第9章彎曲變形

《第9章彎曲變形》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第9章彎曲變形（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9章 教學(xué)方案 --彎曲變形 基 本 內(nèi) 容 彎曲變形概述 撓曲線微分方程及其積分　 用疊加法求梁的位移 簡(jiǎn)單靜不定梁 教 學(xué) 目 的 １、了解梁彎曲變形的工程實(shí)例,掌握撓度及轉(zhuǎn)角的概念及關(guān)系。 2、理解撓曲線微分方程及其積分。 3、熟練掌握用疊加法求梁的變形。 4、了解簡(jiǎn)單靜不定梁的求解。 重 點(diǎn) 、 難 點(diǎn) 疊加法求梁的變形。 ? 第9章 　彎曲變形 9。1　　彎曲變形概述 9.1。1彎曲變形問題的工程實(shí)例 彎曲變形：當(dāng)桿件受彎時(shí)，桿件的軸線由直線變成曲線，稱為彎曲變形。 限制彎曲變形的工程實(shí)例:在工程實(shí)際中，為保證受

2、彎構(gòu)件的正常工作，除了要求構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度外,在某些情況下，還要求其彎曲變形不能過大，即具有足夠的剛度。例如,軋鋼機(jī)在軋制鋼板時(shí)，軋輥的彎曲變形將造成鋼板沿寬度方向的厚度不均勻（圖9．1）；齒輪軸若彎曲變形過大，將使齒輪嚙合狀況變差，引起偏磨和噪聲(圖9。２）。 圖9.3 圖9.1 圖9.2 利用彎曲變形的工程實(shí)例:例如，汽車輪軸上的疊板彈簧（圖９。3）,就是利用彎曲變形起到緩沖和減振的作用的。此外，在求解靜不定梁時(shí)，也需考慮梁的變形。 9。１．2 梁的位移的度量--撓度和轉(zhuǎn)角 在載荷作用下梁將發(fā)生平面

3、彎曲，其軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑的平面曲線,該曲線稱為撓曲線（圖9．4)。以梁的最左端Ｏ點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oｘy，撓曲線上任一點(diǎn)x處的縱坐標(biāo)w是梁x橫截面的形心沿y方向的線位移,稱為撓度.為了表示清楚位移的方向，規(guī)定向上的撓度w為正，向下的撓度ｗ為負(fù).這樣，撓曲線方程可以寫為 　　　　 　 　 　　　 　　　 　 　?。?—1) 在小變形情況下，梁的撓度遠(yuǎn)小于梁的跨度ｌ，因此可以忽略截面形心沿軸線方向的位移。 彎曲變形時(shí)，橫截面繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),其轉(zhuǎn)過的角度θ稱為轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角θ就是撓曲線法線與y軸的夾角。為了表示轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，規(guī)定逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù).轉(zhuǎn)角可以用轉(zhuǎn)角

4、方程表示 圖9.4 　 　 　 　 　　 　 　 （9—２） ９。1.3 撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系 彎曲變形用撓度w和轉(zhuǎn)角θ這兩個(gè)位移量來度量.由圖9.4可以看出，轉(zhuǎn)角θ與撓曲線在該點(diǎn)的切線傾角相等。在小變形情況下 　　 　　 　 　　 　 (９－3） 即橫截面的轉(zhuǎn)角可以用該點(diǎn)處撓曲線切線的斜率表示。只要知道撓曲線方程，就能確定梁上任一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角。 ９。１。４ 梁的剛度條件 在工程實(shí)際中,為了保證彎曲桿件的正常工作，有時(shí)會(huì)限定梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角,得到剛度條件 　 　　 　　　 　

5、 　 （9—４） 式中，[f］和[θ］分別為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角. 9．2　 撓曲線微分方程及其積分 9．2.1　撓曲線微分方程 在純彎曲時(shí),撓曲線曲率1/ρ與彎矩M的關(guān)系為式（8－1),即 在橫力彎曲時(shí)，如果是細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)變形的影響可以忽略，上式仍然成立，但曲率和彎矩都是x的函數(shù)，即 　 　 　 　 ?。╝) 由高等數(shù)學(xué)可知，曲線上任一點(diǎn)的曲率為 　 　　　 　 　 （b) 由于撓度非常小,撓曲線極平坦，的數(shù)值很小,上式中與1相比可以略去，于是由（a)、(b）兩式得到

