3、1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0
解析：選C.對于A，當x＝1時，lg x＝0，正確；對于B，當x＝時，tan x＝1，正確；對于C，當x<0時，x3<0，錯誤；對于D，?x∈R,2x>0，正確．
5．有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；
p3：?x∈[0，π], ＝sinx；
p4：sinx＝cosy?x＋y＝.
其中的假命題是( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p2，p3
解析：選A.∵對任意x∈R，均有sin2＋cos2＝
4、1而不是，故p1為假命題．
當x，y，x－y有一個為2kπ(k∈Z)時，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命題．
∵cos2x＝1－2sin2x，∴＝＝sin2x.
又x∈[0，π]時，sinx≥0，∴對任意x∈[0，π]，均有 ＝sinx，因此p3是真命題．
∵當sinx＝cosy，即sinx＝sin時，x＝2kπ＋－y，即x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，故p4為假命題．故選A.
二、填空題
6．命題：對任意的x∈R,2x>0的否定命題是________．
答案：?x0∈R,2x0≤0
7．在“﹁p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命題中，“p∨q”為真，“p∧q
5、”為假，“﹁p”為真，那么p，q的真假為p________，q________.
解析：∵“p∨q”為真，∴p，q至少有一個為真．
又“p∧q”為假，∴p，q一個為假，一個為真．
而“﹁p”為真，∴p為假，q為真．
答案：假 真
8．(2012·濰坊質(zhì)檢)下列命題中真命題的序號是________．
①?x∈R，x4>x2；
②若p∧q是假命題，則p，q都是假命題；
③命題“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“?x∈R，x3－x2＋1>0”．
解析：①不正確，x4>x2成立當且僅當|x|>1；②不正確，當p∧q為假命題時，只要p，q中至少有一個為假命題即可；③正確，全稱命題
6、的否定是特稱命題．
答案：③
三、解答題
9．用符號“?”與“?”表示下面含有量詞的命題，并判斷真假．
(1)不等式x2－x＋≥0對一切實數(shù)x都成立；
(2)存在實數(shù)x0，使得＝.
解：(1)?x∈R，x2－x＋≥0恒成立．
∵x2－x＋＝2≥0，故該命題為真命題．
(2)?x0∈R，使得＝.
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤＜. 故該命題是假命題．
10．已知命題p：函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y＝ln(2ax2－2ax＋1)的定義域為R，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．
解：∵函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是增函數(shù)，
7、
∴2a－1＞0，即得p：a＞1.
又∵函數(shù)y＝ln(2ax2－2ax＋1)的定義域為R，
∴2ax2－2ax＋1＞0在R上恒成立．
∴當a＝0時，1＞0，符合題意；
當a≠0時，?0＜a＜2，
綜上得：q：0≤a＜2，
∵p∨q為真，p∧q為假，∴p、q一真一假．
法一：① 當p真q假時，由?a≥2；
②當p假q真時，由?0≤a≤1.
綜上得a的取值范圍是{a|0≤a≤1或a≥2}．
法二：用數(shù)軸來解，如圖．
一、選擇題
1．已知命題p：存在x∈(－∞，0)，2x＜3x；命題q：△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，則下列命題為真命題的是( )
8、A．p∧q B．p∨(﹁q)
C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)
解析：選C.∵當x＜0時，x＞1?2x＞3x，
∴p為假，故﹁p為真．
又∵△ABC中，有sinA＞sinB?a＞b?A＞B，
∴q為真，故﹁q為假，故選C.
2．(2010·高考天津卷)下列命題中，真命題是( )
A．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函數(shù)
B．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)
C．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)
D．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)
解析：選A.對于選項A，?m∈R，即當m＝0時
9、，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函數(shù)．故A正確．
二、填空題
3．若命題“?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：∵命題“?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0”是真命題，
∴Δ＝(a－1)2－4>0，即(a－1)2>4，
∴a－1>2或a－1<－2，∴a>3或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
4．已知命題p：對任意x∈R，存在m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0.若命題﹁p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：令t＝2x，t＞0.則－m＝t2－2t＝(t－1)2－1≥－1，所以m≤1.
10、
答案：(－∞，1]
三、解答題
5．已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命題“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．
解：由“p且q”是真命題，知p為真命題，q也為真命題．
若p為真命題，則a≤x2恒成立．∵x∈[1,2]，∴a≤1.
若q為真命題，即x2＋2ax＋2－a＝0有實根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
所以“p且q”是真命題時，實數(shù)a的取值范圍為a≤－2或a＝1，
故“p且q”是假命題時，實數(shù)a的取值范圍為(－2,1)∪(1，＋∞)．
6．(2012·福州質(zhì)檢)已知m∈R，命
11、題p：對任意x∈[0,8]，不等式 (x＋1)≥m2－3m恒成立；命題q：對任意x∈R，不等式|1＋sin2x－cos2x|≤2mcos恒成立．
(1)若p為真命題，求m的取值范圍；
(2)若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．
解：(1)令f(x)＝ (x＋1)，則f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)．
因為x∈[0,8]，所以當x＝8時，f(x)min＝f(8)＝－2.
不等式 (x＋1)≥m2－3m恒成立，等價于－2≥m2－3m，解得1≤m≤2.
即若p為真命題，m的取值范圍為[1,2]．
(2)不等式|1＋sin2x－cos2x|≤2mcos，
即|2sinx(sinx＋cosx)|≤m|sinx＋cosx|，
所以m≥|sinx|，即命題q：m≥.
若p且q為假，p或q為真，則p與q有且只有一個為真．
若p為真，q為假，那么即1≤m<.
若p為假，q為真，那么即m>2.
綜上所述，1≤m<或m>2.
即m的取值范圍是[1，)∪(2，＋∞)．
4
（福建專用）2013年高考數(shù)學總復習 第一章第3課時 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞課時闖關(guān)（含解析）
