（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機變量及其分布 第6講 幾何概型練習(xí)（含解析）

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1、第6講　幾何概型 一、選擇題 1.在區(qū)間[－2，3]上隨機選取一個數(shù)x，即x≤1，故所求的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　在區(qū)間[－2，3]上隨機選取一個數(shù)x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率為P＝. 答案　B 2.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是(　　) A. B.π C.2π D.3π 解析　設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S′＝π·32＝9π.由幾何概型的概率，得＝，則S＝3π. 答案　D 3.(2015·山東卷)在區(qū)間[0，2]上隨機地取

2、一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2， 解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的 概率為＝，故選A. 答案　A 4.(2017·東北師大附中檢測)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝＝＝. 答案　B 5.在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD

3、－A1B1C1D1 內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B.1－ C. D.1－ 解析　設(shè)“點P到點O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以1為半徑的半球的外部. ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－. 答案　B 6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　如圖，當(dāng)BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B，E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時，

4、∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C，F(xiàn)點)上時，△ABD為鈍角三角形.所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝. 答案　C 7.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4－π，因此滿足條件的概率是.故選D. 答案　D 8.(2017·華師附中聯(lián)考)在區(qū)間[0，4]上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為(　　) A. B

5、. C. D. 解析　由x，y∈[0，4]知(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋2y≤8的區(qū)域為如圖所示的陰影部分. 易知A(4，2)，S正方形＝16， S陰影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝. 答案　D 9.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　當(dāng)點P到底面ABC的距離小于時， VP－ABC＜VS－ABC. 由幾何概型知，所求概率為P＝1－＝. 答案　A 10.設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|

6、z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋π B.＋ C.－ D.－ 解析　因為復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1， 即點(x，y)在以(1，0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部，而y≥x表示直線y＝x左上方的部分(圖中陰影弓形)，所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，即P＝＝－. 答案　D 二、填空題 11.在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去. 當(dāng)2＜m＜4時，

7、由題意得＝，解得m＝3. 答案　3 12.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為________. 解析　因為VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V長方體，故所求概率為＝. 答案　 13.(2016·山東卷)在[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________. 解析　直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5，0)到直線y＝kx的距離小于3. 則＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率

8、P＝＝. 答案　 14.(2017·唐山模擬)如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分).現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點，此點落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為________. 解析　順次連接星形的四個頂點，則星形區(qū)域的面積等于()2－4＝4－π，又因為圓的面積等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1. 答案　－1 15.在區(qū)間[－1，4]內(nèi)取一個數(shù)x，則2x－x2≥的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4. ∴所求事件的概率P＝＝. 答案　D 16.如圖，“天宮一號”運行的軌跡是如圖的兩個類同

9、心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運動，運行過程中，則點P與點O的距離小于3 km的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為π(32－22)＝5π；圓環(huán)總面積為π(42－22)＝12π，所以點P與點O的距離小于3 km的概率為P(A)＝＝. 答案　B 17.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點為中心的正方形，根據(jù)圖形的對

10、稱性知，直線y＝kx將其面積平分，如圖，故所求概率為. 答案　A 18.(2017·長春質(zhì)檢)在區(qū)間[0，π]上隨機取一個實數(shù)x，使得sin x∈的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由0≤sin x≤，且x∈[0，π]， 解之得x∈∪. 故所求事件的概率P＝＝. 答案　C 19.(2017·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長是，由

11、直角三角形的較短邊長為3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P＝＝. 答案　B 20.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　V圓柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故點P到O的距離大于1的概率為. 答案　A 21.(2015·湖北卷)在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A.p1

12、

13、平面上的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面積SΩ＝(2π)2＝4π2. 事件A表示函數(shù)f(x)有零點， 所構(gòu)成的區(qū)域為M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3，故P(A)＝＝＝1－. 答案　B 23.(2017·安徽江南名校聯(lián)考)AB是半徑為1的圓的直徑，M為直徑AB上任意一點，過點M作垂直于直徑AB的弦，則弦長大于的概率是________. 解析　依題意知，當(dāng)相應(yīng)的弦長大于時，圓心到弦的距離小于＝，因此相應(yīng)的點M應(yīng)位于線段AB上與圓心的距離小于的地方，所求的概率等于. 答案　 24.一只

14、蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________. 解析　由已知條件，可知蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝＝. 答案　 25.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去 看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________. 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 答案　 26.隨機地向半圓0＜y＜(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x軸的夾角小于的概率為________. 解析　由0＜y＜(a＞0). 得(x－a)2＋y2＜a2. 因此半圓域如圖所示. 設(shè)A表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于”，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝＝＝＋. 答案?。? 9