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1、主要內容：,一、函數的連續(xù)性,二、函數的間斷點,三、初等函數的連續(xù)性,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,第一章 函數與極限 第八-九節(jié) 連續(xù)函數的概念與性質,一、函數的連續(xù)性,1.函數的增量,,,,,,,,,,,,2.連續(xù)的定義,例1,證,由定義2知,3.單側連續(xù),,定理,,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,,4.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如，多項式函數在R上是連續(xù)的。,四則運算的連續(xù)性,定理1,例如,,意義,1.極限符號可以與函數符號互換;,例3,解,定理2,二、函數的間斷點,1.跳
2、躍間斷點,,例4,解,2.可去間斷點,,例5,解,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,如例5中,,跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.,特點,,,3.第二類間斷點,,例6,解,例7,解,例8,解,內容小結,1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數;,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,,(見下圖),可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,思考題1,思考題1解答,且,1、一類；一類；二類。,2、,定理3 基本初等函數在定義域內是連續(xù)的.,定理4 一切初
3、等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.,三、初等函數的連續(xù)性,初等函數僅在其定義區(qū)間內連續(xù), 在其定義域內不一定連續(xù);,例如,,這些孤立點的鄰域內沒有定義.,在0點的鄰域內沒有定義.,注意1,注意2初等函數求極限的方法代入法.,例9,例10,解,解,四. 連續(xù)性在求極限中的應用,利用函數y=f(u)在u=A點連續(xù)的定義，可以證明，如果,,特別：（1）當f(u)=au 則,（2）當f(u)=logau 則,(3)當f(u)=,(為實數)，則,特別：,第二章中的對數函數、冪函數、指數函數求導公式 的推導過程要用到下面幾個極限,例11. 求下列極限,（a0a1）,解：
4、（1）,(重要極限),,=lne=1,,,,,,1、最大值和最小值定理,定義:,例如,,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,定理3(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值.,,,,,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立.,定理4(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界.,證,2、介值定理,定義:,,,,,,幾何解釋:,幾何解釋:,,,,,,證,由零點定理,,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.,例11,證,由零點定理,,例12,證,由零點定理,,小結,四個定理,最值定理;有界性定理;零點定理;介值定理.,注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數 這兩點不滿足, 上述定理不一定成立,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.輔助函數法:先作輔助函數F(x),再利用零點定理;,但反之不成立.,例,但,思考題2,下述命題是否正確？,思考題2解答,不正確.,例函數,六、習題演練,
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