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1、第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),地球體與地面參照系統(tǒng) 地圖投影 地圖比例尺,地球體的基本特征（略）,1 地球體與地面參照系統(tǒng),,二、參考橢球體和坐標(biāo)系統(tǒng) 參考橢球體：形狀、大小都已確定而且經(jīng)過定位和定向的地球橢球體，稱為參考橢球體。 大地坐標(biāo)系統(tǒng)：以局部定位的橢球體為基礎(chǔ)的坐標(biāo)系統(tǒng) 地心坐標(biāo)系統(tǒng)：以全球定位的橢球體為基礎(chǔ)的坐標(biāo)系統(tǒng),我國使用的橢球體和基準(zhǔn)面,我國的兩個(gè)大地基準(zhǔn)面 - 北京54坐標(biāo)系（Krassovsky 橢球體）西安80坐標(biāo)系（1975年地球橢球體 ）。 大地測量基本上仍以北京54坐標(biāo)系作為參照，北京54與西安80坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換可查閱國家測繪局公布的對照表。 WGS1984基準(zhǔn)面采用W
2、GS84橢球體，它是一地心坐標(biāo)系，即以地心作為橢球體中心，目前GPS測量數(shù)據(jù)多以WGS1984為基準(zhǔn)。,三、地理坐標(biāo) 地理坐標(biāo)系：用經(jīng)線（子午線）、緯線、經(jīng)度、緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)系 天文經(jīng)緯度 大地經(jīng)緯度 地心經(jīng)緯度,1 地球體與地面參照系統(tǒng),三、地理坐標(biāo),1 地球體與地面參照系統(tǒng),在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。,,角度表達(dá)的地理坐標(biāo),大地坐標(biāo)系：以參考橢球面為參考面，以法線為依據(jù)，用大地經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)在橢球面上的位置的坐標(biāo)系統(tǒng) 1980年前：BJ5
3、4-克拉索夫斯基橢球體。 1980年：西安80-1975年國際大地測量協(xié)會推薦橢球體,陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為 “1980西安坐標(biāo)系” 大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)大地原點(diǎn)。,1 地球體與地面參照系統(tǒng),四、我國的大地坐標(biāo)系,五、高程系統(tǒng) 中國高程起算面是黃海平均海水面 1956年黃海高程系：1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)（72.289m)，其他各控制點(diǎn)的絕對高程均是據(jù)此推算。以黃海平均海平面建立起來的高程控制系統(tǒng)稱為1956年黃海高程系 水準(zhǔn)原點(diǎn)、高程起算基準(zhǔn)面、相對于水準(zhǔn)原點(diǎn)的水準(zhǔn)原點(diǎn)高程構(gòu)成了高程基準(zhǔn) 1985高程系統(tǒng)：1988年1月1日，啟用“1985國家高程基準(zhǔn)”，平均海平面比1956高
4、程系統(tǒng)的平均海平面高出0.029m。,青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn),1 地球體與地面參照系統(tǒng),2 地圖投影,地圖投影的概念 地圖投影：按照一定數(shù)學(xué)法則，將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)轉(zhuǎn)換到平面上，使地面點(diǎn)位的地理坐標(biāo)與地圖上相對應(yīng)點(diǎn)位的平面直角坐標(biāo)或平面極坐標(biāo)間，建立起一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。,2 地圖投影,二、地圖投影的方法 透視法,2 地圖投影,,二、地圖投影的方法 解析法：地球表面的點(diǎn)位以地理坐標(biāo)表示（緯度為、經(jīng)度為），投影到平面上的點(diǎn)位以直角坐標(biāo)表示（x、y），按投影的定義，地圖投影的一般方程式為：,2 地圖投影,x = f1(,) y = f2(,),三、地圖投影的變形 投影變形的性質(zhì) 球面經(jīng)緯線長度特征
5、 各緯線長度不等，赤道最長，緯度越高其長度越短，到兩極點(diǎn)為零； 同一條緯線上，經(jīng)差相同的緯度弧長相等； 所有的經(jīng)線長度相等； 在同一條經(jīng)線上，緯差相同的經(jīng)線弧長相差不大。 球面梯形面積特征 同一緯度帶內(nèi)經(jīng)差相同的球面梯形面積相等；同一經(jīng)度帶內(nèi)緯度越高球面梯形面積越小。 經(jīng)線為緯線的相交關(guān)系：經(jīng)線與緯線處處都呈直角。,2 地圖投影,三、地圖投影的變形 投影變形的性質(zhì) 地圖投影變形：長度（距離）變形、角度（形狀）變形、面積變形 具體應(yīng)用過程中，根據(jù)具體的用圖目的、區(qū)域的范圍和內(nèi)容的特點(diǎn)等，在長度、角度、面積幾種變形中，選擇一個(gè)令其不變形，或者雖有各種變形，但設(shè)法使其變形減少到限差之內(nèi)。,2 地圖投
6、影,三、地圖投影的變形 變形橢圓 地球上一個(gè)無窮小的圓微分圓（也稱為單位圓），在投影后一般地成為一個(gè)微分橢圓，然后再利用微分橢圓去解釋各種變形的特征。這樣的橢圓稱為變形橢圓。,2 地圖投影,,,,三、地圖投影的變形 變形橢圓 主方向：在投影后仍保持正交的一對線的方向稱為正方向 底索定律：無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點(diǎn)至少有一對正交方向，在投影平面上仍能保持其正交關(guān)系。,2 地圖投影,三、地圖投影的變形 長度比,2 地圖投影,,,,,,,,,,任意方向的長度比在一般情況下是個(gè)變量，它不僅隨該點(diǎn)的坐標(biāo) 位置變化，而且隨著在一點(diǎn)上的方向亦變化,主方向的長度比：微分橢圓長、短半軸的大小，等于該點(diǎn)
