（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 課時作業(yè)24 正弦定理和余弦定理的應用 理 新人教A版

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1、課時作業(yè)(二十四)　第24講　正弦定理和余弦定理的應用 時間 / 45分鐘　分值 / 100分 基礎熱身 1.以觀測者的位置作為原點,東、南、西、北四個方向把平面分成四部分,以正北方向為始邊,按順時針方向旋轉(zhuǎn)280°到目標方向線,則目標方向線的位置在觀測者(　　) A.北偏東80°的方向 B.東偏北80°的方向 C.北偏西80°的方向 D.西偏北80°的方向 2.如圖K24-1所示,在地平面上有一旗桿OP(O在地面),為了測得它的高度h,在地平面上取一基線AB,測得其長為20 m,在A處測得P點的仰角為30°,在B處測得P點的仰角為45°,又測得∠AOB=30°,則旗桿的高h等

2、于 圖K24-1 (　　) A.10 m B.20 m C.103 m D.203 m 3.某船以每小時152 km的速度向正東方向行駛,行駛到A處時,測得一燈塔B在A的北偏東60°的方向上,行駛4小時后,船到達C處,測得這個燈塔在C的北偏東15°的方向上,這時船與燈塔的距離為 (　　) A.60 km B.602 km C.302 km D.30 km 4.[2018·河南豫南豫北聯(lián)考] 線段的黃金分割點定義:若點P在線段MN上,且滿足MP2=NP·MN,則稱點P為線段MN的黃金分割點.在△ABC中,AB=AC,A=36°,若角B的平分線交邊AC于點D,則點D為邊

3、AC的黃金分割點,利用上述結論,可以求出cos 36°=(　　) A.5-14 B.5+14 C.5-12 D.5+12 5.[2018·上海徐匯區(qū)一模] 某船在海平面A處測得燈塔B在北偏東30°的方向,與A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海里到達C處,這時燈塔B與船相距　　　　海里.(精確到0.1海里)? 能力提升 6.如圖K24-2所示,無人機在離地面高200 m的A處,觀測到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知∠MCN=60°,則山的高度MN為 (　　) 圖K24-2 A.300 m B.3003 m C.2003 m D.275 m

4、7.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖K24-3所示,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1米,且AC比AB長12米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為(　　) 圖K24-3 A.1+32米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米 8.從某船上開始看見燈塔A時,燈塔A在船的南偏東30°方向,后來船沿南偏東60°的方向航行45 km后,看見燈塔A在船的正西方向,則這時船與燈塔A的距離是(　　) A.152 km B.30 km C.15 km D.153 km 9.[2018·南昌一模] 已知臺風中心位于城市A的東偏北α(α為銳角)方向的150公里處

5、,臺風中心以v公里/時的速度沿正西方向快速移動,52小時后到達城市A西偏北β(β為銳角)方向的200公里處,若cos α=34cos β,則v=(　　) A.60 B.80 C.100 D.125 10.一艘游輪航行到A處時,測得燈塔B在A的北偏東75°方向,距離為126海里,燈塔C在A的北偏西30°方向,距離為123海里,該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時,測得燈塔B在其南偏東60°方向,則此時燈塔C位于游輪的 (　　) A.正西方向 B.南偏西75°方向 C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向 11.在一幢10 m高的房屋頂部測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為3

6、0°,假定房屋與塔建在同一水平地面上,則塔的高度為　　　　.? 12.某港口停泊著兩艘船,大船以每小時40海里的速度從港口出發(fā),沿北偏東30°方向行駛2.5小時后,小船開始以每小時20海里的速度向正東方向行駛,小船出發(fā)1.5小時后,大船接到命令,需要把一箱貨物轉(zhuǎn)到小船上,便折向行駛,期間,小船行進方向不變,從大船折向開始到與小船相遇,最少需要　　　　小時.? 13.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里記載了這樣一個題目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一塊三角形的沙田,三邊長分別為13里

7、,14里,15里,假設1里按500米計算,則該三角形沙田外接圓的半徑為　　　　米.? 14.(10分)如圖K24-4所示,一艘巡邏船由南向北行駛,在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC=15°)的方向,勻速向北航行20分鐘到達B處,測得山頂P位于北偏東60°的方向,此時測得山頂P的仰角為60°,已知山高為23千米. (1)船的航行速度是每小時多少千米? (2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處,問此時山頂位于D處的南偏東什么方向? 圖K24-4 15.(12分)如圖K24-5所示,某公園的三條觀光大道AB,BC,AC圍成一個直角三角形,其中直角邊BC=200 m,斜邊A

