湖南師大附中 高二上學期期末考試數(shù)學理Word版含答案

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1、 湖南師大附中2017－2018學年度高二第一學期期末考試 數(shù)學(理科) 命題：賀仁亮　朱修龍　嚴勇華　周艷軍 審題：高二數(shù)學備課組 時量：120分鐘　　　滿分：150分 得分：______________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．設向量a＝(1，0)，b＝，則下列結(jié)論中正確的是 A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝

2、C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直 3．設m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題： ①β∥γ；②m⊥β；③α⊥β；④m∥α. 其中正確的命題是 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 4．已知命題p：x0∈R，使sin x0＝；命題q：x∈，x>sin x，則下列判斷正確的是 A．p為真 B．綈q為真 C．p∧q為真 D．p∨q為真 5．若曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相異兩點P、Q關于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為 A．1 B．－1 C. D．2 6．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x

3、＋φ)的圖象關于直線x＝0對稱，則φ的值可以是 A. B. C. D. 7．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為 A．1 B．－1 C．0 D．2 8．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 年收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 年支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝y(tǒng)－x，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元時家庭年支出為 A．

4、11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 9．若曲線f(x)＝xsin x＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a等于 A．－2 B．－1 C．1 D．2 10．公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為 (參考數(shù)據(jù)：≈1.732；sin 15°≈0.258 8； sin 7.5°≈0.130 5

5、.) A．12 B．24 C．36 D．48 11．若雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為 A．1 B．2 C．3 D．6 12．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為 A．2 B．2 C．4 D．2 答題卡 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5

6、分，共20分． 13．∫－(1＋cos x)dx＝________． 14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝2x2＋x 的圖象上，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________． 15．設m>1，在約束條件下，目標函數(shù)z＝x＋5y的最大值為4，則m的值為________． 16．已知P是拋物線y2＝4x上一動點，則點P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是________． 三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分) △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

7、c，其中c為最大邊，又已知b＝R，其中R是△ABC的外接圓半徑．且bsin B＝(a＋c)sin A. (Ⅰ)求角B的大??； (Ⅱ)試判斷△ABC的形狀． 18.(本小題滿分12分) 在如圖所示的六面體中，面ABCD是邊長為2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4. (Ⅰ)求證：AC∥平面DEF； (Ⅱ)若二面角E－AB－D為60°，求直線CE和平面DEF所成角的正弦值． 19.(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)． (Ⅰ)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的

8、通項公式； (Ⅱ)設數(shù)列滿足bn＝2log4，證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 20.(本小題滿分12分) 某商場準備在春節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該商場決定從2種服裝，2種家電，3種日用品這3類商品中，任意選出3種商品進行促銷活動． (Ⅰ)若選出的3種商品中至少有一種是日用商品，求共有多少種選法？ (Ⅱ)商場采用顧客每購買一件促銷商品就可摸獎一次的促銷方案：若甲箱中裝有3個紅球、3個黑球，乙箱中裝有2個紅球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次分別從以上兩個箱中各隨機摸出2個球，共四個球．若摸出4個球都是紅球，則獲得一等獎；摸出的球中有3個紅球，則獲得二等獎；摸出的球

9、中有2個紅球，則獲得三等獎；其他情況不獲獎，試求在1次摸獎中，獲得一、二、三等獎的概率p1、p2、p3. 21.(本小題滿分12分) 已知橢圓C1：＋＝1，橢圓C2以C1的短軸為長軸，且與C1有相同的離心率． (Ⅰ)求橢圓C2的方程； (Ⅱ)若橢圓C2與x軸正半軸相交于點A.過點B(1，0)作直線l與橢圓C2相交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF與直線x＝3分別交于點M，N.求·的取值范圍． 22.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－(m＋2)x有兩個極值點x1、x2，其中x1