6、 　 　 　 　　 　 　 　　（c） 根據(jù)彎矩的符號(hào)規(guī)定和撓曲線二階導(dǎo)數(shù)與曲率中心方位的關(guān)系,在所取坐標(biāo)系下彎矩M的正負(fù)號(hào)始終與的正負(fù)號(hào)一致，如圖9。5所示。因此(c）式的左邊應(yīng)取正號(hào)，即 圖9.5 　 　 　　　　　 　 　 　 （9－５） 式（９-５）即為梁的撓曲線微分方程。 ９.2。2 撓曲線微分方程的積分 對(duì)式(9－5）積分一次，得轉(zhuǎn)角方程 　 　 　 　 　 　 　 （9—6a） 再積分-次.可得撓曲線方程 　 　 　　 　 　 （9—６ｂ）

7、 式中Ｃ、Ｄ為積分常數(shù)。當(dāng)梁為等截面梁時(shí),EＩ為常數(shù)，可以提到積分符號(hào)外面。如果梁的彎矩方程是分段函數(shù),則上面的積分式也應(yīng)分段積分。 9。2。3　積分常數(shù)的確定 積分常數(shù)C和D可以通過梁上某些位置的已知撓度和轉(zhuǎn)角或應(yīng)滿足的變形關(guān)系來確定。 支承條件：支座處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的.例如鉸支座處的撓度為零,則在圖9。６(a）中,在x=0和x=l處,wA=wB=０；又如固定端約束處的撓度和轉(zhuǎn)角均為零，則在圖9。6(b）中，在x=0處，wA=0、θA=0.只要將這些數(shù)據(jù)代入式（9-６)中就可確定C和D。 圖9.6 圖9.7 連續(xù)光滑條件：因?yàn)閾锨€是一條連續(xù)光滑的曲線,所以在梁的積

8、分分段點(diǎn)處,通過左右兩段彎矩方程積分算出的撓度和轉(zhuǎn)角是相等的。例如圖９。７所示梁在集中力F作用點(diǎn)Ａ處，有連續(xù)光滑條件為wA左=wA右和θA左=θＡ右。 9.2.４ 用積分法求梁的位移 對(duì)（9-５）式進(jìn)行積分，并根據(jù)約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù),再將已確定的積分常數(shù)代回積分式,即可得到梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，從而可確定任一截面的撓度及轉(zhuǎn)角。這種求梁的位移的方法稱為積分法。 在工程計(jì)算中，習(xí)慣用f表示梁特定截面處的撓度。 【例9-1】簡(jiǎn)支梁AB受均布載荷ｑ作用，如圖9.8所示。建立梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并計(jì)算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。 解：(1）計(jì)算支反力，列彎矩方程和撓曲線微分方

9、程 圖9.8 通過平衡方程可得 彎矩方程為 ?故撓曲線微分方程為 （2）對(duì)撓曲線微分方程積分 將上式積分兩次，得 和 　 　 （3）確定積分常數(shù) 將約束條件x＝0處w＝0和x＝l處w＝0代入上式中,可得 D＝0，和 （4)建立撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 將Ｃ、D值代入積分式，分別得到撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 （５）計(jì)算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角 全梁上的彎矩都為正，所以梁的撓曲線是一條上凹的曲線,又根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，可畫出撓曲線的大致形狀如圖９．8中所示。在梁中點(diǎn)處有最大撓度,在梁的支座A、B處有最大轉(zhuǎn)角。將相應(yīng)的x坐標(biāo)代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角

10、方程中，得 負(fù)號(hào)表示其變形方向與規(guī)定的正向相反。 【例9-2】圖９．9所示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)作用一集中力F，梁的抗彎剛度為EＩ，求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。 解：（1）計(jì)算支反力，列彎矩方程 通過平衡方程可得 圖9.9 分段列彎矩方程 AC段 　　 ＣＢ段 　　 （2)分段列撓曲線微分方程并積分 分別列AＣ和ＣD段的撓曲線微分方程，并兩次積分，結(jié)果見下表。 AC段　　（0≤x1≤a） ＣＢ段 　(a≤x2≤ｌ) (3）確定積分常數(shù) 積分出現(xiàn)4個(gè)常數(shù)，需４個(gè)條件來確定。因?yàn)閾锨€是連續(xù)光滑的曲線，在兩段交界面C處，由（a１）式確定的轉(zhuǎn)角和由（a2