8、B=400 m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC上嬉戲,所在位置分別記為點D,E,F. (1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當乙出發(fā)1分鐘后,求此時甲、乙兩人之間的距離; (2)若∠CEF=θ,θ∈0,π2,乙、丙之間的距離是甲、乙之間的距離的2倍,且∠DEF=π3,請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲、乙之間的最小距離. 圖K24-5 難點突破 16.(13分)如圖K24-6所示,某鎮(zhèn)有一塊三角形空地,記為△OAB,其中OA=3 km,OB=33 km, ∠

9、AOB=90°.當?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成一個旅游景點,擬在中間挖一個人工湖,記為△OMN,其中M,N都在邊AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM上形成假山,剩下的△OBN開設兒童游樂場.為了安全起見,需在△OAN的周圍安裝防護網(wǎng). (1)當AM=32 km時,求防護網(wǎng)的總長度. (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的3倍,試確定∠AOM的大小. (3)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小,問如何設計施工方案,可使△OMN的面積最小?最小面積是多少? 圖K24-6 課時作業(yè)(二十

10、四) 1.C　[解析] 注意旋轉(zhuǎn)的方向是順時針方向,作出相應的圖形(圖略),分析可得C正確. 2.B　[解析] 由題意得∠PAO=30°,∠PBO=45°,∴AO=3h,BO=h,又AB=20 m, 在△ABO中,由余弦定理得AB2=400=(3h)2+h2-23h·h·cos 30°,解得h=20(m). 3.A　[解析] 畫出圖形如圖所示, 由題意知,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×152=602,∠B=45°. 由正弦定理ACsinB=BCsin∠BAC, 得BC=AC·sin∠BACsinB=602×sin30°sin45°=60, ∴此時船與燈塔的距離為

11、60 km.故選A. 4.B　[解析] 設AB=AC=2,由黃金分割點的定義可得AD2=CD·AC,解得AD=5-1.在△ABC中,因為A=36°,AB=AC,所以∠ABC=72°.又因為BD為∠ABC的平分線,所以∠ABD=∠CBD=36°,所以BD=AD=5-1.在△ABD中,由余弦定理得cos A=AD2+AB2-BD22·AD·AB,即cos 36°=(5-1)2+22-(5-1)22×(5-1)×2=5+14.故選B. 5.4.2　[解析] 設此時燈塔B與船相距m海里,由余弦定理得,m=8.12+62-2×6×8.1×cos30°≈4.2. 6.A　[解析] ∵AD∥BC,∴

12、∠ACB=∠DAC=45°,∴AC=2AB=2002(m). 又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,∴∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=45°, 在△AMC中,由正弦定理MCsin∠MAC=ACsin∠AMC,得MC=2002·sin60°sin45°=2003(m), ∴MN=MC·sin∠MCN=2003·sin 60°=300(m).故選A. 7.D　[解析] 設BC的長度為x米(x>1),AC的長度為y米,則AB的長度為y-12米. 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,得y-122=y2+

13、x2-2yx×12,化簡得y(x-1)=x2-14, ∵x>1,∴x-1>0,∴y=x2-14x-1=(x-1)+34(x-1)+2≥3+2, 當且僅當x-1=34(x-1),即x=1+32時,取等號, ∴y的最小值為2+3.故選D. 8.D　[解析] 設船開始的位置為B,船航行45 km后處于C,如圖所示, 可得∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45 km, ∴∠ABC=30°,∠BAC=120°. 在△ABC中,利用正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC, 可得AC=BCsin∠ABCsin∠BAC=45×1232=153(km).故選D. 9.C　[

14、解析] 如圖所示,由余弦定理得52v2=2002+1502+2×200×150cos(α+β)①,由正弦定理得150sinβ=200sinα,即sin α=43sin β.又cos α=34cos β,sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,可得sin β=35,cos β=45,sin α=45,cos α=35,故cos(α+β)=1225-1225=0,代入①解得v=100.故選C. 10.C　[解析] 如圖所示,AB=126,AC=123, 在△ABD中,B=45°,由正弦定理有ADsin45°=ABsin60°=12632=242,所以AD=24. 在△