7、主方向的長度比。,任意方向長度比：,三、地圖投影的變形 角度比：在討論某一地圖投影的角度變形時(shí)，主要求它的最大角度變形。以表示角度最大變形。,2 地圖投影,,,,,,,,,,當(dāng)已知某點(diǎn)的主方向長度比時(shí)，即可求得該點(diǎn)的最大角度變形,三、地圖投影的變形 面積比,2 地圖投影,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 幾何投影（方位投影、圓柱投影、圓錐投影） 非幾何投影（偽方位、偽圓柱、偽圓錐、多圓錐） 按投影變形性質(zhì)的分類 等角投影 等積投影 任意投影,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 幾何投影：基于透視原理，把地球球面上的經(jīng)緯線
8、網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的。 方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 圓柱投影：以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。,2 地圖投影,方位投影、圓柱投影和圓錐投影又可根據(jù)球面與投影面的相對部位不同，分為正軸投影、橫軸投影和斜軸投影
9、。,地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 非幾何投影：根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。 偽方位投影：在正軸方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線，且交于緯線的共同圓心。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 偽圓柱投影：在正軸圓柱投影基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍為平行直線，除中央經(jīng)線投影為直線外，其余經(jīng)線均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均
10、投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,2 地圖投影,四、地圖投影的分類 按投影變形性質(zhì)的分類 等角投影：投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零 =0（或 a=b，m=n）。（也稱為相似投影或正形投影）不同點(diǎn)的長度比不同；面積變形大。適合于交通圖、洋流圖、風(fēng)向圖等。,2 地圖投影,角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀
11、保持不變，只有長度和面積變形。 等角投影在同一點(diǎn)任何方向的長度比都相等，但在不同地點(diǎn)長度比是不同的。 多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。,等角投影（正形投影）,四、地圖投影的分類 按投影變形性質(zhì)的分類 等積投影：投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。不同點(diǎn)變形橢圓的形狀相差很大；角度變形大。適合于自然地圖和社會經(jīng)濟(jì)地圖。,2 地圖投影,由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟(jì)地圖。,投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點(diǎn)微小圓投影后為面積相
12、等的各個(gè)橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。,等積投影,四、地圖投影的分類 按投影變形性質(zhì)的分類 任意投影：投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。角度變形小于等積投影，面積變形小于等角投影。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。適合于參考圖和中小學(xué)教學(xué)用圖。,2 地圖投影,等面積投影 vs. 等角投影,墨卡托投影,彼得斯投影,小知識： 我國地圖系列所采用的投影 基本比例尺地形圖 (1:5千，1:1萬，1:2.5萬，1:5萬，1:10萬，1:25萬，1:50萬，1:100萬) 中，大于等于50萬的均采用高斯-克呂格投影 (Gauss-Krug
13、er)，又叫橫軸墨卡托投影(TransverseMercator)； 小于50萬的地形圖采用正軸等角割園錐投影，又叫蘭勃特投影(LambertConformalConic)； 大部分省圖、大多數(shù)同級比例尺地圖也采用蘭勃特投影； 海洋小于50萬的地形圖多用正軸等角園柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)； 我國的GIS系統(tǒng)中應(yīng)該采用與我國基本比例尺地形圖系列一致的地圖投影系統(tǒng)。,五、投影的變形分析及應(yīng)用（一）方位投影的變形分析,方位投影的等變形線呈圓形， 正軸時(shí)與緯圈一致，橫軸時(shí)與 等高圈一致,2 地圖投影,1、正軸方位投影 投影中心為極點(diǎn)，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角
14、與實(shí)地相等。 變形規(guī)律：等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。這種投影的誤差分布規(guī)律是，由投影中心向外逐漸增大。 包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。,2 地圖投影,,正軸等角方位投影 平射正軸方位投影又叫等角方位投影或球面投影。 投影條件：視點(diǎn)位于球面上，投影面切于極點(diǎn)。 特點(diǎn)： 緯線投影為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，緯線方向上的長度比大于1。 赤道上的長度變形比原來擴(kuò)大1倍。 經(jīng)線投影為以極點(diǎn)為圓心的放射性直線束，經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差，沿經(jīng)線方向上的長度比大于1，赤道上各點(diǎn)沿經(jīng)線方向上的長度變形比原來擴(kuò)大1倍。,2 地圖投影,這種投影的誤差分布規(guī)律是，由投影中心向
