課時跟蹤檢測(八)直線與平面垂直的判定

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1、第 5 頁 共 5 頁 課時跟蹤檢測（八） 直線與平面垂直的判定 層級一　學業(yè)水平達標 1．若直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關系是(　　) A．a⊥b，且a與b相交 B．a⊥b，且a與b不相交 C．a⊥b D．a與b不一定垂直 解析：選C　過直線b作一個平面β，使得β∩α＝c，則b∥c.因為直線a⊥平面α，cα，所以a⊥c.因為b∥c，所以a⊥b.當b與a相交時為相交垂直，當b與a不相交時為異面垂直，故選C. 2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A．α∥β，且m?α　　　 B．m∥n，且n⊥

2、β C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β 解析：選B　A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B. 3．下列四個命題中，正確的是(　　) ①若一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，則這條直線與這個平面垂直； ②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面； ③若一條直線平行于一個平面，另一條直線垂直于這個平面，則這兩條直線互相垂直； ④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有惟一一個平面與另一條直線垂

3、直． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解析：選D?、佗诓徽_． 4.如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是(　　) A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定 解析：選C　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC. 5．若兩直線l1與l2異面，則過l1且與l2垂直的平面(　　 ) A．有且只有一個 B．可能存在，也可能不存在 C．有無數多個 D．一定不存在 解析：選B　當l1⊥l2時，過l1且與l2垂直的平

4、面有一個，當l1與l2不垂直時，過l1且與l2垂直的平面不存在． 6．在三棱錐V-ABC中，當三條側棱VA，VB，VC之間滿足條件________時，有VC⊥AB.(注：填上你認為正確的條件即可) 解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可． 答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保證VC⊥AB即可) 7．如圖所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中： (1)與PC垂直的直線有________； (2)與AP垂直的直線有________． 解析：(1)因為PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面A

5、BC，所以與PC垂直的直線有AB，AC，BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.又AP平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC 8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是________． 解析：如圖所示，作PD⊥BC于D，連接AD. ∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又PD∩PA＝P， ∴CB⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4. 答案：4

6、 9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF. 證明：如圖，連接PE，EC， 在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE， ∴PE＝CE， 即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中點， ∴EF⊥PC. 又BP＝＝2＝BC，F是PC的中點， ∴BF⊥PC. 又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. 10．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中． 求證：BD1⊥平面AB1C. 證明：連接BD，則BD⊥AC. 又∵DD1⊥平面ABCD， A

7、C平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面BDD1. ∵BD1平面BDD1， ∴AC⊥BD1. 同理B1C⊥BD1. 又AC∩B1C＝C, ∴BD1⊥平面AB1C. 層級二　應試能力達標 1．直線l⊥平面α，直線mα，則l與m不可能(　　 ) A．平行　　　　　　　 B．相交 C．異面 D．垂直 解析：選A　∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交． 又∵mα，∴l(xiāng)與m相交或異面． 由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m. 故l與m不可能平行． 2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是　　(　　) A．平面DD1

8、C1C　　　　　　 B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 答案：B 3．如圖，O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是(　　 ) A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 解析：選D　由題易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O. 4．已知兩條直線m，n，兩個平面α，β，給出下列四個命題： ①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，mα，nβ?m∥n； ③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β. 其中正確命題的序號是(　　

9、 ) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 解析：選C?、僬_；對于②，分別位于兩個平行平面內的兩條直線必沒有公共點，但它們不一定平行，也可能異面，因此②是錯誤的；對于③，直線n也可能位于平面α內，因此③是錯誤的；對于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正確的． 5．設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，給出下列命題： ①若l⊥α，則l與α相交； ②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，則l⊥α； ③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α； ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. 其中正確命題的序號為________． 解析：①顯然正確；對②

10、，只有當m，n相交時，才有l(wèi)⊥α，故②錯誤；對③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正確；對④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正確． 答案：①③④ 6．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，M為線段BB1上的一動點，則直線AM與直線BC的位置關系為________． 解析：∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AA1. ∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB. 又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B. 又AM平面AA1B1B， ∴AM⊥BC. 答案：垂直 7．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M

11、是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N. 求證：AN⊥平面PBM. 證明：設圓O所在的平面為α， ∵PA⊥α，且BMα， ∴PA⊥BM. 又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點， ∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM，而AN平面PAM， ∴BM⊥AN. ∴AN與PM，BM兩條相交直線互相垂直． 故AN⊥平面PBM. 8．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥CD，AD⊥BC. 求證：AC⊥BD. 證明：過A作AG⊥平面BCD于G，連接BG，則AG⊥CD. 又AB⊥CD，AG∩AB＝A， ∴CD⊥平面ABG. ∵BG平面ABG，∴CD⊥BG. 連接DG，同理DG⊥BC， ∴G是△BCD的垂心． 連接CG，則CG⊥BD， 又AG⊥BD，AG∩CG＝G， ∴BD⊥平面ACG， 又AC平面ACG， ∴AC⊥BD.