第九篇 解析幾何方法技巧2 圓錐曲線的綜合應(yīng)用

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1、方法技巧2　圓錐曲線的綜合應(yīng)用 一、圓錐曲線的最值問(wèn)題 【考情快遞】 最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，可能出選擇題、填空題和解答題． 方法1：定義轉(zhuǎn)化法 解題步驟 ①根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；②將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題求解． 適用情況 此法為求解最值問(wèn)題的常用方法，多數(shù)題可以用. 【例1】?已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______． 解析　如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|－|PF′|＝4， 即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5， 將|PF|－4＝|PF′|代

2、入，得|PA|＋|PF|－4≥5， 即|PA|＋|PF|≥9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線， 即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|＋|PA|的最小值為9.故填9. 答案　9 方法2：切線法 解題步驟 ①求與直線平行的圓錐曲線的切線； ②求出兩平行線的距離即為所求的最值． 適用情況 當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)用此法. 【例2】?求橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)． 解　設(shè)橢圓的切線方程為y＝x＋b， 代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b

3、2－2)＝0，得b＝±. 當(dāng)b＝時(shí)，直線y＝x＋與y＝x＋2的距離d1＝，將b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝－，此時(shí)y＝， 即橢圓上的點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離最小，最小值是； 當(dāng)b＝－時(shí)，直線y＝x－到直線y＝x＋2的距離d2＝，將b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝，此時(shí)y＝－， 即橢圓上的點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離最大，最大值是. 方法3：參數(shù)法 解題步驟 ① 選取合適的參數(shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； ②求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)最值． 適用情況 可以用參數(shù)表示某個(gè)曲線并求得最值的問(wèn)題. 【例3】?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(

4、x，y)是橢圓＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則S＝x＋y的最大值為_(kāi)_______． 解析　因?yàn)闄E圓＋y2＝1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． 故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π. 因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，當(dāng)φ＝時(shí)，S取最大值2.故填2. 答案　2 方法4：基本不等式法 解題步驟 ①將最值用變量表示． ②利用基本不等式求得表達(dá)式的最值． 適用情況 最值問(wèn)題中的多數(shù)問(wèn)題可用此法. 【例4】?設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y＝kx(k＞0)與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形A

5、EBF面積的最大值． 解　依題設(shè)得橢圓的方程為＋y2＝1. 直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.① 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式， 得點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為 h1＝＝， h2＝＝， 又|AB|＝＝，所以四邊形AEBF的面積為 S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝ ＝2≤2， 當(dāng)2k＝1，即k＝時(shí)，取等號(hào)． 所以四邊形AEBF面積的最大值為2. 二、圓錐曲線的范圍問(wèn)題 【考情快遞】 圓錐曲線中的范圍問(wèn)題是高考中的常見(jiàn)考

6、點(diǎn)，一般出選擇題、填空題． 方法1：曲線幾何性質(zhì)法 解題步驟 ①由幾何性質(zhì)建立關(guān)系式；②化簡(jiǎn)關(guān)系式求解． 適用情況 利用定義求解圓錐曲線的問(wèn)題. 【例1】?已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是________． 解析　根據(jù)雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，設(shè)|PF2|＝r， 則|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝. 根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|≥c－a，即≥c－a， 即≤，即e≤.又e＞1， 故雙曲線的離心率e的取值范圍是.故填. 答案

7、　 方法2：判別式法 解題步驟 ① 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式； ②根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)求解． 適用情況 當(dāng)直線和圓錐曲線相交、相切和相離時(shí)，分別對(duì)應(yīng)著直線和圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零．此類問(wèn)題可用判別式法求解. 【例2】?(2011·瀏陽(yáng)一中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量＋與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

8、 解　(1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程，得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0.① 由直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q， 得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③ 由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)． 所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)， 將②③代入，解得k＝. 由(1)知k＜－或k＞， 故不存在符合題意的常數(shù)k.

