【優(yōu)化方案】2012高中數(shù)學 第2章3.1知能優(yōu)化訓練 北師大版選修1-1

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1、 1．點F1，F(xiàn)2是兩個定點，動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a(a為非負常數(shù))，則動點P的軌跡是(　　) A．兩條射線　　　　　　　 B．一條直線 C．雙曲線 D．前三種情況都有可能 解析：選D.當2a＝0時，動點P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線； 當0<2a<|F1F2|時，動點P的軌跡是雙曲線； 當2a＝|F1F2|時，動點P的軌跡是兩條射線． 所以動點P的軌跡可能是一條直線、雙曲線或兩條射線，即三種情況都有可能，故選D. 2．雙曲線－＝1的焦距為(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 解析：選D.由雙曲線的標準方程知a2＝10，

2、b2＝2，則c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4.故選D. 3．(2010年高考大綱全國卷Ⅰ)已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B.設|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由雙曲線的定義得|m－n|＝2，① 在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝8，② 聯(lián)立①，②解得mn＝4， 即|PF1|·|PF2|＝4，故選B. 4．已知雙曲線的焦距為26，＝，則雙曲線的標準方程是________． 解析：由2c＝26，∴c＝13.

3、 又＝，∴a2＝25.∴b2＝c2－a2＝132－25＝144. ∴所求方程為－＝1或－＝1. 答案：－＝1或－＝1 一、選擇題 1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示雙曲線，則k的取值范圍為(　　) A．－10 C．k≥0 D．k>1或k<－1 解析：選A.依題意有(1＋k)(1－k)>0，解得－1

4、，∴c＝＝，故右焦點的坐標為(，0)． 3．設動點M到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)的距離的差等于6，則點P的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 解析：選D.雙曲線的定義是動點到兩定點的距離的差的絕對值，沒有絕對值，只能代表雙曲線的一支． 4．方程＋＝1所表示的曲線為C，有下列命題： ①若曲線C為橢圓，則24或t<2； ③曲線C不可能是圓； ④若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則3

5、 解析：選C.①若C為橢圓，則解得24或t<2.③當t＝3時，方程為x2＋y2＝1表示圓．④若C為焦點在y軸上的橢圓，則解得30)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C．[－，＋∞) D．[，＋∞) 解析：選B.∵a2＋1＝4，∴a2＝3， ∴雙曲線的方程為－y2＝1，設P(x0，y0)(x0≥)． 則－y＝1，即y＝－1， ∴·＝x

6、0·(x0＋2)＋y＝x＋2x0－1 ＝(x0＋)2－， 又x0≥，∴當x0＝時，(·)min＝3＋2. 6．已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則在平面直角坐標系內滿足條件|PF1|－|PF2|＝4的點的軌跡為(　　) A．雙曲線 B．雙曲線的左支 C．雙曲線的右支 D．射線y＝0(x≥2) 解析：選D.∵|PF1|－|PF2|＝4， ∴2a＝4.又∵2c＝4， ∴2a＝2c.∴軌跡表示F2及F2右側x軸上的部分，為射線y＝0(x≥2)． 二、填空題 7．(2010年高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線－＝1上一點M的橫坐標為3，則點M到此雙曲線的右

7、焦點的距離為________． 解析：由題意知，雙曲線的右焦點坐標為(4,0)，點M的坐標為(3，)或(3，－)，則點M到此雙曲線的右焦點的距離為4. 答案：4 8．已知P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|＝17，則|PF2|的值為________． 解析：由雙曲線方程－＝1知， a＝8，b＝6，∴c＝ ＝10. ∵P是雙曲線上一點，∴||PF1|－|PF2||＝16，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33. 又∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33. 答案：33 9．如圖所示，在周長為48的直角三角形MPN中，∠MPN＝90°，tan∠P

8、MN＝，則以M，N為焦點，且過點P的雙曲線方程為________． 解析：可設雙曲線標準方程為－＝1. 由雙曲線定義知，2a＝||PM|－|PN||，|MN|＝2c. ∵tan∠PMN＝，∴設|PN|＝3k，|PM|＝4k，則|MN|＝5k. ∵周長為48，∴3k＋4k＋5k＝48，∴k＝4. ∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. ∴雙曲線標準方程為－＝1. 答案：－＝1 三、解答題 10．已知雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點為(0,3)，求k值． 解：由方程8kx2－ky2＝8，得－＝1，又焦點(0,3)在y軸上，故方程變?yōu)椋?. ∴解得k＝－1.

9、 11．求適合下列條件的參數(shù)的值或范圍． (1)已知－＝－1，當k為何值時，①方程表示雙曲線；②方程表示焦點在x軸上的雙曲線；③方程表示焦點在y軸上的雙曲線； (2)已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，求k的值； (3)橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點．求a的值． 解：(1)①若方程表示雙曲線，則須滿足 或 解得k<－3或1

10、＝－6. 綜上，k的值為6或－6. (3)由雙曲線方程可知焦點在x軸上， 且c＝(a>0)． 由橢圓方程可知c＝ ，∴a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0. 解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值為1. 12．某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖所示)，|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工． 解：如圖，設M是分界線上的任意一點，則有： |MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|， 于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50. 在△PAB中，由余弦定理得： |AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|·cos60° ＝1002＋1502－2×100×150×＝17500. ∴以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系，則分界線是雙曲線，即－＝1(x≥25)． 故運土時，將此雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省工． 4 專心 愛心 用心