《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第二章 第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第二章 第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 文(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.
2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
3.會求一些簡單函數(shù)的值域.
4.理解函數(shù)的最大值、最小值及其幾何意義.
知識梳理
一、函數(shù)單調(diào)性的定義
增函數(shù)
減函數(shù)
定義
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2
當(dāng)x1
2、基礎(chǔ)自測
1.(2013·珠海二模)下列函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)的是( )
A.y=tan x B.y=-3x
C.y=3x D.y=ln |x|
解析:y=tan x只在其周期內(nèi)單調(diào)遞增,y=-3x在R上單調(diào)遞減,y=3x在R上單調(diào)遞增,y=ln |x|在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
答案:C
2.(2013·海淀區(qū)一模)已知a>0,下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,a)上一定是減函數(shù)的是( )
A.f(x)=ax+b
B.f(x)=x2-2ax+1
C.f(x)=ax
D.f(x)=logax
解析:a>0時,函數(shù)f(
3、x)=ax+b,為增函數(shù);對于函數(shù)f(x)=ax,當(dāng)0<a<1時,在R上為減函數(shù),當(dāng)a>1時,在R上為增函數(shù);對于f(x)=logax,0<a<1時,在(0,+∞)上為減函數(shù);當(dāng)a>1時在(0,+∞)上為增函數(shù);對于函數(shù)f(x)=x2-2ax+1,圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為x=a,所以該函數(shù)在區(qū)間(0,a)上一定是減函數(shù),所以選項B對. 故選B.
答案:B
3.若函數(shù)f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值為1,則實數(shù)m的值為_________________________________________.
解析:∵f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上為
4、單調(diào)增函數(shù),且f(x)在[3,+∞)上的最小值為1,
∴f(3)=1,即22+m-1=1,m=-2.
答案:-2
4.(2012·溫州市第一次適應(yīng)性測試)一個矩形的周長為l,面積為S,給出:①(4,1),②(8,6),③(10,8),④.其中可作為(l,S)取得的實數(shù)對的序號是__________.
解析:設(shè)矩形一邊長為x,則S==-x2+x=
-2+,
檢驗知,①④滿足.
答案:①④
二、證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法
1.定義法.
用定義法判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是:
(1)設(shè)x1,x2________________,且x1
5、__________;
(3)將差式變形(要注意變形的程度,一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積,且每一個因式的正或負(fù)能清楚地判斷出);
(4)判斷______________(要注意說理的充分性);
(5)根據(jù)f(x1)-f(x2)的符號確定其增減性,即下結(jié)論.
概括為:取值—作差—變形—定號—下結(jié)論.
2.導(dǎo)數(shù)法.
設(shè)f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi),總有f′(x)>0[f′(x)<0],則f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)(減函數(shù));反之,若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為增函數(shù)(減函數(shù)),則f′(x)≥0[f′(x)≤0].請注意兩者的區(qū)別所在.
6、
三、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法.
四、函數(shù)的最大值、最小值
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果?M∈R,滿足:(1)對?x∈A,恒有f(x)≤M[或f(x)≥M];(2)?x0∈A,使得f(x0)=M,則稱M是函數(shù)y=f(x)的___________________________.
五、求函數(shù)值域(最值)的各種方法
因為函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的,故其類型依解析式的特點可分為三類:(1)求常見函數(shù)的值域;(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域;(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域.
無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須首先考
7、慮函數(shù)的定義域.具體的方法有:①直接法;②配方法;③分離常數(shù)法;元法;⑤三角函數(shù)有界法;⑥基本不等式法;⑦單調(diào)性法;⑧數(shù)形結(jié)合法;⑨導(dǎo)數(shù)法(對于具體函數(shù)幾乎都可以用導(dǎo)數(shù)法去解決).
一、f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 逐漸上升 逐漸下降
二、1.(1)是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值
(2)f(x1)-f(x2) (4)f(x1)-f(x2)的正負(fù)
四、1.復(fù)合函數(shù) y=f(g(x))
五、最大值(或最小值)
1.(2013·重慶卷)y= (-6≤a≤3)的最大值為( )
A.9 B. C.3 D.
8、
解析:因為y===
,所以當(dāng)a=-時,y=的值最大,最大值為.
答案:B
2.(2013·大綱全國卷)若函數(shù)f(x)=x2+ax+在是增函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.[-1,0] B.[-1,+∞)
C.[0,3] D.[3,+∞)
解析: f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即a≥-2x在上恒成立,由于y=-2x在上單調(diào)遞減,所以y<3,故只要a≥3.
答案:D
1.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x在區(qū)間[m,n]上的值域是[-5,4],則m+n的取值范圍是( )
A.[1,7] B.[1,6] C.[-1
9、,1] D.[0,6]
解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴f(2)=4.
又由f(x)=-5,得x=-1或5.
由f(x)的圖象知:-1≤m≤2,2≤n≤5.
因此1≤m+n≤7.
答案:A
2.(2012·寧波期末)已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的增函數(shù),且f(1)=0,函數(shù)g(x)在(-∞,1]上為增函數(shù),在[1,+∞)上為減函數(shù),且g(4)=g(0)=0,則集合{x|f(x)g(x)≥0}=( )
A.{x|x≤0或1≤x≤4}
B.{x|0≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|0≤x≤1或x≥4}
解析:由題,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得x>1時,f(x)>0;x<0時,f(x)<0;x<0或x>4時,g(x)<0;0<x<4時,g(x)>0,故f(x)g(x)≥0的解集為{x|x≤0或1≤x≤4}.故選A.
答案:A