3、0與直線l2：x＋my－3＝0平行”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 D
解析 若直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行，則m2＝4，m＝±2，
當m＝2時，直線l1：2x＋4y－6＝0與直線l2：x＋2y－3＝0，兩直線重合，舍去，
所以“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行”等價于“m＝－2”，
所以“m＝2”是“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行”的既不充分也不必要條件．故選D.
(2)已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距
4、相等，則a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 D
解析 ①當a＝0時，y＝2不符合題意．②當a≠0時，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝，則＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故選D.
(3)已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關于l對稱，則l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 B
解析 因為l1與l2關于l對稱，所以l1上任一點關于l的對稱點都在l2上，故l與l1的交點(1,0)在l2上．又易知(0，－2)為l1上一點，設它關于l的對
5、稱點為(x，y)，則解得即(1,0)，(－1，－1)為l2上兩點，可得l2的方程為x－2y－1＝0，故選B.
(1)在使用不同形式的直線方程時要注意其適用條件．
(2)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．
1．(2019·湘贛十四校高三聯(lián)考)若cosθ＝，sinθ＝－，則角θ的終邊所在的直線方程為( )
A．3x－4y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x＋4y＝0 D．4x－3y＝0
答案 C
解析 因為cosθ＝，sinθ＝－，所以tanθ＝＝－，因此角θ的終邊所在的直線斜率為－.故選C.
2．已知直線l的傾斜角為π，直線l1經(jīng)過點A(3，2)，B(
6、a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
答案 B
解析 由題意知l的斜率為－1，則l1的斜率為1，即kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1(b≠0)，∴b＝－2(經(jīng)檢驗滿足題意)，∴a＋b＝－2，故選B.
3．直線xcosα＋y＋b＝0(α，b∈R)的傾斜角的取值范圍是________．
答案 ∪
解析 ∵直線的斜率k＝－cosα，α∈R，∴－1≤k≤1，直線的傾斜角的取值范圍為∪.
考向2 圓的方程及應用
例2 (1)(2019·成都市高三二診)已知a∈R且為常數(shù)，圓C
7、：x2＋2x＋y2－2ay＝0，過圓C內(nèi)一點(1,2)的直線l與圓C相交于A，B兩點，當弦AB最短時，直線l的方程為2x－y＝0，則a的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 圓C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化簡為(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圓心坐標為C(－1，a)，半徑為.
如圖，由題意可得，當弦AB最短時，過圓心與點(1,2)的直線與直線2x－y＝0垂直．則＝－，即a＝3.故選B.
(2)與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x
8、－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2
答案 D
解析 由題意知，曲線方程為(x－6)2＋(y－6)2＝18，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5，故最小圓的半徑為，圓心坐標為(2,2)，所以標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
(3)已知過定點P(2,0)的直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取到最大值時，直線l的傾斜角為( )
A．150° B．135°
C．120° D
9、．不存在
答案 A
解析 由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點O為圓心，以為半徑的圓的一部分，其圖形如圖所示．設過點P(2，0)的直線為y＝k(x－2)，則圓心到此直線AB的距離d＝，因為S△AOB＝|OA||OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB，所以當∠AOB＝時，S△AOB取最大值，此時圓心O到直線AB的距離為1，由＝1得k＝－，故直線l的傾斜角為150°.
(1)求圓的方程就是求出圓心坐標和圓的半徑，一般是根據(jù)已知條件寫出方程即可．
(2)方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0(AB≠0)表示圓的充要條件是A＝B且D2＋E2－4AF>0.
1．在平面直角
10、坐標系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2－|PB|2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點P的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 設P(x，y)，則由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求滿足條件的點P的個數(shù)即為求直線與圓的交點個數(shù)，圓心到直線的距離為＝<2＝r，所以直線與圓相交，交點個數(shù)為2.故滿足條件的點P有2個，選C.