11、）式確定的轉(zhuǎn)角相等;由（ｂ1）式確定的撓度和由（b2）確定的撓度相等.即 由此可得：　 C1=Ｃ2， ?。?=D２ 在梁的A、B兩端有鉸支座，根據(jù)約束條件有 　 　 　 　 當(dāng)ｘ1=0時(shí), ?。臝w＝D1＝０ 　　 　 　當(dāng)x2=ｌ時(shí)， 　 可得 　 　 　 　 　 （4）建立撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 將4個(gè)積分常數(shù)代回(a1)、（a2）和（ｂ1）、（b2)式,分別得到轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，見下表。 AC段　 (0≤ｘ１≤a） CB段 　(a≤x2≤l） 如果要求梁上的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角,可以首先

12、根據(jù)撓曲線的大致形狀判斷最大值出現(xiàn)的截面位置.最大轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在兩端截面上，在（ｃ1)式和（c2)式中分別代入x1＝0和x2=l,得 若a＞b，可以斷定θB為最大轉(zhuǎn)角。 最大撓度可以用求極值的方法計(jì)算?？梢宰C明,梁的最大撓度所在位置非常接近于梁的中點(diǎn)，因此常用簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度來代替梁的最大撓度。則有 積分法是求梁的變形的基本方法,它可以直接運(yùn)用積分求得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,進(jìn)而求出特定截面的撓度或轉(zhuǎn)角。 ９.3 用疊加法求梁的位移 在實(shí)際工程中，粱上可能同時(shí)作用幾種載荷，此時(shí)若用積分法計(jì)算其位移，則計(jì)算過程比較煩瑣,計(jì)算工作量大。由于研究的是小變形,材料處于線彈性階段，因

13、此所計(jì)算的梁的位移與梁上的載荷成線性關(guān)系。所以,當(dāng)梁上同時(shí)作用幾種載荷時(shí)，可先分別求出每一載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的位移,然后計(jì)算這些位移的代數(shù)和，即為各載荷同時(shí)作用時(shí)所引起的位移。這種計(jì)算彎曲變形的方法稱為疊加法。 為了使用方便,將各種常見載荷作用下的簡(jiǎn)單梁的轉(zhuǎn)角和撓度計(jì)算公式及撓曲線方程列于表9—1中.利用表格，按疊加法計(jì)算梁在多個(gè)載荷共同作用下所引起的位移是很方便的。 9.3．1 多個(gè)載荷作用時(shí)求梁的位移的疊加法 根據(jù)疊加法,幾個(gè)載荷共同作用下梁任意橫截面上的位移,等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面位移的代數(shù)和。 【例9-3】求圖9.10（a)所示梁C截面的撓度和Ｂ截面的轉(zhuǎn)角.設(shè)E

14、Ｉ為常數(shù). 圖9.10 解:（１）梁的位移的分解 梁上有集度為q的均布載荷和集中力F作用,其C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為兩個(gè)載荷單獨(dú)作用下位移的代數(shù)和.即 （2）在均布力作用下 Ｂ截面轉(zhuǎn)角查表９－１中第7欄可得 Ｃ截面的撓度可以通過查表９—1中第7欄的撓曲線方程,代入坐標(biāo)值計(jì)算。即 (3）在集中力F作用下 B截面轉(zhuǎn)角查表9-1中第6欄可得 C截面的撓度可以通過查表9-1中第6欄的兩段中的任一段撓曲線方程,代入坐標(biāo)值計(jì)算。即 （4)疊加 【例９－4】　如圖9。１1(a)所示懸臂梁,其抗彎剛度ＥI為常數(shù),求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。 　 解：(1）在Ｆ單獨(dú)

