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1、1241 引言 42 外力偶矩和扭矩43 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)44 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強(qiáng)度計算45 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算46 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介第四章 扭 轉(zhuǎn)*圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題341 引 言 軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、汽車轉(zhuǎn)向軸、攪拌器軸等。受力特點：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用有力偶.ABOmmOBA變形特點：任意橫截面繞桿軸相對轉(zhuǎn)動。（桿表面縱線螺 旋線扭轉(zhuǎn)變形）4扭轉(zhuǎn)角(相對扭轉(zhuǎn)角)（）：任意兩橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動而 發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變(切應(yīng)變)（）：直角的改變量。mmOBA5工 程 實 例642 外力偶矩和扭矩一、外力偶矩 m)(kN559n
2、P.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW）n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS）n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1kW =1000Nm/s =1.36PS 使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的力偶矩。數(shù)值上等于桿件所受外力對桿軸的力矩。傳動軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：73 扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。2 截面法求扭矩84 扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。目 的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計算（危險截面）
3、。xT9例1已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m10nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 ,02121.mTmTmCmkN569784784(,0 322322.).mmTmmTmkN376 ,0 42
4、43.mTmT求扭矩:任意截面的扭矩,數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力偶矩的代數(shù)和.轉(zhuǎn)向與這些外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反.11繪制扭矩圖mkN 569max.TBC段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371243 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒：壁厚0101rt（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶 m。132.實驗后：圓周線的大小、形狀、間距不變；縱向線變成斜直線，傾角相同。3.結(jié)論：各圓周線的間距均未改變橫截面上無正應(yīng)力.圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動周向無正應(yīng)力 縱向線傾斜橫截面上有切應(yīng)力.各縱向線
5、均傾斜了同一微小角度 切應(yīng)力均勻分布.14acdb 橫截面上無正應(yīng)力 周向無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：15二、薄壁圓筒切應(yīng)力 與剪應(yīng)變：TrAA0d A0：平均半徑所作圓的面積。TtrrArA000 2d tATtrT 2 2 0 20切應(yīng)力剪應(yīng)變LRRL/mmOBA16三、切應(yīng)力互等定理：0故dxdytdxdytmz上式稱為切應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdytz
6、17四、剪切虎克定律：單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實驗 18T=m)/()2(0RLtAT 剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（p)(在彈性范圍內(nèi))，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。在一定范圍內(nèi) 19G 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出
7、來。)1(2EG2044 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強(qiáng)度計算圓軸橫截面應(yīng)力變形幾何方面物理關(guān)系方面靜力學(xué)方面 1.橫截面變形后 仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實驗觀察：2122二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1xdd距圓心為 任一點處的與到圓心的距離成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率(單位長度扭轉(zhuǎn)角)。232.物理關(guān)系：胡克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 距圓心等距離處的切應(yīng)力相等243.靜力學(xué)關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理
8、關(guān)系式 得：xGdd pIT25pIT橫截面上距圓心為處任一點切應(yīng)力計算公式。4.公式討論：僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。該點到圓心的距離。Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。26單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。AIApd2對于實心圓截面：DdO202d2 D32424204DD27對于空心圓截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1(32 44D)(32 44dD 28 應(yīng)力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，
9、節(jié)約材料，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。29 確定最大切應(yīng)力：pIT由知：當(dāng) ,2DR pIDT2 maxtWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：163DRIWpt對于空心圓截面：16)1(43DRIWptmax 2 DITp)2(DIWWTptt令30三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。311.點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)x32(d)xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為