9、 三、圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題 【考情快遞】 此類問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)，圓錐曲線中的定值問(wèn)題是指某些幾何量不受運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)的影響而有固定取值的一類問(wèn)題，定點(diǎn)問(wèn)題一般是指運(yùn)動(dòng)變化中的直線或曲線恒過(guò)平面內(nèi)的某個(gè)或某幾個(gè)定點(diǎn)而不受直線和曲線的變化影響的一類問(wèn)題． 方法1：特殊到一般法 解題步驟 ① 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點(diǎn)； ②對(duì)確定出來(lái)的定值或定點(diǎn)進(jìn)行證明． 適用情況 根據(jù)特殊情況能找到定值(或定點(diǎn))的問(wèn)題. 【例1】?已知雙曲線C：x2－＝1，過(guò)圓O：x2＋y2＝2上任意一點(diǎn)作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，證明：∠AOB的大小為定值． 證明　當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)

10、，切線方程為x＝±. 當(dāng)x＝時(shí)，代入雙曲線方程，得y＝±， 即A(，)，B(，－)，此時(shí)∠AOB＝90°， 同理，當(dāng)x＝－時(shí)，∠AOB＝90°. 當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx＋b， 則＝，即b2＝2(1＋k2)． 由直線方程和雙曲線方程消掉y， 得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0， 由直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)． 故2－k2≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 ＝＋＋＝， 故x1x2＋y1y2＝＋＝， 由于b2＝2(1＋k2

11、)， 故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠AOB＝90°. 綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)， 則∠AOB的大小為定值90°. 方法2：引進(jìn)參數(shù)法 解題步驟 ① 引進(jìn)參數(shù)表示變化量； ②研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定值或定點(diǎn)． 適用情況 定值、定點(diǎn)是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變量與參數(shù)沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn)(或值)即是定點(diǎn)(或定值). 【例2】?如圖所示，曲線C1：＋＝1，曲線C2：y2＝4x，過(guò)曲線C1的右焦點(diǎn)F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點(diǎn)．若G為CD的中點(diǎn)、H為BE的中點(diǎn)，證明為定值． 證明　由題意，知F1(

12、－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 直線y＝k(x－1)，代入＋＝1， 得82＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－. 同理，將y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0， 則y3＋y4＝，y3y4＝－4， 所以＝· ＝ ＝ ＝＝3為定值． 方法運(yùn)用訓(xùn)練2 1．設(shè)P是曲線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到x＝－1直線的距離之和的最小值為(　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，易知拋

13、物線的焦點(diǎn)為F(1,0)， 準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知： 點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離； 于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P， 使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最??；顯然，連AF交曲線于P點(diǎn)． 故最小值為，即為. 答案　C 2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝2有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為(　　)． A.＜e＜ B．0＜e＜ C.＜e＜ D.＜e＜ 解析　此題的本質(zhì)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)(a,0)與(0，b)一個(gè)在圓外、一個(gè)在圓內(nèi)即： ?? ?＜e＜. 答

14、案　A 3．(2011·長(zhǎng)郡中學(xué)1次月考)設(shè)F是橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_(kāi)_______． 解析　若公差d＞0，則|FP1|最小，|FP1|＝－1； 數(shù)列中的最大項(xiàng)為＋1，并設(shè)為第n項(xiàng)， 則＋1＝－1＋(n－1)d?n＝＋1≥21?d≤， 注意到d＞0，得0＜d≤；若d＜0，易得－≤d＜0. 那么，d的取值范圍為∪. 答案　∪ 4．過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y

15、2)，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則的值為_(kāi)_______． 解析　設(shè)直線PA的斜率為kPA，PB的斜率為kPB， 由y＝2px1，y＝2px0，得kPA＝＝， 同理kPB＝， 由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)， 因此＝－，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)， 那么＝－2. 答案?。? 5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)△PFO的面積最大時(shí)，求直線l的方程． 解　求直線方程，由于F(－c,0)為已知，僅需求斜率k， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y

16、0＝， 由于S△PFO＝|OF|·|y0|＝|y0|只需保證|y0|最大即可， 由?(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0， |y0|＝＝＝≤ 得：S△PFO≤，此時(shí)＝a2|k|?k＝±， 故直線方程為：y＝±(x＋c)． 6．(長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)最新月考)已知⊙O′過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在軸上所截得的弦． (1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O′的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解　(1)設(shè)O′(x0，

17、y0)，則x＝2py0(y0≥0)， 則⊙O′的半徑|O′A|＝， ⊙O′的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋(y0－p)2， 令y＝0，并把x＝2py0，代入得x2－2x0x＋x－p2＝0， 解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p， 這說(shuō)明|MN|是不變化，其為定值2p. (2)不妨設(shè)M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)． 由題2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|， 所以－p≤x0≤p. O′到拋物線準(zhǔn)線y＝－的距離d＝y(tǒng)0＋＝， ⊙O′的半徑|O′A|＝＝ ＝. 因?yàn)閞＞d?x＋4p4＞2?x＜p2， 又x≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d， 即⊙O′與拋物線的準(zhǔn)線總相交．