山東省2019中考數(shù)學(xué) 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形課件.ppt

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1、考點一 矩形的性質(zhì)與判定 (5年5考) 例1 如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB,添加一個條件,不能使四邊形DBCE成為矩形的是( ) A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90 D.CE⊥DE,【分析】 先證明四邊形BCDE為平行四邊形,再根據(jù)矩形的判定進行分析.,【自主解答】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC, AD=BC. 又∵AD=DE, ∴DE∥BC,且DE=BC, ∴四邊形BCED為平行四邊形. ∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE, ∴?DBCE為矩形,故A選項不符合題意;,∵對角線互相垂直的平行四邊形為菱形,

2、不一定為矩形, 故B選項符合題意; ∵∠ADB=90,∴∠EDB=90, ∴?DBCE為矩形,故C選項不符合題意; ∵CE⊥DE,∴∠CED=90, ∴?DBCE為矩形,故D選項不符合題意.故選B.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用:從邊上看,兩組對邊分別平行且相等;從角上看,矩形的四個角都是直角;從對角線上看,對角線互相平分且相等,同時把矩形分為四個面積相等的等腰三角形.,(2)矩形的判定方法:若四邊形可以證為平行四邊形,則 還需證明一個角是直角或?qū)蔷€相等;若直角較多,可利 用“三個角為直角的四邊形是矩形”來證.,1.(2018棗莊中考)如圖,在矩形ABCD中,點E是邊BC的

3、 中點,AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值為( ),A,2.(2018濱州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC= 4,點E,F(xiàn)分別在BC,CD上,若AE= ,∠EAF=45,則 AF的長為 .,3.如圖,在?ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在邊CD 上,DF=BE,連接AF,BF. (1)求證:四邊形BFDE是矩形; (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.,(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴DC∥AB,即DF∥BE. 又∵DF=BE,∴四邊形BFDE為平行四邊形. 又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90, ∴四邊形BFDE為矩形.,(2)

4、∵四邊形BFDE為矩形,∴∠BFC=90. ∵CF=3,BF=4,∴BC= =5. ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC=5, ∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA. 又∵DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB, ∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.,考點二 菱形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例2 (2017濱州中考)如圖,在?ABCD中,以點A為圓心,AB 長為半徑畫弧交AD于點F;再分別以點B,F(xiàn)為圓心,大于 BF的相同長為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交 BC于點E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程,求證:四邊形ABEF是菱形; (

5、2)若菱形ABEF的周長為16,AE=4 ,求∠C的大?。?【分析】 (1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進行判定; (2)連接BF,利用菱形的性質(zhì),通過解直角三角形確定∠OAF的度數(shù),從而可知∠C的度數(shù).,【自主解答】(1)由作圖過程可知,AB=AF,AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠EAF. ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD, ∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE,∴BE=AF, ∴四邊形ABEF為平行四邊形,∴四邊形ABEF為菱形.,(2)如圖,連接BF. ∵四邊形ABEF為菱形, ∴BF與AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE,,∵菱形ABEF的周長

6、為16,∴AF=4, ∴∠OAF=30,∴∠BAF=60. ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠C=∠BAD=60.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)判定一個四邊形是菱形時,一是證明四條邊相等;二是先證明它是平行四邊形,進而再證明它是菱形. (2)運用菱形的性質(zhì)時,要注意菱形的對角線互相垂直這個條件;此外,菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸,運用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值.,4.(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點, 所得四邊形必定是( ) A.鄰邊不等的平行四邊形 B.矩形 C.正方形 D.菱形,D,5.(2018日照中考)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC, BD

7、相交于點O,AO=CO,BO=DO.添加下列條件,不能判定 四邊形ABCD是菱形的是( ) A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO,B,6.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點, 過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF. (1)求證:AF=DC; (2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.,(1)證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE. ∵E是AD的中點,AD是BC邊上的中線, ∴AE=DE,BD=CD. 在△AFE和△DBE中, ∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.,(2)解

8、:四邊形ADCF是菱形. 證明如下:∵AF∥BC,AF=DC, ∴四邊形ADCF是平行四邊形. ∵AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,∴AD= BC=DC, ∴平行四邊形ADCF是菱形.,考點三 正方形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例3 (2014濱州中考)如圖,已知正方形ABCD,把邊DC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)30到DC′處,連接AC′,BC′,CC′,寫出圖中所有的等腰三角形,并寫出推理過程.,【分析】 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定得出相等的邊,從而得出圖中的等腰三角形. 【自主解答】圖中的等腰三角形有△DCC′,△DC′A,△C′AB,△C′BC. 推理過程:∵四邊形A

9、BCD是正方形, ∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90, ∴DC=DC′=DA,,∴△DCC′,△DC′A為等腰三角形. ∵∠C′DC=30,∠ADC=90,∴∠ADC′=60, ∴△AC′D為等邊三角形, ∴AC′=AD=AB,∴△C′AB為等腰三角形. ∵∠C′AB=90-60=30,∴∠CDC′=∠C′AB,,在△DCC′和△ABC′中, ∴△DCC′≌△ABC′,∴CC′=C′B, ∴△C′BC為等腰三角形.,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一個四邊形是正方形,可以先判定四邊形為矩形,再證鄰邊相等或者對角線互相垂直;或先判定四邊形為菱形,再證有一個角是直角或者對角線相等