10、“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ;0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ;0AAAFt解得：2cos ;2sin 332cos ;2sin 分析：當(dāng)=0時，max00 ,0當(dāng)=45時，0 ,45min45當(dāng)=45時，0 ,45max45當(dāng)=90時，max9090 ,045 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。34四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算強(qiáng)度條件：對于等截面圓軸：maxmaxtWT(稱為許用切應(yīng)力。)強(qiáng)度計算三方面：校核強(qiáng)度：設(shè)計截面尺寸：計
11、算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt靜載下:=(0.5 0.6)(鋼)=(0.8 1.0)(鑄鐵)35例2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用切應(yīng)力=30M Pa,試校核其強(qiáng)度。nPmTBC55.9m)(kN55.1m)(kN604.1515055.9Tm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmxMPa231607.01055.133maxtWT3645 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式pGITx dd 知：長為 l一段等截面桿兩截面間
12、相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 (d d0TGITlxGITplp單位:弧度(rad)37二、單位扭轉(zhuǎn)角q：(rad/m)dd pGITx q/m)(180 dd qpGITx 或三、剛度條件(rad/m)maxqpGIT /m)(180 maxqpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。q稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。38剛度計算的三方面：校核剛度：設(shè)計截面尺寸：計算許可載荷：maxqq max qGT Ip max qpGIT 有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。q 根據(jù)機(jī)器要求、軸的工作條件確定?？刹槭謨?。精密機(jī)器軸：q=（0.15 0.30）/m一般傳動軸：q=（0.30 .0）/
13、m精度不高的軸：q=（.0 .）/m39例3長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若q2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度q180maxmaxPGIT4140NmxTq180maxmaxPGIT q89.1)1(108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）(033.0 )4(1020402022
14、00 xxGIdxGIxdxGITPPLP42例4 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500 r/min，輸入功率N1=500 馬力，輸出功率分別 N2=200馬力及 N3=300馬力，已知：G=80GPa，=70M Pa，f1/m，試確定：AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN024.7024.71ABnNTmaxmaxtWTm)(kN21.4024.73BCnNT4316 31TdWt mm4.67107014.34210161
15、63632BCTd 32 4 qGTdIp mm80107014.3702416163631ABTd由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)(rad/m)maxqqpGIT 44 mm4.741108014.3180421032 3249242 qGTdBCmm841108014.3180702432 3249241 qGTdAB mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd45 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑 為 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81
16、446圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。pGITl47例5長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為=0.8，外徑 D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：桿的受力圖如圖示，這是一次超靜定問題。平衡方程為：02BAmmm48幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補(bǔ)充方程得：另:此題可由對稱性直接
17、求得結(jié)果。mN 20Bm4946 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲成空間曲面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。50一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力:hbh 1T max 注意！b1.切應(yīng)力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）(縱向纖維長度不變,無 ,只有 )（產(chǎn)生 、)512.最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT ,tGITq
18、It相當(dāng)極慣性矩。hbtW2 :其中hbIt3 :其中31 ;)10 :(bh即對于狹長矩形 和 可查表求得。52例8 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h=100 mm，b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=4000Nm 的 作用，鋼的G=80GPa，=100M Pa，q=1/m，試校核 此桿的強(qiáng)度和剛度。解：查表求 、校核強(qiáng)度0.229 ;0.246 ;250100bh m1066105.01.0246.0h 3622.btW53校核剛度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4833m1028405.01.0229.0 bhIt qq/m1rad/m0174
19、501028610804000 o89.GITt綜上,此桿滿足強(qiáng)度和剛度要求。54一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（a），厚 度中點處，應(yīng)力為零。39 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)55三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（b），同 一厚度處，應(yīng)力均勻分布。56四、閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力計算，在（c）圖上取 單元體如圖（d）。圖（c）d1d xd 212圖（d）2211 d d ;0ddxxX常量2211 dd57dminmax2Tddd22d)ds(T積。為厚度中線所包圍的面 21dds58例8下圖示橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a=50 mm，b=75mm，厚度t=5mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=5000Nm，試求此桿的最大切應(yīng)力。解：閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)時的最大切應(yīng)力：batMPa42107550525000 229minmaxdabtTT59
材料力學(xué)課件 第四章扭 轉(zhuǎn)