10、－？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 湖南師大附中高二第一學期期末考試理科數(shù)學參考答案－(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加) 湖南師大附中2017－2018學年度高二第一學期期末考試 數(shù)學(理科)參考答案 一、選擇題 1．B　【解析】由題意＝＝＝－1＋i，其對應的點坐標為(－1，1)，位于第二象限，故選B. 2．D　【解析】|a|＝＝1，|b|＝＝； a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b與b垂直． 3．C　【解析】由定理可知①③正確，②中m與β的位置關系不確定，④中可能mα.故選C. 4．D　【解析】由于三角函數(shù)y＝

11、sin x的有界性，－1≤sin x0≤1，所以p假；對于q，構(gòu)造函數(shù)y＝x－sin x，求導得y′＝1－cos x，又x∈，所以y′>0，y為單調(diào)遞增函數(shù)，有y>y＝0恒成立，即x∈，x>sin x，所以q真．判斷可知，D正確． 5．D　【解析】曲線方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由題設知直線過圓心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故選D. 6．D　【解析】f(x)＝2sin， 又y＝f(x＋φ)＝2sin的圖象關于直線x＝0對稱，即為偶函數(shù)，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，當k＝0時，φ＝. 7．A　【解析】設a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝a＝(2＋)4，a

12、0－a1＋a2－a3＋a4＝b＝(2－)4， 則待求式＝ab＝[(2＋)(2－)]4＝1. 8．B　【解析】由已知得x＝＝10(萬元)，y＝＝8(萬元)，故＝8－0.76×10＝0.4，所以回歸直線方程為＝0.76x＋0.4， 當社區(qū)一戶年收入為15萬元時家庭年支出為＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)，故選B. 9．D　【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1，即函數(shù)f(x)＝xsin x＋1在x＝處的切線的斜率是1，直線ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.故選D. 10．B　【解析】n＝6時，S＝×6×sin 60°＝≈2.598<3.1

13、0，故n＝12；又n＝12時，S＝×12×sin 30°＝3<3.10，故n＝24；又n＝24時，S＝×24×sin 15°≈3.105 6>3.10，故輸出n的值為B. 11．B　【解析】雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，即x±ay＝0，圓(x－2)2＋y2＝4的圓心為C(2，0)，半徑為r＝2，如圖，由圓的弦長公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圓心C(2，0)到雙曲線－＝1的漸近線x－ay＝0的距離為d＝＝，所以＝，解得a2＝1， 即a＝1，該雙曲線的實軸長為2a＝2. 12．C　【解析】結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算．如圖設長方體的長，寬，高分別為m，n，k

14、，由題意得＝，＝n＝1，＝a，＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16a＋b≤4，當且僅當a＝b＝2時取等號．選C. 二、填空題 13．π＋2　【解析】∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∫－(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|－＝＋sin－＝π＋2. 14．4n－1　【解析】由題意可得：Sn＝2n2＋n，易知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為3，公差為4，∴an＝4n－1. 15．3　【解析】作出約束條件對應的可行域為如圖所示陰影△OAB. ∵目標函數(shù)可化為y＝－x＋z，它在

15、y軸上的截距最大時z最大． ∴當目標函數(shù)線過點A時z最大．由解得A， ∴zmax＝＋＝＝4， ∴m＝3. 16.－1【解析】由題意知，拋物線的焦點為F(1，0)．設點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 三、解答題 17．【解析】(Ⅰ)△ABC中，b＝R，∴sin B＝＝，又c為最大邊， 所以B∈，∴B＝；(4分) (Ⅱ)由bsin B＝(a＋c)sin A，得b2＝(a＋

16、c)a，∴a2＋c2－2accos B＝a2＋ac. 化簡得：c－2acos B＝a.由正弦定理可得sin C－2sin Acos B＝sin A．∵sin C＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin A. ∴sin (B－A)＝sin A．∵0

17、形AOGF是平行四邊形，(3分) ∴AC∥FG，又因為FG平面DEF，AC平面DEF. ∴AC∥平面DEF.(5分) (另解：延長BA，EF相交于點G，連接GD可證明AC平行GD) (Ⅱ)∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°， ∴DA⊥AB，F(xiàn)A⊥AB. ∵AD∩AF＝A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC. 又∵AB平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD， 又因為二面角E－AB－D為60°， 所以∠FAD＝∠EBC＝60°，BE＝2AF＝4，BC＝2，由余弦定理得EC＝2， 所以EC⊥BC，又因為AB⊥平面EBC，所以EC⊥AB