15、作用下: 查表9—1中第2欄可得： 圖9.11 （2）在q單獨(dú)作用下: 查表9—1中第3欄可得 由于ＣB段沒有彎矩作用，撓曲線保持直線狀態(tài)，而兩段撓曲線在C點(diǎn)應(yīng)相切，所以Ｂ點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度為 （３）在F和ｑ共同作用下: 9。3.2　 逐段剛化法 在有些情況下,梁上某截面的位移是由幾段梁的彎曲變形共同引起的。在計(jì)算其位移時(shí)，可以分別計(jì)算各段梁?jiǎn)为?dú)變形引起的該截面的位移，然后代數(shù)求和，這種分析方法稱為逐段剛化法.對(duì)于表9-1中沒有列出的外伸梁情況以及變截面梁情況,常用逐段剛化法分析。在梁上作用多個(gè)載荷情況下，可以先分解成單個(gè)載荷作用情形,然后分別用逐段剛化法分析，再進(jìn)

16、行位移疊加。下面通過舉例說明其分析方法和特點(diǎn)。 圖9.12 【例９-5】圖9.12（a)所示外伸梁，在C處作用集中力F，梁的EＩ、l、a已知.求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角. 解:該梁由AB、BC兩段組成，梁在C截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于兩段梁分別變形時(shí)在該截面引起的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。 （1)剛化ＡＢ段，只考慮BC段的變形 如圖9.１２（b）所示，AＢ不變形，保持原來的直線形態(tài);BC發(fā)生彎曲,在B點(diǎn)與ＡB連續(xù)光滑連接,所以Ｂ點(diǎn)沒有轉(zhuǎn)角位移，因此可以將Ｂ截面處視為固定端，將BC段看成懸臂梁。 查表9—1第2欄可得 (2）剛化BC段，只考慮ＡB段的變形 如圖９．12（c）所示,AB發(fā)生彎曲；

17、CB不變形，保持原來的直線形態(tài)，在B點(diǎn)與AB保持連續(xù)光滑連接。F力對(duì)ＡＢ段的作用可以用將F力等效簡(jiǎn)化到B點(diǎn)得到的一個(gè)力F和一個(gè)力偶Fa代替.因?yàn)榱υ冢翪段的等效不改變對(duì)ＡB的作用效果，即沒有改變AＢ段的彎矩，所以這種簡(jiǎn)化是可行的。簡(jiǎn)化到Ｂ點(diǎn)的F力作用在支座上，不會(huì)使AB梁變形；力偶Fa的作用可以查表9—1中第4欄,得到 則由AＢ段變形引起的C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度為 （3）疊加 梁C截面的總撓度和總轉(zhuǎn)角為 圖9.13 【例9—6】求圖9．13(ａ)所示懸臂梁端截面A的撓度. 解：（1）剛化BＣ段，只考慮ＡＢ段的變形 如圖9.13（b)所示,Ｂ點(diǎn)可以看成固定端，查表９—１中第3

18、欄得 ?。ā?） 在查表時(shí)可以發(fā)現(xiàn),表中固定端位置與題中情況正好相反，這樣在使用表格數(shù)據(jù)時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)符號(hào)相反的情況,如本圖中A截面的轉(zhuǎn)角方向?yàn)槟鏁r(shí)針，應(yīng)取正號(hào)。為了不出現(xiàn)錯(cuò)誤，通常將變形后的撓曲線大致形狀畫出，根據(jù)變形方向確定符號(hào),也可用箭頭標(biāo)明位移方向。 （２）剛化AB段，只考慮BC段的變形 將載荷等效簡(jiǎn)化到B點(diǎn)，得到一個(gè)力ｑｌ和一個(gè)力偶，分別計(jì)算力偶和力作用下在Ｂ點(diǎn)產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角.查表9－1中第1、2欄可得 （ ） （　 　　 　) 則A點(diǎn)的撓度 （ ） （3）疊加 （ ） 9.4　 簡(jiǎn)單靜不定梁 ９。4.1 靜不定梁的概念 前面分析過的