15、ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°, 因為AC=123,AD=24,所以CD=12, 由正弦定理得CDsin30°=ACsin∠CDA,所以sin∠CDA=32,故∠CDA=60°或∠CDA=120°. 因為AD>AC,故∠CDA為銳角,所以∠CDA=60°.故選C. 11.40 m　[解析] 如圖所示,過房屋頂部C作塔AB的垂線CE,垂足為E,則CD=10,∠ACE=60°,∠BCE=30°, ∴BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD=BC2-CD2=103. ∵∠ACE=60°,∠AEC=90°, ∴AC=2CE=20

16、3, ∴AE=AC2-CE2=30, ∴AB=AE+BE=30+10=40,故塔的高度為40 m. 12.3.5　[解析] 如圖所示,設港口為O,小船行駛1.5小時到達B,此時大船行駛到A,大船折向按AC方向行駛,大船與小船同時到達C點時,用時最少. 設從A到C,大船行駛時間為t,則OA=40×(2.5+1.5)=160,AC=40t,OC=20×1.5+20t.由余弦定理得OA2+OC2-2OC·OA·cos 60°=AC2,即12t2+20t-217=0, ∴(2t-7)(6t+31)=0,解得t=3.5, 即最少需要3.5小時. 13.4062.5　[解析] 設在△AB

17、C中,AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,由余弦定理知,cos B=AB2+BC2-AC22AB·BC=513,所以sin B=1-cos2B=1213.設△ABC外接圓的半徑為R,則由正弦定理得,ACsinB=2R,所以R=AC2sinB=75002×1213=4062.5(米). 14.解:(1)在△BCP中,由tan∠PBC=PCBC,得BC=PCtan∠PBC=2, 在△ABC中,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠BCA,即2sin15°=ABsin45°, 所以AB=2(3+1), 故船的航行速度是每小時6(3+1)千米.

18、 (2)在△BCD中,BD=3+1,BC=2,∠CBD=60°,則由余弦定理得cos∠CBD=BC2+BD2-CD22·BC·BD,解得CD=6, 由正弦定理CDsin∠DBC=BCsin∠CDB,得sin∠CDB=22,因為0°<∠CDB<120°,所以∠CDB=45°, 所以山頂位于D處南偏東45°的方向. 15.解:(1)依題意得,當乙出發(fā)1分鐘后,BD=300,BE=100, 在△ABC中,cos B=BCAB=12,又∵B∈0,π2,∴B=π3. 在△BDE中,由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cos B=3002+1002-2×300×100×12=70

19、000,∴DE=1007,即此時甲、乙兩人相距1007 m. (2)由題意得EF=2DE=2y,∠CEF=θ,則∠BDE=π-∠ABC-∠DEB=2π3-π-π3-θ=θ. 在直角三角形CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycos θ, 在△BDE中,由正弦定理BEsin∠BDE=DEsin∠DBE,得200-2ycosθsinθ=ysin60°, ∴y=10033cosθ+sinθ=503sinθ+π3,0<θ<π2, ∴當θ=π6時,y有最小值503,即甲、乙之間的最小距離為503 m. 16.解:(1)∵在△OAB中,OA=3,OB=33,∠AOB=90°,∴∠OAB=60

20、°. 在△AOM中,OA=3,AM=32,∠OAM=60°, 由余弦定理OM2=OA2+AM2-2OA·AM·cos∠OAM,得OM=332, ∴OM2+AM2=OA2,即OM⊥AN,∴∠AOM=30°, ∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°,∴△OAN為正三角形,∴△OAN的周長為9, 即防護網(wǎng)的總長度為9 km. (2)設∠AOM=θ(0°<θ<60°),∵S△OMN=3S△OAM, ∴12ON·OMsin 30°=3×12OA·OMsin θ,即ON=63sin θ. 在△OAN中,由ONsin60°=OAsin[180°-(θ+60°+30°)]=3cosθ,得ON

21、=332cosθ, 從而63sin θ=332cosθ,即sin 2θ=12,由0°<2θ<120°, 得2θ=30°,∴θ=15°,即∠AOM=15°. (3)設∠AOM=θ(0°<θ<60°),由(2)知,ON=332cosθ, 又在△AOM中,由OMsin60°=OAsin(180°-θ-60°),得OM=332sin(θ+60°), ∴S△OMN=12OM·ON·sin 30°=2716sin(θ+60°)cosθ=27812sin2θ+32cos2θ+32=278sin(2θ+60°)+43, ∴當且僅當2θ+60°=90°,即θ=15°時, △OMN的面積取得最小值,此時,S△OMN=27(2-3)4,∴△OMN的最小面積為272-34 km2. 10