2020版高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)層級(jí)快練第八章 立體幾何 作業(yè)56 含解析

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1、 1．在正方體?ABCD－A1B1C1D1?中，M?是?AB?的中點(diǎn)，則?sin〈DB1，CM〉的值等于(?? ) 題組層級(jí)快練?(五十六) → → 2 C.????2 1 A. 3  B. D. 210 15 11 15 答案 B 解析 分別以?DA，DC，DD1?為?x，y，z?軸建系，令?AD＝1， → → 1 ∴DB1＝(1，1，1)，CM＝(1，－2，0)． 2???? 15 ∴cos〈DB1，CM〉＝??? ＝ 2 → → 1 1－

2、5??15 3·  . ∴sin〈DB1，CM〉＝ 15 → → 210 . 2．已知直四棱柱?ABCD－A1B1C1D1?中，底面?ABCD?為正方形，AA1＝2AB，E?為?AA1?的中點(diǎn)，則 異面直線?BE?與?CD1?所成角的余弦值為( ) A.????10 5 10 5 10 3?10 C. 1 B. 3 D. ∴BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)． ∴cos〈BE，CD1〉＝??? ＝ 10 答案 C 解析 如圖，以?D?為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖

3、所示空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)?AA1＝2AB＝2，則?B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)． → → → → 1＋2 3?10 . 2·?5 3．若直線?l?的方向向量與平面?α?的法向量的夾角等于?120°，則直線?l?與平面?α?所成的角等于( ) A．120° C．30° B．60° D．150° 解析 設(shè)直線?l?與平面?α?所成的角為?θ，則?sinθ＝|cos120°|＝??，又?0°≤θ≤90°.∴θ＝30°. 答案 C 1 2 4．已知長方體?ABCD－A1B1C

4、1D1?中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線?BC1?與平面?DBB1D1?所成角的 正弦值為( ) 2 D.????10 A. C. 3 2 10 5 5 B. 10 答案 C 解析 由題意，連接?A1C1，交?B1D1?于點(diǎn)?O，連接?BO.∵在長方體?ABCD－A1B1C1D1?中，AB＝BC ＝4，∴C1O⊥B1D1.易得?C1O⊥平面?DBB1D1，∴∠C1BO?即為直線?BC1?與平面?DBB1D1?所成的角． 3 B.????3 C.????6 3 則?A(2，0，0)，C(

5、0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC＝(－2， 2，0)，AD1＝(－2，0，4)，BB1＝(0，0，4)． ì?n·?AC＝0， 設(shè)平面?ACD1?的法向量為?n＝(x，y，z)，則í ??n·AD?＝0， 即í???????????? 取?x＝2，則?y＝2，z＝1，故?n＝(2，2，1)是平面?ACD1?的一個(gè)法向量． 在? OBC1?中，OC1＝2?2，BC1＝2?5，∴直線?BC1?與平面?DBB1D1?所成角的正弦值為 選?C. 5.(2019·?遼寧沈陽和平區(qū)模擬)如圖，在正四棱柱?ABCD－A1B1C1D1?中，A

6、B＝2，BB1 ＝4，則直線?BB1?與平面?ACD1?所成角的正弦值為( ) 1 A. 3 2?2 D. 3 答案 A 解析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系． → → → → → 1 ì?－2x＋2y＝0， ? ?－2x＋4z＝0， 10 5  ，故 設(shè)直線?BB1?與平面?ACD1?所成的角是θ，則?sinθ?|cos〈n，BB1〉|＝ ＝ |n·BB1|??? 4??? 1 →???? 9×4? 3 → → |n|·|BB1|  ＝?????＝?.故選?A.

7、 6．若正三棱柱?ABC－A1B1C1?的所有棱長都相等，D?是?A1C1?的中點(diǎn)，則直線?AD?與平面?B1DC?所 成角的正弦值為( ) 5 5 4 D.????5 3 A. 3 C. 4 B. 5 設(shè)棱長為?1，則有?AD＝????5 ，B1D＝ ，DC＝?? ， 答案 B 解析 間接法：由正三棱柱的所有棱長都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知?B1D⊥平面?ACD，∴B1D⊥ DC B1DC?為直角三角形． 3 5 2 2 2 ∴S 1DC＝??× ×?? ＝??? . 3?????? 8???