19、梁，如簡(jiǎn)支梁和懸臂梁等,其支座反力和內(nèi)力僅用靜力平衡條件就可全部確定，這種梁稱為靜定梁。在工程實(shí)際中，為了提高梁的強(qiáng)度和剛度，往往在靜定梁上增加一個(gè)或幾個(gè)約束，此時(shí)梁的支座反力和內(nèi)力用靜力平衡條件不能全部確定，這種梁稱為靜不定梁或超靜定梁。例如在圖９.14(a）所示懸臂梁的自由端B加一支座，未知約束反力增加一個(gè)，該梁由靜定梁變?yōu)榱遂o不定梁,如圖9．14（b)。 圖9.14 9。4.2 變形比較法求解簡(jiǎn)單靜不定梁 在靜不定梁中,那些超過維持梁平衡所必需的約束稱為多余約束，對(duì)應(yīng)的支座反力稱為多余約束反力.由于多余約束的存在,使得未知力的數(shù)目多于能夠建立的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，兩者之差稱為靜

20、不定次數(shù)。為確定靜不定梁的全部約束反力，必須根據(jù)梁的變形情況建立補(bǔ)充方程式。解除靜不定梁上的多余約束，變?yōu)橐粋€(gè)靜定梁。這個(gè)靜定梁為原靜不定梁的基本靜定梁,兩個(gè)梁應(yīng)具有相同的受力和變形。 為了使基本靜定梁的受力和變形與原靜不定梁完全相同,作用在基本靜定梁上的外力除了原來的載荷外，還應(yīng)加上多余約束反力;同時(shí)還要求基本靜定梁在多余約束處的撓度或轉(zhuǎn)角滿足該約束的限制條件。例如，在圖9。14（b）中,若將B端的可動(dòng)鉸支座作為多余約束，則可得到圖9．14（c）所示的基本靜定梁；且該梁應(yīng)滿足 wB=０　或 wB＝(wB）q+（wB）FRB=0 這就是梁應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件。 根據(jù)變形條件和力與變形間

21、的物理關(guān)系可以建立補(bǔ)充方程。由此可以求出多余約束反力,進(jìn)而求解梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。這種通過比較多余約束處的變形，建立變形協(xié)調(diào)關(guān)系,求解靜不定梁的方法稱為變形比較法。 變形比較法解靜不定梁步驟:第一，去掉多余約束,使靜不定梁變成基本靜定梁,并施加與多余約束對(duì)應(yīng)的約束反力；第二,比較多余約束處的變形情況，建立變形協(xié)調(diào)關(guān)系；第三，將力與變形之間的物理關(guān)系代入變形條件,得到補(bǔ)充方程，求出多余約束反力。 解靜不定梁時(shí)，選擇哪個(gè)約束為多余約束并不是固定的，可以根據(jù)方便求解的原則確定。選取的多余約束不同，得到的基本靜定梁的形式和變形條件也不同。例如圖９.1４（b)所示靜不定梁也可選阻止A端轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為

22、多余約束，相應(yīng)的多余約束反力為力偶矩MA。解除這一多余約束后，固定端將變?yōu)楣潭ㄣq支座；相應(yīng)的基本靜定梁為簡(jiǎn)支梁，如圖9．1５所示.該梁應(yīng)滿足的變形關(guān)系為A端的轉(zhuǎn)角為零,即 圖9.15 最后利用物理關(guān)系得到補(bǔ)充方程,求解可以得到與前面相同的結(jié)果。 圖9.16 【例9—7】房屋建筑中某一等截面梁簡(jiǎn)化為均布載荷作用下的雙跨梁，如圖９。1６(a)所示。試求梁的全部約束反力。 解：(1）確定基本靜定梁 解除C點(diǎn)的約束，加上相應(yīng)的約束反力ＦRC　,得到基本靜定梁如圖９.1６（b）所示. (2)變形協(xié)調(diào)條件 C點(diǎn)由于支座的約束,梁的撓度為零,即 （３）建立補(bǔ)充方程 查表９－１中第5、７欄可得 ， 　 代入變形關(guān)系可得補(bǔ)充方程為 解得 　 　　 　 　 　 （4)列平衡方程,求解其他約束反力 解得 　 在求出梁上作用的全部外力后,就可以進(jìn)一步分析梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度和變形了。 文中如有不足，請(qǐng)您見諒！ 11 / 11