（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8講 曲線與方程練習(xí)（含解析）

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1、第8講　曲線與方程 一、選擇題 1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲線是(　　) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 解析　原方程可化為或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線. 答案　D 2.(2017·衡水模擬)若方程x2＋＝1(a是常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓 B.存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓 C.任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線 D.存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線 解析　當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，方程表示橢圓，故選B. 答案　B 3.(2017·長(zhǎng)春模擬)

2、設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析　∵M(jìn)為AQ的垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓. ∴a＝，∴c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴M的軌跡方程為＋＝1. 答案　D 4.設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.y2＝2x B.(x－1

3、)2＋y2＝4 C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2 解析　如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)，連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 答案　D 5.平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿足＝λ1＋λ2(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是(　　) A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線 解析　設(shè)C(x，y)，因?yàn)椋溅?＋λ2， 所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即 解得又λ1＋λ2＝

4、1， 所以＋＝1，即x＋2y＝5 ， 所以點(diǎn)C的軌跡為直線，故選A. 答案　A 二、填空題 6.已知兩定點(diǎn)A(－2，0)，B(1，0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為__________. 解析　設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0. ∴P的軌跡為以(2，0)為圓心，半徑為2的圓. 即軌跡所包圍的面積等于4π. 答案　4π 7.已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝，則點(diǎn)P的軌跡方程為________. 解析　設(shè)P(x，y)，R(x1

5、，y1)，由＝知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∴即 ∵點(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x. 答案　y＝2x 8.在△ABC中，||＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且||－||＝2，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________. 解析　以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn). 則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|. ∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4， ∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C的焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝， ∴軌跡方程為－＝1(x＞).

6、 答案　－＝1(x＞) 三、解答題 9.如圖所示，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2，1

7、點(diǎn)M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0). 10.(2017·廣州模擬)已知點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn). (1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程； (2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 解　(1)連接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC， ∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|， 由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2， 即|OP|2＋|CP|2＝9， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]

8、＝9， 化簡(jiǎn)，得x2－x＋y2＝4. (2)存在.根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點(diǎn)C(1，0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y2＝2px(p＞0)上，其中＝1. ∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x， 由方程組得x2＋3x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0， 故取x＝1，此時(shí)y＝±2. 故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1，2). 11.已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4) 解析　如圖，|AD|

9、＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|，根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支(y≠0)，方程為－＝1(x>3). 答案　C 12.已知兩點(diǎn)M(－2，0)，N(2，0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足||·||＋·＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝4x D.y2＝－4x 解析?。?4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y). ∴||＝4，||＝，·＝4(x－2).根據(jù)已知條件得4＝4(2－x). 整理得y2＝－8x

10、.∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－8x. 答案　B 13.如圖，P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________. 解析　由于＝＋， 又＋＝＝2＝－2， 設(shè)Q(x，y)，則＝－＝，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有＋＝1，即＋＝1. 答案?。? 14.(2016·全國(guó)Ⅲ卷)已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn). (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程. 解　

11、由題設(shè)F，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0， 且A，B，P，Q，R. 記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明　由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2， 則k1＝＝＝＝－＝－b＝k2. 所以 AR∥FQ. (2)設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1，0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|， S△PQF＝.由題設(shè)可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去). 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB＝kDE可得＝(x≠1).而＝y(tǒng)， 所以y2＝x－1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合. 所以，所求軌跡方程為y2＝x－1. 6