18、，所以EC⊥平面ABCD，(7分) 以C為坐標原點，CB為x軸、CD為y軸、CE為z軸建立空間直角坐標系．則C(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(1，2，)，(8分) 所以＝(0，0，2)，＝(1，0，)，＝(1，2，－)，設平面DEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，則即 令z＝，則 所以n＝(－3，3，)．(11分) 設直線CE和平面DEF所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.(12分) (其它解法酌情給分) 19．【解析】(Ⅰ)由an＋1＝3an－2an－1，可得an＋1－an＝2(an－an－1)，(2分) ∵a2－a1＝2，∴{an

19、＋1－an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 即an＋1－an＝2n.(3分) ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝ ＝2n－1.(6分) (Ⅱ)由題意得bn＝2log4(2n)2＝2n.(7分) ∵＝＝＝.(9分) ∴＋＋…＋ ＝ ＝<. ∴對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)從2種服裝，2種家電，3種日用品中，任選出3種商品一共有C種選法，選出的3種商品中沒有日用品的選法有C種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的選法有C－C＝35－4＝31.(3分) (Ⅱ)在

20、1次摸獎中，摸出的球共有CC種可能， 則獲得一等獎的概率為p1＝＝；(6分) 獲得二等獎的概率為p2＝＝；(9分) 獲得三等獎的概率為p3＝＝.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)由題意可設橢圓C2的方程為＋＝1(a>b>0)， 則a＝2，e＝.∴c＝，b2＝1. ∴橢圓C2的方程為＋y2＝1.(4分) (Ⅱ)由橢圓C2的方程可知點A的坐標為(2，0)． (1)當直線l的斜率不存在時，不妨設點E在x軸上方， 易得E，F(xiàn)，M，N，所以·＝1.(6分) (2)當直線l的斜率存在時，由題意可設直線l的方程為y＝k(x－1)，顯然k＝0時，不符合題意． 由消y并整理得(4k2＋1)x

21、2－8k2x＋4k2－4＝0. 設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.(7分) 直線AE，AF的方程分別為：y＝(x－2)，y＝(x－2)， 令x＝3，則M，N. 所以＝，＝.(8分) 所以·＝(3－x1)(3－x2)＋· ＝(3－x1)(3－x2) ＝(3－x1)(3－x2) ＝[x1x2－3(x2＋x2)＋9)× ＝· ＝·＝＝1＋.(11分) 因為k2＞0，所以16k2＋4＞4，所以1<<，即·∈. 綜上所述，·的取值范圍是.(12分) 22．【解析】(Ⅰ) f′(x)＝＋x－(m＋2)＝(x>0)， 于是f(x)有兩個極值點需要二

22、次方程x2－(m＋2)x＋1＝0有兩個不等的正根， 則，解得m>0， 此時在(0，x1)上f′(x)>0，(x1，x2)上f′(x)<0， (x2，＋∞)上f′(x)>0，因此x1、x2是f(x)的兩個極值點，符合題意． 所以m的取值范圍是(0，＋∞)．(4分) (Ⅱ)假設存在實數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的極小值大于－， 由(Ⅰ) 可知方程x2－(m＋2)x＋1＝0有兩個不等正根x1、x2，且x1x2＝1，x11，f(x)在x＝x2處取得極小值，由x－(m＋2)x2＋1＝0，得(m＋2)x2＝x＋1， 所以函數(shù)f(x)的極小值為f(x2)＝ln x2＋x－(m＋2)x2＝ln x2－x－1.(8分) 設g(x)＝ln x－x2－1(x>1)，則g′(x)＝－x＝<0， 于是g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而g(e)＝－，要使得函數(shù)f(x)的極小值大于－， 即使f(x2)>－，即g(x2)>－＝g(e)，∴x2