8、3?? 2?? 2???????? 5 設(shè)直線?AD?與平面?B1DC?所成的角為?θ，則?sinθ＝??h ＝??. ì?n·?CD＝0，???ì－y＋2z＝0， ??n·CB?＝0? ????3x－y＋2z＝0 ∴sin〈AD，n〉＝????? ＝??. 1 3 5 15 2 2 2 8 設(shè)?A?到平面?B1DC?的距離為?h，則有 VA－B1DC＝VB1－ADC， 1 1 ∴3×h× B1DC＝3×B1D×S△ADC. 1 15 1 3 1 2 ∴?×h× ＝?× ×?，∴h＝ . 4 AD 5 向量法：如圖，取?AC?的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

9、立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)各棱長為?2， 則有?A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(?3，0，2)． 設(shè)?n＝(x，y，z)為平面?B1CD?的法向量， → 則有í ?í ?n＝(0，2，1)． → 1 → → AD·?n 4 → 5 |AD|·|n| 7．(2019·?河南林州期末)如圖，已知長方體?ABCD－A1B1C1D1?中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E?為線 1 段?AB?上一點(diǎn)，且?AE＝3AB，則?DC1?與平面?D1EC?所成的角的正弦值為( ) 35 7 C.

10、????3 D.????2 3?35 A. 3 2?7 B. 4 ∴DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)． 答案 A 解析 如圖，以?D?為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1?所在直線分別為?x?軸，y?軸，z?軸建立空間直角坐 標(biāo)系，則?C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)， → → → ìn·?→E＝0， ì（x，y，z）·?（1，1，－1）＝0， 則í??????????? 即í ??n·D?C＝0， ??（x，y，z）·?（0，3，－1）＝0

11、， 設(shè)平面?D1EC?的法向量為?n＝(x，y，z)， 1 → 1 ì?x＋y－z＝0， ì?x＝2y， 解得í 即í 取?y＝1，得?n＝(2，1，3)． ? ? ?3y－z＝0， ?z＝3y， ∵cos〈DC1，n〉＝ DC1·n? （0，3，1）·?（2，1，3） 3???35 35 →??????????????? 10×???14 → → ＝??????????????????????＝????， |DC1|·|n| 3?35 ∴DC1?與平面?D1EC?所成的角的正弦值為?35  ，故選?A.

12、 8．(2019·?昆明市高三調(diào)研)在長方體?ABCD－A1B1C1D1?中，AB＝AD＝4，AA1＝2.過點(diǎn)?A1?作平面?α 與?AB，AD?分別交于?M，N?兩點(diǎn)，若?AA1?與平面?α?所成的角為?45°，則截面?A1MN?面積的最小值 是( ) A．2?3 C．4?6 答案 B B．4?2 D．8?2 解析 如圖，過點(diǎn)?A?作?AE⊥MN，連接?A1E，∵A1A⊥平面?ABCD， A1A⊥MN，∴MN⊥平面?A1AE，∴A1E⊥MN，平面?A1AE⊥平面?A1MN， AA1E?為?AA1?與平面?A1MN?所成的角，∴∠A

13、A1E＝45°，在? A1AE ∴ ∴∠ 中， ∵AA1＝2，∴AE＝2，A1E＝2?2，在? MAN?中，由射影定理得?ME·EN＝AE2＝4，由基本不等 式得?MN＝ME＋EN≥2?ME·EN＝4，當(dāng)且僅當(dāng)?ME＝EN，即?E?為?MN?的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，∴截面 1 A1MN?面積的最小值為2×4×2?2＝4?2，故選?B. 9．(2019·?保定模擬)在直三棱柱?ABC－A1B1C1?中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱?AA1 ＝2，D，E?分別是?CC1?與?A1B?的中點(diǎn)，點(diǎn)?E?在平面?ABD?上的射影是△ABD?的

14、重心?G.則?A1B?與平 面?ABD?所成角的余弦值是( ) A. C. 2 3 3 2  B. D. 7 3 3 7 1)，G(??，??，??)，GE＝(??，??，??)，BD＝(0，－a，1)， 答案 B 解析 以?C?為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA?所在直線為?x?軸，CB?所在直線為?y?軸，CC1?所在直線為?z?軸，建立 a a 直角坐標(biāo)系，設(shè)?CA＝CB＝a，則?A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E(2，2， a a 1 → a a 2 →

15、 3 3 3 6 6 3 ∴GE⊥平面?ABD，∴GE·BD＝0，解得?a＝2. ∴GE＝(??，??，??)，BA1＝(2，－2，2)，3 3 3 ∵GE⊥平面?ABD，∴GE為平面?ABD?的一個(gè)法向量． 3 GE·BA1?????????? 2 ∵cos＝ ＝??????? ＝?? ， |GE|·|BA1|??? ×2???3 答案? 4???35 ∵點(diǎn)?E?在平面?ABD?上的射影是△ABD?的重心?G， → → → → 1 1 2 → → → 4 →?→ → → →

