第20題 正方體涂漆

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1、第20題　正方體涂漆 由n３(n=2,3，…）個(gè)單位正方體可以組成一個(gè)體積為n×ｎ×n的正方體(如圖２０—1，由53個(gè)單位正方體組成一個(gè)體積為５×5×5的正方體），將它的表面涂漆后，再把它分解成原來的單位正方體。問有多少個(gè)單位正方體三面涂漆?有多少個(gè)兩面涂漆？有多少個(gè)一面涂漆？有多少個(gè)沒有涂漆？ 分析:我們可以通過觀察n=2，3，4,5，6…的特例,編排數(shù)表，尋找模式。 從表20—1可以發(fā)現(xiàn)，對任一個(gè)ｎ(n=２，3,4，…)，３面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)都是8,而且這8個(gè)單位正方體恰好位于n×n×ｎ的正方體的頂點(diǎn)處。進(jìn)一步觀察,又將發(fā)現(xiàn)，2面涂漆的單位正方體都位于大正方

2、體的12條棱處。對于n=3，每條棱上恰有1個(gè)，所以共有１2個(gè)；對于ｎ=4，每條棱上恰有2個(gè),所以共有2×1２＝24個(gè)……同樣，１面涂漆的單位正方體都位于大正方體的6個(gè)面上,而不在大正方體表面的單位正方體都沒有涂漆。由以上規(guī)律，我們將很容易給出問題的解. 　　解:因?yàn)橹挥性趎×n×ｎ的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位正方體才是３面涂漆的，所以共有８個(gè)單位正方體3面涂漆。因?yàn)橹挥性趎×n×n的正方體的12條棱處且不在頂點(diǎn)處的單位正方體才是２面涂漆的,所以共有１2（n—2）個(gè)單位正方體２面涂漆.同樣,１面涂漆的單位正方體都位于ｎ×ｎ×n的正方體的６個(gè)面上且不在12條棱處,所以共有6(n—2）2 個(gè)單位正方

3、體1面涂漆.余下的(n—2)3個(gè)單位正方體都沒有涂漆。 　 回顧：觀察n=2,3，4，…時(shí)，3面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表20-１的第3列)，2面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表20—１的第4列)，1面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列(表20－１的第5列)，0面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表20—1的第6列），我們發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)數(shù)列８，8,8，８，8…是一個(gè)常數(shù)列，而第2個(gè)數(shù)列0,１2，２4,３6，4８,…有什么性質(zhì)呢？如果我們把這數(shù)列的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng)。 0—1２—24-３６-４8… ↓ ↓　↓　↓ 　 12 12 12 １2… 　就得到一個(gè)

4、新的數(shù)列12,12，1２，12…，它也是一個(gè)常數(shù)列。 如果我們把第3個(gè)數(shù)列０，6,24，5４，96，…的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng), 0—６—24—54—９6… 　 ↓ ↓ ↓ ↓ 　6 18 3０ 4２… 得到一個(gè)新的數(shù)列6，18,30,4２,…,再把這數(shù)列的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng)，再次得到一個(gè)常數(shù)列１２,12,12，…. 給定一個(gè)數(shù)列｛ａn｝={a0，a1，a2，…,ａn,…｝,我們把 bｎ＝ａn+1—an 叫做數(shù)列｛an｝的差分,把數(shù)列｛ｂn｝=｛a1—ａ0，ａ2-a１,…，ａn—aｎ-1，…｝叫做｛ａn｝的一階差分?jǐn)?shù)列，把數(shù)列｛bｎ}的一階差分?jǐn)?shù)列{b2-b1，

5、b3-ｂ２,…，ｂn＋1-ｂn，…｝叫做{ａn｝的二階差分?jǐn)?shù)列，再把{ａn｝的二階差分?jǐn)?shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列叫做{ａｎ｝的三階差分?jǐn)?shù)列,依次類推. 　 有了差分?jǐn)?shù)列的概念后，再看上述問題所得到的4個(gè)數(shù)列，就會發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律： 第2個(gè)數(shù)列0，12，24，36，48，…,１2(n-2),…的一階差分?jǐn)?shù)列 １2，1２，12，１２，… 是非零的常數(shù)列，它的通項(xiàng)12(n-2)為ｎ的1次多項(xiàng)式；第3個(gè)數(shù)列 0,　6，　24， 54， 9６，…， 6(n-2）２,… 的二階差分?jǐn)?shù)列也是非零的常數(shù)列,它的通項(xiàng)6（n—２)2為n的２次多項(xiàng)式； 　　對于第4個(gè)數(shù)列 0， 1， ８， 27,　64，

