天生產(chǎn)多少件和實(shí)際每天生產(chǎn)多少件?；I劃每天生產(chǎn)多少件已知，實(shí)際每天生產(chǎn)多少

25、件，題中沒有告訴，還得求出來(lái)。規(guī)定實(shí)際每天生產(chǎn)多少件玩具，必須懂得：實(shí)際生產(chǎn)多少天，和實(shí)際生產(chǎn)多少件，這兩個(gè)條件題中都已知。 枝形圖：（略） 14、綜合法 把對(duì)象的各個(gè)部分或各個(gè)方面或各個(gè)要素聯(lián)結(jié)起來(lái)，并組合成一種有機(jī)的整體來(lái)研究、推導(dǎo)和一種思維措施叫做綜合法。 用綜合法解數(shù)學(xué)題時(shí)，一般把各個(gè)題知看作是部分（或要素），通過對(duì)各部分（或要素）互相之間內(nèi)在聯(lián)系一層層分析，逐漸推導(dǎo)到題目規(guī)定，因此，綜合法的解題模式是執(zhí)因?qū)Ч?，也叫順推法。這種措施合用于已知條件較少，數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)樸的數(shù)學(xué)題。 例26、兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的差是不不小于30的合數(shù)，它們的和即是11的倍數(shù)又是不不小于50的偶數(shù)。寫出

26、適合上面條件的各組數(shù)。 思路：11的倍數(shù)同步不不小于50的偶數(shù)有22和44。 兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中沒有2。 和是22的兩個(gè)質(zhì)數(shù)有：3和19，5和17。它們的差都是不不小于30的合數(shù)嗎？ 和是44的兩個(gè)質(zhì)數(shù)有：3和41，7和37，13和31。它們的差是不不小于30的合數(shù)嗎？ 這就是綜合法的思路。 15、方程法 用字母表達(dá)未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出具有字母的體現(xiàn)式（等式）。列方程是一種抽象概括的過程，解方程是一種演繹推導(dǎo)的過程。方程法最大的特點(diǎn)是把未知數(shù)等同于已知數(shù)看待，參與列式、運(yùn)算，克服了算術(shù)法必須避開求知數(shù)來(lái)列式的局限性。有助于由已知向未知的轉(zhuǎn)化，從而提

27、高理解題的效率和對(duì)的率。 例27、一種數(shù)擴(kuò)大3倍后再增長(zhǎng)100，然后縮小2倍后再減去36，得50。求這個(gè)數(shù)。 例28、一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10公斤，還剩余6公斤。這桶油重多少公斤？ 這兩題用方程解就比較容易。 16、參數(shù)法 用只參與列式、運(yùn)算而不需要解出的字母或數(shù)表達(dá)有關(guān)數(shù)量，并根據(jù)題意列出算式的一種措施叫做參數(shù)法。參數(shù)又叫輔助未知數(shù)，也稱中間變量。參數(shù)法是方程法延伸、拓展的產(chǎn)物。 例29、汽車爬山，上山時(shí)平均每小時(shí)行15千米，下山時(shí)平均每小時(shí)行駛10千米，問汽車的平均速度是每小時(shí)多少千米？ 上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而應(yīng)當(dāng)用上下山的路程

28、÷2。 例30、一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做要4天完畢，乙單獨(dú)做要5天完畢。兩人合做要多少天完畢？ 其實(shí)，把總工作量看作“1”，這個(gè)“1”就是參數(shù)，如果把總工作量看作“2、3、4……”都可以，只但是看作“1”運(yùn)算最以便。 17、排除法 排除對(duì)立的成果叫做排除法。 排除法的邏輯原理是：任何事物均有其對(duì)立面，在有對(duì)的與錯(cuò)誤的多種成果中，一切錯(cuò)誤的成果都排除了，剩余的只能是對(duì)的的成果。這種措施也叫裁減法、篩選法或反證法。這是一種不可缺少的形式思維措施。 例31、為什么說除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？ 這就要用反證法：比2大的所有自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假設(shè)：比2大的質(zhì)數(shù)有偶數(shù)，那么，這個(gè)偶數(shù)一定能被

29、2整除，也就是說它一定有約數(shù)2。一種數(shù)的約數(shù)除了1和它自身外，尚有別的約數(shù)（約數(shù)2），這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)而不是質(zhì)數(shù)。這和本來(lái)假定是質(zhì)數(shù)對(duì)立（矛盾）。因此，本來(lái)假設(shè)錯(cuò)誤。 例32、判斷：（1）同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。（錯(cuò)） （2）分?jǐn)?shù)的分子和分母同乘以或同除以一種相似的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。（錯(cuò)） 18、特例法 對(duì)于波及一般性結(jié)論的題目，通過取特殊值或畫特殊圖或定特殊位置等特例來(lái)解題的措施叫做特例法。特例法的邏輯原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。 例33、大圓半徑是小圓半徑的2倍，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的（? ）倍，大圓面積是小圓面積的（???? ）倍。 可以取小圓半徑為1，

30、那么大圓半徑就是2。計(jì)算一下，就能得出對(duì)的成果。 例33、?? 正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例嗎？ 如果正方形的邊長(zhǎng)為a，面積為s 。 那么，s：a=a? （比值不定） 因此，正方形的面積和邊長(zhǎng)不成正比例。 19、化歸法 通過某種轉(zhuǎn)化過程，把問題歸結(jié)到一類典型問題來(lái)解題的措施叫做化歸法?；瘹w是知識(shí)遷移的重要途徑，也是擴(kuò)展、深化認(rèn)知的首要環(huán)節(jié)?；瘹w法的邏輯原理是，事物之間是普遍聯(lián)系的?；瘹w法是一種常用的辯證思維措施。 例34、某制藥廠生產(chǎn)一批防“非典”藥，原籌劃25人14天完畢，由于急需，要提前4天完畢，需要增長(zhǎng)多少人？ 這就需要在考慮問題時(shí)，把“總工作日”化歸為“總工作量”。 例35、超市運(yùn)來(lái)馬鈴薯、西紅柿、豇豆三種蔬菜，馬鈴薯占25%，西紅柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比馬鈴薯多36公斤，超市運(yùn)來(lái)西紅柿多少公斤？ 需要把“西紅柿和豇豆的重量比4：5”化歸為“各占總重量的百分之幾”，也就是把比例應(yīng)用題化歸為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。