2．(2019·宜賓市高三第二次診斷)過直線3x－4y－14＝0上一點P作圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的切線，切點分別為A，B，則當四邊形PACB
11、面積最小時，直線AB的方程是( )
A．4x－3y＋2＝0 B．3x－4y＋2＝0
C．3x－4y－2＝0 D．4x－3y－2＝0
答案 B
解析 根據(jù)題意，圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圓心C為(－1,2)，半徑r＝3；點P為直線3x－4y－14＝0上一點，PA，PB為圓C的切線，則PA⊥CA，PB⊥CB，
則有|PA|＝|PB|
＝ ＝ ，
則S四邊形PACB＝2S△PCA＝2××|CA|×|PA|＝3，
則當|PC|取得最小值時，四邊形PACB面積最小，此時CP與直線3x－4y－14＝0垂直，
且|CP|＝＝5，則C到直線AB的距離d＝，
又由CP⊥AB
12、，則直線AB與直線3x－4y－14＝0平行，設直線AB的方程為3x－4y－m＝0，
則d＝＝，解得m＝－2或－20(舍去)，則直線AB的方程為3x－4y＋2＝0.故選B.
3．圓(x－2)2＋y2＝4關于直線y＝x對稱的圓的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
答案 D
解析 (x－2)2＋y2＝4的圓心為(2,0)，其關于y＝x對稱的點為(x，y)，則解得x＝1，y＝，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4，故選D.
考向3 直線與圓、圓與圓的位置關系
13、例3 (1)(2019·東北三省高三第二次模擬)圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有( )
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
答案 D
解析 x2－4x＋y2＝0?(x－2)2＋y2＝22，圓心坐標為(2,0)，半徑為2.x2＋y2＋4x＋3＝0?(x＋2)2＋y2＝12，圓心坐標為(－2,0)，半徑為1.圓心距為4，兩圓半徑和為3，因為4>3，所以兩圓的位置關系是外離，故兩圓的公切線共有4條．故選D.
(2)一條光線從點(1，－1)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x－2)2＋y2＝1相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為( )
A. B.
14、
C. D.
答案 C
解析 由題意可知，反射光線必過(－1，－1)點，設反射光線斜率為k，則反射光線為kx－y＋k－1＝0，由題意可知<1，∴0
15、b＋1＝0，得b＝－，又直線l與直線x＋y＋2＝0垂直，故－＝1，所以a＝，故直線l的方程為x－y＋1＝0，即x－y＋3＝0，選D.
(1)處理直線與圓的位置關系問題時，主要利用幾何法，即利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷，并依據(jù)圓的幾何性質(zhì)求解．
(2)直線與圓相交涉及弦長問題時，主要依據(jù)弦長的一半、弦心距、半徑的關系求解．
(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點，垂直于過這點的半徑的弦最短．
1．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答
16、案 A
解析 由題意知，點P在以原點O(0,0)為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在圓C上，所以只要兩個圓有交點即可．圓心C(3,4)到O(0,0)的距離為5，所以|m－2|≤5≤m＋2，解得3≤m≤7，即m的最大值為7.故選A.
2．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，則k＝( )
A．± B．±
C. D.
答案 A
解析 圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的圓心坐標為(2,3)，半徑r＝2，圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離d＝，∵直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，∴由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝
17、＋3，解得k＝±.故選A.
3．(2019·朝陽區(qū)高三第一次模擬)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝kx－2，若直線l上存在點P，過點P引圓的兩條切線l1，l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．[0,2－)∪(2＋，＋∞)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，0)
D．[0，＋∞)
答案 D
解析 圓心C(2,0)，半徑r＝，設P(x，y)，因為兩切線l1⊥l2，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知PA⊥AC，PB⊥BC，|PA|＝|PB|，所以四邊形PACB為正方形，所以|PC|＝2，則有(x－2)2＋y2＝4，即點P的軌跡是以(2,0)為圓心，2為
18、半徑的圓.
直線l：y＝kx－2過定點(0，－2)，直線方程即kx－y－2＝0，只要直線l與P點的軌跡(圓)有交點即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即d＝≤2，解得k≥0，即實數(shù)k的取值范圍是[0，＋∞)．故選D.
真題押題
『真題模擬』
1．(2019·廈門模擬)“C＝2”是“點(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 若點(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3，則有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“點(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3”
19、的充分不必要條件，選B.
2．(2019·山東省高三第一次大聯(lián)考)已知直線l：x－y＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝1相交于O，A兩點，O為坐標原點，則△COA的面積為( )
A. B.
C. D．2
答案 A
解析 由題意，直線l，圓C均過原點，△COA為等腰三角形，且|CO|＝|CA|＝1，∠OCA＝60°，所以S△COA＝|CO|·|CA|·sin∠OCA＝×12×＝.故選A.