16、→ 6 3 3 3 ∴A1B?與平面?ABD?所成的角的余弦值為?7. 10．(2019·?河北承德期末)已知四棱錐?P－ABCD?的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面?ABCD， 且?PD＝AB，點(diǎn)?E?是棱?AD?的中點(diǎn)，F(xiàn)?在棱?PC?上．若?PF∶FC＝1∶2，則直線?EF?與平面?ABCD?所 成角的正弦值為________． 35 解析 如圖，以?D?點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系?D－xyz.設(shè)菱 ，－?，0)，F(xiàn)(0，?，?)，所以EF＝ 形?ABCD?的邊長為?2，則?D(0，0，0)，E( 

17、3???1?????????2?4??????→ 2????2?????????3?3 (－????3 7 ，??，??)． 4 2 6 3 又平面?ABCD?的一個(gè)法向量為?n＝(0，0，1)， 4 所以?cos〈EF，n〉＝ 35 →  （－ 3 ?????? 3）2＋（7）2＋（4）2×1 2???????6??????3 4?35 ＝????， 即直線?EF?與平面?ABCD?所成角的正弦值為???? . 4?35 35 11．(2019·?上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何

18、體，已知?AE⊥底面?BCFE，DF∥AE， DF＝AE＝1，CE＝?7，四邊形?ABCD?是正方形． (1)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體?EABC?是否為鱉臑， 答案?? (1)略? (2) 若是，寫出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請說明理由． (2)記?AB?與平面?AEC?所成的角為?θ，求?cos2θ?的值． 1 7 解析 (1)∵AE⊥底面?BCFE，EC，EB，BC?都在底面?BCFE?上，∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC. ∵四邊形?ABCD?

19、是正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面?ABE.又∵BE?平面?ABE，∴BC⊥BE，∴四 面體?EABC?是鱉臑，∠AEB，∠AEC，∠CBE，∠ABC?為直角． (2)∵AE＝1，CE＝?7，AE⊥EC， ∴AC＝2?2，又?ABCD?為正方形． ∴BC＝2，∴BE＝?3. 作?BO⊥EC?于?O，則?BO⊥平面?AEC，連接?OA，則?OA?為?AB?在面?AEC?上的射影．∴θ＝∠BAO， 由等面積法得?BE·BC＝EC·OB. ，sinθ＝?? ＝??? ，cos2θ＝1－2sin2θ＝??. ∴OB＝ 3·2 7 OB???2

20、1????????????????????1 AB???7?????????????????????7 答案?? (1)略? (2)????6 以?B?為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BD，BA的方向?yàn)?x?軸，y?軸，z?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 依題意，得?B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，Mè0，2，2?，則BC＝(1，1，0)， BM＝è0，2，2?，AD＝(0，1，－1)． ì?x0＋y0＝0， ì?n·?BC＝0， 則í?????????? 即í1 1 取?z0＝1，得平面?MBC?的一個(gè)法向量?n＝(1，－1，1)．

21、 ??n·BM＝0，?????2y0＋2z0＝0， 12.(2014·?福建，理)在平面四邊形?ABCD?中．AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD. 將△ABD?沿?BD?折起，使得平面?ABD⊥平面?BCD，如圖所示． (1)求證：AB⊥CD； (2)若?M?為?AD?中點(diǎn)，求直線?AD?與平面?MBC?所成角的正弦值． 3 解析 (1)∵平面?ABD⊥平面?BCD，平面?ABD∩平面?BCD＝BD，AB?平面?ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面?BCD. 又?CD?平面?BCD，∴AB⊥CD. (2)過點(diǎn)?B?在平面?BCD?

22、內(nèi)作?BE⊥BD，如圖所示． 由(1)知?AB⊥平面?BCD，BE?平面?BCD，BD?平面?BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD. → → → ? 1 1? → → ? 1 1? → 設(shè)平面?MBC?的法向量?n＝(x0，y0，z0)， → → 設(shè)直線?AD?與平面?MBC?所成角為?θ， 則?sinθ＝|cos〈n，AD〉|＝????? ＝?? ， 即直線?AD?與平面?MBC?所成角的正弦值為???6 → → |n·AD| 6 → 3 |n|·|AD|  3 