15、外逐漸增大。 經(jīng)緯線投影后，仍保持正交，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，又因?yàn)閙 = n，即主方向長度比相等 沒有角度變形，但面積變形較大，在投影邊緣面積變形是中心的四倍。,2 地圖投影,正軸等距方位投影 等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。投影后經(jīng)線保持正長，經(jīng)線上緯距保持相等。 經(jīng)緯網(wǎng)的構(gòu)成： 緯線投影后為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線同心的直線束，經(jīng)線投影后保持正長，所以投影后的緯線間距相等。經(jīng)緯線投影后正交，經(jīng)緯線方向?yàn)橹鞣较颉? 角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。,2 地圖投影,在此投影中，球面上的微分圓投影為橢圓，且誤差橢圓的長半徑和緯線方向一致，短半徑與經(jīng)線方向
16、一致，并且等于微圓半徑r 又由于自投影中心，緯線擴(kuò)大的程度越來越大，所以變形橢圓的長半徑也越來越長，橢圓就越來越扁了。 等距正軸方位投影常用來做兩極的投影。,2 地圖投影,2. 橫軸方位投影 平面與球面相切，其切點(diǎn)位于赤道上的任意點(diǎn)。 特點(diǎn)： 通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道投影為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。,,,2 地圖投影,橫軸等距方位投影 特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔相等；在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔是逐漸擴(kuò)大的。,2 地圖投影,橫軸等積方位投影 特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔是逐漸縮小的；在赤道上，自投影中心向西，
17、向東，經(jīng)線間隔也是逐漸縮小的。,2 地圖投影,2 地圖投影,3. 斜軸方位投影 投影面切于兩極和赤道間的任意一點(diǎn)上。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線。,2 地圖投影,,斜軸等距方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下緯線間隔是相等的。,等積斜軸方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下的緯線間隔逐漸減小。 若間隔是逐漸增大的，是等角斜軸方位投影。,2 地圖投影,2 地圖投影,橫軸和斜軸方位投影的變形分布規(guī)律 橫軸和斜軸方位投影的變形大小和分布規(guī)律與正軸投影完全一致。 無論是正軸方位投影還是橫軸方位投影或是斜軸方
18、位投影， 他們的等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓，所不同的是在橫軸和斜軸方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而經(jīng)緯線方向不是主方向。,2 地圖投影,小知識：通過投影中心的大圓即稱垂直圈，垂直于垂直圈的圓即稱等高圈。正軸方位投影中，垂直圈與經(jīng)線圈一致，等高圈與緯線圈一致。,4.幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別 方位投影經(jīng)緯線形式具有共同的特征，判別時(shí)先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。 正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。 橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。 斜軸投影，除中央經(jīng)線為直
19、線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。,2 地圖投影,然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。 等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大； 等積方位投影，中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐逐漸縮??； 等距方位投影，間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱。,2 地圖投影,5.各種方位投影的應(yīng)用,方位投影適用于圓形輪廓地區(qū) 正軸方位投影兩極地區(qū) 橫軸方位投影赤道附近 斜軸方位投影其他中緯度地區(qū),,,,2 地圖投影,等角方位投影 具有等角性質(zhì)，地面圓投影后仍保持為圓，雖然面積變形較大，但方向性保持較好，方向正確。 用途： 宜編制要求方向正確的自然地圖，
20、如氣象圖、洋流圖、雷達(dá)測距圖和航空路線圖等。 美國通用極球面投影（UPS正軸等角割方位投影 中華人民共和國全圖（斜軸等角割方位投影）,等面積方位投影 投影前后面積相等， 用途： 多用于編制小比例尺東、西半球圖 中華人民共和國分省新圖：1：1200萬,等距離方位投影 投影前后，經(jīng)線（垂直圈）上長度不 變形，中心點(diǎn)任何點(diǎn)的方向和距離都 不變；緯線投影后呈等間隔狀。 用途： 世界地圖集中，南北極圖 正軸等距離方位投影； 交通圖、航空圖、氣象和地震監(jiān)測圖 以特定點(diǎn)為中心的斜軸等距離 方位投影；,6.方位投影的特點(diǎn)：,,（1）從投影中心到某一點(diǎn)的方位角都保持同實(shí)地一致，（不同之處僅是隨投影性質(zhì)不同而使投影中心到該點(diǎn)的距離不同，因此導(dǎo)致不同的變形） （2）其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。 繪制地圖時(shí)，總是希望地圖上的變形盡可能小，而且分布比較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。 （3）從區(qū)域所在的地理位置來說，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。,2 地圖投影,
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