3．(2019·唐山市第一中學高三下學期沖刺(一))過點P(－1，－1)且不垂直于y軸的直線l與圓M：x2＋y2－2x－3＝0交于A，B兩點，點C在圓M上，若△ABC是正三角形，則直線l的斜率
20、是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根據(jù)題意得，圓M：x2＋y2－2x－3＝0即(x－1)2＋y2＝4，圓心M為(1,0)，半徑r＝2，設正三角形ABC的高為h，由題意知M為正三角形ABC的中心，
∴M到直線l的距離d＝h，又h＝|AB|，即d＝|AB|，∴由垂徑定理可得＋d2＝r2＝4，可得|AB|＝2，∴d＝1，由題意知設直線l的斜率存在且不為0，設為k，則直線l的方程為y＋1＝k(x＋1)，即kx－y＋k－1＝0，則有＝1，解得k＝或0(舍去)．故選D.
4．(2019·合肥市高三第二次教學質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，圓C經(jīng)過點(0,1)，(0,3
21、)，且與x軸正半軸相切，若圓C上存在點M，使得直線OM與直線y＝kx(k>0)關于y軸對稱，則k的最小值為( )
A. B.
C．2 D．4
答案 D
解析 ∵圓C經(jīng)過(0,1)，(0,3)，∴圓心在(0,1)，(0,3)的垂直平分線y＝2上，又∵圓C與x軸正半軸相切，
∴圓的半徑為2.設圓心坐標為(x0,2)，x0>0，由x＋(2－3)2＝4，得x0＝，∴圓心坐標為(，2)，設OM的斜率為k0，因為k>0，所以k0<0，當k0最大時k最小，設OM：y＝k0x(k0<0)，由圖可知當y＝k0x與圓相切時k0最大，此時＝2，解得k0＝－4，此時k＝4，即k的最小值為4，故選D
22、.
5．(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.
答案?。?
解析 根據(jù)題意畫出圖形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，則|AB|＝＝2，
|AC|＝
＝，|BC|＝|m－3|.
∵直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A，
∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.
因此r＝|AC|＝＝.
『金版押題』
6．由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－)2＋y2＝
23、r2(r>0)引切線，若切線長的最小值為，則r的值為( )
A．2 B.
C. D．1
答案 D
解析 從題意看出，切線長、直線上的點到圓心的距離、半徑之間滿足勾股定理，顯然圓心(，0)到直線的距離最小時，切線長也最?。畧A心(，0)到直線y＝x＋1的距離為＝2，切線長的最小值為＝，解得r＝1或r＝－1(舍去)，選D.
7．已知P是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，切點分別為A，B，若四邊形PACB的最小面積為2，則k的值為( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 B
解析 S四邊形PACB＝|PA|
24、·|AC|＝|PA|＝＝，可知當|CP|最小，即CP⊥l時，其面積最小，由最小面積＝2得|CP|min＝，由點到直線的距離公式得|CP|min＝＝，因為k>0，所以k＝2.選B.
配套作業(yè)
一、選擇題
1．與直線3x－2y＋7＝0關于y軸對稱的直線方程為( )
A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－7＝0
C．2x－3y＋7＝0 D．3x－2y－7＝0
答案 B
解析 由題知，與直線3x－2y＋7＝0關于y軸對稱的直線方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故選B.
2．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是( )
25、
A. B.
C．8 D．2
答案 D
解析 ∵＝≠，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，兩平行線之間的距離d＝＝2.
3．已知直線l經(jīng)過圓C：x2＋y2－2x－4y＝0的圓心，且坐標原點到直線l的距離為，則直線l的方程為( )
A．x＋2y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋3＝0
答案 C
解析 圓心C(1,2)，故kOC＝2，|OC|＝，所以l⊥OC，kl＝－，直線l的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，故選C.
4．(2019·蕪湖市四校高二上學期期末聯(lián)考)圓x2＋(y－3)2＝1上的動點P
26、到點Q(2,3)的距離的最小值為( )
A．2 B．1
C．3 D．4
答案 B
解析 圓x2＋(y－3)2＝1上的動點P到點Q(2,3)的距離的最小值為圓心到點Q(2,3)的距離減去半徑．∵圓x2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為C(0,3)，半徑為r＝1，∴|CQ|－r＝2－1＝1，∴圓x2＋(y－3)2＝1上的動點P到點Q(2,3)的距離的最小值為1.故選B.