23、 . 四邊形?BDEF?是矩形，ED⊥平面?ABCD，∠ABD＝??，AB＝2AD. 答案?? (1)略? (2)????42 解析?? (1) ABD?中，∠ABD＝??，AB＝2AD， (2)由(1)可得，在? ABD?中，∠BAD＝??，BD＝???3AD，又由?ED＝BD，設(shè) 所以AE＝(－1，0，???3)，AC＝(－2，???3，0)． ì?n·?AE＝0， ì－x＋???3z＝0， ??n·AC＝0，????－2x＋???3y＝0， 因?yàn)锳F＝(－1，???3，???3)， 所以?cos〈n，AF〉＝????? ＝??? ， 13．(2019·

24、?鄭州一中測試)在如圖所示的多面體中，四邊形?ABCD?是平行四邊形， π 6 (1)求證：平面?BDEF⊥平面?ADE； (2)若?ED＝BD，求直線?AF?與平面?AEC?所成角的正弦值． 14 π 6 由余弦定理，得?BD＝?3AD， 從而?BD2＋AD2＝AB2，故?BD⊥AD， 所以△ABD?為直角三角形且∠ADB＝90°. 因?yàn)?DE⊥平面?ABCD，BD?平面?ABCD，所以?DE⊥BD. 又?AD∩DE＝D，所以?BD⊥平面?ADE. 因?yàn)?BD?平面?BDEF，所以平面?BDEF⊥平面?ADE.

25、π 3 AD＝1，則?BD＝ED＝?3. 因?yàn)?DE⊥平面?ABCD，BD⊥AD， 所以可以以點(diǎn)?D?為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE?所在直線分別為?x?軸，y?軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 則?A(1，0，0)，C(－1，?3，0)，E(0，0，?3)，F(xiàn)(0，?3，?3)， → → 設(shè)平面?AEC?的法向量為?n＝(x，y，z)， → 則?í 即í → 令?z＝1，得?n＝(?3，2，1)為平面?AEC?的一個(gè)法向量． → → → n·AF 42 → 14 |n|·|AF| 所以直

26、線?AF?與平面?AEC?所成角的正弦值為???42 14 . 在? ADC?中，由?AD＝???3，CD＝1，可得?AC＝2，AO＝??， ì n＝0，?AB· ì－???3x＋y＝0， ????答案 (1)略 (2)???42 ??????∴∠AEC＝90°， ＝ ＝ ，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，即?EO⊥AC. ??????????則?A(??，0，0)，B(0， ，0)，E(0，0， )，M(??，0， )，D(0，－ ，0)，N(??， ，0)， ????????????∴AB＝(－??， ，0)，AE＝(－??，0， )，DM＝(

27、??， ， )，MN＝(0， ，－ )， ???AE·n＝0，????－???3x＋z＝0， ????????設(shè)MP＝λMN(0≤λ≤1)，可得DP＝DM＋MP＝(??， ＋ λ， － λ)， ???? 2→ 42×???λ?＋λ＋4 14.(2019·?太原模擬)如圖，在四棱錐?E－ABCD?中，底面?ABCD?是圓內(nèi)接四邊形， CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝?3，EC⊥BD. (1)求證：平面?BED⊥平面?ABCD； (2)若點(diǎn)?P?在平面?ABE?內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且?DP∥平面?BEC，求直線?DP?與平面?ABE?所 成角的正弦值的最大值．

28、 7 解析 (1)如圖，連接?AC，交?BD?于點(diǎn)?O，連接?EO， ∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC， ∴△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD. 又?EC⊥BD，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面?AEC， 又?OE?平面?AEC，∴OE⊥BD. 又底面?ABCD?是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， 3 2 AE AO 3 AC AE 2 又?AC，BD?平面?ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面?ABCD， 又?EO?平面?BED，∴平面?BED⊥平

29、面?ABCD. (2)如圖，取?AE?的中點(diǎn)?M，AB?的中點(diǎn)?N，連接?MN，ND，DM， 則?MN∥BE，由(1)知，∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°， ∴△ABD?為正三角形，∴DN⊥AB，又?BC⊥AB， ∴平面?DMN∥平面?EBC，∴點(diǎn)?P?在線段?MN?上． 以?O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 2 4 4 3 3 3 3 3 3 3 → → → → 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 4 → 設(shè)平面?ABE?的法向量為?n＝(x，y，z)，則í 即í 令?x＝1，則?n＝(1，?3， → 3)， → → → → → 3 3 3 3 3 4 2 4 4 4 → n·DP 12 設(shè)直線?DP?與平面?ABE?所成的角為?θ，則?sinθ＝| |＝ ， |n|·|DP| ?∵0≤λ≤1，∴當(dāng)?λ??0?時(shí)，sinθ取得最大值??42. 7 故直線?DP?與平面?ABE?所成角的正弦值的最大值為  42 7  .