6、 125， 21６,…,(n—2)3　，…, 它的通項(xiàng)(ｎ-2）3為ｎ的3次多項(xiàng)式,那么是否它的三階差分?jǐn)?shù)是一個(gè)非零的常數(shù)列呢？ 　　可以看到，第4個(gè)數(shù)列的三階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列. 　　一般地，數(shù)列{ａｎ}的k階差分?jǐn)?shù)列為非零的常數(shù)列的充要條件是它的通項(xiàng)aｎ為n的ｋ次多項(xiàng)式. 　 利用上述結(jié)果,我們可以從一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)來猜測它的通項(xiàng)。因?yàn)閿?shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)an不一定是ｎ的k次多項(xiàng)式，而用計(jì)算差分所猜測的通項(xiàng)只能是n的多項(xiàng)式,所以對猜測的結(jié)果必須加以證明。例如，我們從上述的第４個(gè)數(shù)列的前７項(xiàng) 0，1,8，２7,6４,125，２1６， 　　發(fā)現(xiàn)它的三階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)

7、非零常數(shù)列6，６，6，6。于是,我們立即可以猜測它的通項(xiàng)是n的３次多項(xiàng)式，設(shè)為 aｎ=an３+bn２+cn＋d 　這樣就可以用待定系數(shù)法求出a,b,c,d,因?yàn)? 　ａ2＝２3·a＋22·b＋2c+d=0 　 a3=33·a+32·b+3c+ｄ=1 　 ａ4=43·a＋42·ｂ＋4c＋d＝8 　 ａ5＝５3·ａ＋５2·b+5c＋d=27 　　所以由解上述方程組可得 ａ=1，b=—6,ｃ=12，d=—8 于是，我們從表20-1的前若干項(xiàng)，用差分的方法，可以猜測第4個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為 ａn＝n3—6n２＋１２n-８=(n-2）3 　因此，可以猜測,一個(gè)表面涂漆的體積為n×

8、n×n的正方體中有（n-2）3個(gè)單位正方體沒有涂漆。同樣，據(jù)觀察n=2,3,4,5,６的特例,直接利用差分方法，可以猜測,2面涂漆的有１2（n-２）個(gè),1面涂漆的有6（n-2）2個(gè)。 根據(jù)一個(gè)數(shù)列｛an}的前若干項(xiàng),利用差分方法，猜測它的通項(xiàng)。在通項(xiàng)ａｎ恰是n的多項(xiàng)式時(shí)，這確是一個(gè)有效的方法。因?yàn)閺乃聹y的結(jié)果可以受到某些啟示，幫助我們最終解決問題.下面我們再來討論一個(gè)問題： 　順次計(jì)算數(shù)列12,12+２2,12+2２+32，12＋22＋３２＋４２，1２＋2２+32＋42+５2,1２＋22+3２+4２+５2＋62，…的前６項(xiàng)的值,由此猜測 an=１2+2２＋…+ｎ２ 求和的結(jié)

9、果。 　　根據(jù)12=1，12＋２２=5，12＋22＋32=14，１2+２2+3２+42 =30，12+2２+3２＋42+５2=55,1２＋22＋32+42＋52＋62=9１，計(jì)算數(shù)列1,5,1４，30，５5，91，…的差分 　由于三階差分?jǐn)?shù)列是非零的常數(shù)列,所以猜測an是n的３次多項(xiàng)式an3+bn2＋cｎ+d,利用待定系數(shù)法,還可進(jìn)一步求出a，b，ｃ，ｄ的值： 　解四元一次方程組 　　得 　因此,可以猜測 　即 　 　 有了上式的猜測,如果我們學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法，就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明(１)式對任何的自然數(shù)ｎ都成立. 　　注:差分是“計(jì)算方法”（數(shù)學(xué)的一

10、個(gè)分支)中的一個(gè)重要概念，而計(jì)算方法所研究的數(shù)學(xué)問題的求解算法是與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的。雖然差分非常有用，但這里就不再進(jìn)一步介紹了。 練習(xí)20 　 １．用差分方法從給定數(shù)列{aｎ｝的前6項(xiàng) 4，９，1８，31,4８,69， 　 猜測它的通項(xiàng)（an｝. 2．計(jì)算凸n邊形當(dāng)n=3,4,5,6，7時(shí)的對角線條數(shù),用差分方法猜測凸n邊形的對角線條數(shù)ａn。 　　3. 　上表中r(n）表示將ｎ寫成若干個(gè)數(shù)字1和2之和的方式的個(gè)數(shù)(不考慮和式中各數(shù)的前后次序)。例如， 4=1+1＋1+1=1＋１＋2=2＋２， 　 所以r（4)=3，其中１＋１＋2,1+2＋1,2＋1+1都是同一種方式。 (1)計(jì)算ｒ(6)，r(7）和ｒ（8)； 　　(2)猜測ｒ(ｎ）的公式,并給予證明。 不足之處，敬請諒解 7 / 7