5．集合A＝{(x，y)|x2＋y2－2mx＋m2≤4}，B＝{(x，y)|x2＋y2＋2x－2my≤8－m2}，若A∩B＝A，則實數(shù)m的范圍是( )
A．[－1,0] B．(－1,0)
C．[0,1] D．
27、(0,1)
答案 A
解析 設A，B表示的兩圓的圓心分別為C1，C2，由A∩B＝A，得A?B，則圓(x－m)2＋y2＝4與圓(x＋1)2＋(y－m)2＝9的關系是內(nèi)切或內(nèi)含，則|C1C2|＝≤3－2，得m2＋m≤0，即－1≤m≤0.
6．已知點P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )
A．k∈R B．k<
C．－0，即－
28、外．將P(1,2)代入，得k2＋k＋9>0.∵k2＋k＋9＝2＋>0恒成立，∴k的取值范圍是.
7．(2019·內(nèi)江、眉山等六市高三第二次診斷)若直線x－my＋m＝0與圓(x－1)2＋y2＝1相交，且兩個交點位于坐標平面上不同的象限，則m的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(－1,0) D．(－2,0)
答案 D
解析 圓與直線聯(lián)立整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0.∵直線與圓相交且有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，即Δ>0，Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，得m<0.∵圓(x－1)2＋y2＝1上的
29、點都在y軸右側(cè)及原點，若要交點在兩個象限，則交點縱坐標的符號相反，即一個交點在第一象限，一個交點在第四象限．
∴y1y2＝<0，解得－2
30、x軸的對稱點C1′(2，－3)，連接C1′C2，與x軸交于點P，連接PC1，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PC1|＋|PC2|的最小值為|C1′C2|＝＝5.則|PM|＋|PN|的最小值為5－4.
9．已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，設p：00)上至多有兩個點到直線x－y＋3＝0的距離為1，又圓心(1,0)到直線的距離d＝＝2，則r<2＋1＝3，所
31、以0
32、019·山東師范大學附屬中學高三第四次模擬)已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有·≥－2，那么k的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
答案 B
解析 根據(jù)題意得，圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑r＝2，設圓心到直線x＋y－k＝0的距離為d，若直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，則d＝＝<2，則有k<2.設與的夾角即∠AOB＝θ，若·≥－2，即|OA|·|OB|·cosθ≥－2，變形可得cosθ≥－，則θ≤.當θ＝時，d＝1，若θ≤，則d＝≥1，解得k
33、≥，則k的取值范圍為[，2)．故選B.
二、填空題
12．已知圓M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，此圓中過原點的弦最短時，該弦所在的直線方程為________．
答案 x＋y＝0
解析 ∵圓M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，∴圓心M的坐標為(－1，－)，∴kOM＝＝，∴此圓中過原點的弦最短時，該弦所在的直線的斜率k＝－，∴該弦所在的直線方程為y＝－ x，即x＋y＝0.
13．已知P(2,0)為圓C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)內(nèi)一點，過點P的直線AB交圓C于A，B兩點，若△ABC面積的最大值為4，則正實數(shù)m的取值范圍為________．
答案 ≤m＜
解析
34、 圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋m)2＝8，則圓心坐標為(1，－m)，半徑r＝2，S△ABC＝r2sin∠ACB＝4sin∠ACB，當∠ACB＝90°時，△ABC的面積取得最大值4，此時△ABC為等腰直角三角形，AB＝r＝4，則點C到直線AB的距離等于2，故2≤PC<2，即2≤<2，∴4≤1＋m2<8，即3≤m2<7，∵m>0，∴≤m<.
14．(2019·宜賓市高三第二次診斷)已知直線l1：3x＋y－6＝0與圓心為M(0,1)，半徑為的圓相交于A，B兩點，另一直線l2：2kx＋2y－3k－3＝0與圓M交于C，D兩點，則AB的中點坐標為________，四邊形ACBD面積的最大值為________．
答案 5
解析 以M(0,1)為圓心，半徑為的圓的方程為x2＋(y－1)2＝5，聯(lián)立解得A(2,0)，B(1,3)，∴AB的中點坐標為.直線l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒過定點，要使四邊形的面積最大，只需直線l2過圓心即可，即CD為直徑，此時AB垂直CD，|AB|＝＝，∴四邊形ACBD面積的最大值為S＝·|AB|·|CD|＝××2＝5.
- 18 -
（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題提分教程 第二編 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓練習 理