10、. (2)正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它們的所有性質(zhì).,7.(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長為5,點E,F(xiàn)分 別在AD,DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點H為BF的 中點,連接GH,則GH的長為 .,8.已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點G是射線AB上的一個動點,以DG為邊向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于點H.,(1)若點G在點B的右邊.試探索:EH-BG的值是否為定值,若是,請求出定值;若不是,請說明理由. (2)連接EB,在G點的整個運動(點G與點A重合除外)過程中,求∠EBH的度數(shù).,解:(1)EH-BG的值是定值. ∵EH⊥AB,

11、∴∠GHE=90,∴∠GEH+∠EGH=90. 又∵∠AGD+∠EGH=90,∴∠GEH=∠AGD. ∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形, ∴∠DAG=90,DG=GE,∴∠DAG=∠GHE.,在△DAG和△GHE中, ∴△DAG≌△GHE(AAS),∴AG=EH. 又∵AG=AB+BG,AB=4,∴EH=AB+BG, ∴EH-BG=AB=4.,(2)①如圖1,當(dāng)點G在點B的左側(cè)時, 同(1)可證得△DAG≌△GHE, ∴GH=DA=AB,EH=AG,∴BH=AG=EH. 又∵∠GHE=90,∴△BHE是等腰直角三角形, ∴∠EBH=45.,②如圖2,當(dāng)點G在點B的右側(cè)時, 由△DA

12、G≌△GHE, ∴GH=DA=AB,EH=AG,∴AG=BH. 又∵EH=AG,∴EH=HB. 又∵∠GHE=90,∴△BHE是等腰直角三角形, ∴∠EBH=45.,③如圖3,當(dāng)點G與點B重合時, 同理△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG=AB, ∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形, ∴∠EBH=45. 綜上所述,在G點的整個運動(點G與點A重合除外)過程中,∠EBH都等于45.,考點四 四邊形綜合題 百變例題(2018棗莊中考改編)如圖,將矩形ABCD沿AF折 疊,使點D落在BC邊上的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G, 連接DG.,(1)求證:四邊形EFDG是菱形;

13、 (2)探究線段EG,GF,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (3)若 求BE的長.,【分析】 (1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF =∠DFG,從而得到GD=DF,再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG =GE=DF=EF; (2)連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF = GF,然后證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可 證明DF2=FOAF,于是可得到EG,AF,GF的數(shù)量關(guān)系;,(3)過點G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG,然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長,然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角

14、形的性質(zhì)可求得GH的長,最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.,【自主解答】 (1)∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG. ∵由翻折的性質(zhì)可知GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF, ∴∠DGF=∠DFG,∴GD=DF, ∴DG=GE=DF=EF, ∴四邊形EFDG是菱形. ∵四邊形EFDG是菱形,,變式1:如圖,若點G在BE上,AD=10,AB=6,CE=2, 將△ABG沿AG折疊,點B恰好落在線段AE上的點H處.求證: (1)∠FAG=45; (2)S△ABG= S△EGH; (3)BG+CE=GE.,證明:如圖, 由題意可知,BG=GH,AE=AD=10,AH=AB=6, ∠1=∠2,∠3

15、=∠4. (1)∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠BAD=90, ∴∠2+∠3= ∠BAD= 90=45, 即∠FAG=45.,(2)∵AE=10,AH=6,∴HE=AE-AH=10-6=4. 設(shè)BG=x,∴GH=BG=x, ∴GE=AD-BG-EC=10-x-2=8-x. 在Rt△GHE中, ∵GE2=GH2+HE2,∴(8-x)2=x2+42,∴x=3, 即GH=BG=3,,(3)∵GE=8-x=8-3=5,BG+EC=3+2=5, ∴BG+CE=GE.,變式2:如圖,矩形ABCD中,AD=10,AB=6,若點M是BC邊上一點,連接AM,把∠B沿AM折疊,使點B落在點B′處,當(dāng)△CMB′為直角三

16、角形時,求BM的長.,解: 如圖,當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時,連接AC. 在Rt△ABC中,AB=6,BC=10, ∵∠B沿AM折疊,使點B落在點B′處, ∴∠AB′M=∠B=90.,當(dāng)△CMB′為直角三角形時,只能得到∠MB′C=90, ∴點A,B′,C共線,即∠B沿AM折疊,使點B落在對角線 AC上的點B′處, ∴MB=MB′,AB=AB′=6,∴CB′=2 -6. 設(shè)BM=x,則MB′=x,CM=10-x,,在Rt△CMB′中, ∵MC2=MB′2+CB′2, (10-x)2=x2+(2 -6)2,,如圖,當(dāng)點B′落在AD邊上時, 此時四邊形ABMB′為正方形,∴BM=AB=6. 綜上所述,BM的長為 或6.,

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