1.2 基本不等式1

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1、1．2 基本不等式 1．定理1 設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式) 如果a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均． 3．定理3(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均值不等式) 如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 4．定理4(一般形式的算術(shù)—幾何平均值不等式) 如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則 ≥ 并且當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立． [小問題·大思維] 1．在基本不等式≥中，為什么要求a，b∈(

2、0，＋∞)? 提示：對(duì)于不等式≥，如果a，b中有兩個(gè)或一個(gè)為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，而且a，b至少有一個(gè)為0時(shí)，不能稱為幾何平均(或等比中項(xiàng))，因此規(guī)定a，b∈(0，＋∞)． 2．滿足不等式≥成立的a，b，c的范圍是什么？ 提示：a，b，c的范圍為a≥0，b≥0，c≥0. [例1]　已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc＝1 求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路點(diǎn)撥]　本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題需要分析不等式的特點(diǎn)，先對(duì)a＋b，b＋c，c＋a分別使用基本不等式，再把它們相乘． [精解詳析]　∵a，b，c為正實(shí)數(shù)， ∴a＋b≥2＞0

3、， b＋c≥2＞0， c＋a≥2＞0， 由上面三式相乘可得 (a＋b)(b＋c)(c＋a) ≥8··＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. 規(guī)律總結(jié) (1)用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進(jìn)行證明． (2)本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所證的不等式． 變式 1．已知a，b∈(0，＋∞)，求證：(a＋b)≥4. 證明：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，① 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． ＋≥2>0，② 當(dāng)且僅當(dāng)＝，

4、即a＝b時(shí)取等號(hào)． ①×②，得(a＋b)≥2·2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． ∴(a＋b)≥4. [例2]　(1)已知a，b，c∈R＋， 求證：a2＋b2＋c2＋2≥6. (2)設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝m，求證：＋＋≥. [思路點(diǎn)撥]　本題考查平均不等式的應(yīng)用．解答(1)題時(shí)可重復(fù)使用均值不等式，(2)題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu)，然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明． [精解詳析]　(1)a2＋b2＋c2＋2 ≥3＋9 ≥2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立． (2)∵·m ＝(a1＋a2＋a3)· ≥3·3 ＝9·＝9. 當(dāng)且僅

5、當(dāng)a1＝a2＝a3＝時(shí)等號(hào)成立． 又∵m>0，∴＋＋≥. 規(guī)律總結(jié) 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時(shí)，直接應(yīng)用該定理會(huì)更簡便．若不直接具備“一正二定三相等”的條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明． 連續(xù)多次使用平均值不等式定理時(shí)要注意前后等號(hào)成立的條件是否保持一致． 變式 2．已知a，b，c∈R＋，證明(a＋b＋c)2≥27. 證明：∵a，b，c∈R＋， ∴a＋b＋c≥3>0. ∴(a＋b＋c)2≥9 又＋＋≥3>0， ∴(a＋b＋c)

6、2≥3·9 ＝27. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． ∴(a＋b＋c)2≥27. 一、選擇題 1．設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則(　　) A．x＋y≥2(＋1)　　　　 B．x＋y≤2(＋1) C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2 解析：x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤2?x＋y≥2(＋1)． 答案：A 2．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列關(guān)系式總成立的是(　　) A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r

7、，高為h， 則由題意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3， 于是有V＝πr2h≤π·3＝π3＝π， 當(dāng)且僅當(dāng)r＝h時(shí)取等號(hào)． 答案：B 3．設(shè)x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，則lg x＋lg y＋lg z的取值范圍是(　　) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而xyz≤3，∴l(xiāng)g(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝2時(shí)，等號(hào)成立)． 答案：B 4．設(shè)a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，則x的取值范圍為(　　)

8、A. B. C．[1,8) D．[8，＋∞) 解析：∵x＝ ＝··＝ ≥＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，∴x≥8. 答案：D 二、填空題 5．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 解析：因?yàn)閤＞0，y＞0， 所以＋≥2＝ ，即 ≤1，解得xy≤3，所以其最大值為3. 答案：3 6．設(shè)a>1，t>0，則logat與loga的大小關(guān)系為logat________loga(填“<”“≥”或“≤”)． 解析：因?yàn)閘ogat＝loga，又t>0 又≥ . 而a>1，∴l(xiāng)oga≥loga，故填“≤”． 答案：≤

9、 7．函數(shù)y＝(x≠0)有最大值________，此時(shí)x＝________. 解析：∵x≠0，∴x2>0. ∴y＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x4＝9，x＝±時(shí)取等號(hào)， 即當(dāng)x＝±時(shí)，ymax＝. 答案：　± 8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則abc的最大值是________． 解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3. 0＜abc≤3＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)． 答案： 三、解答題 9．求函數(shù)y＝2x2＋(x>0)的最小值． 解：由x>0知2x2>0，>0，則 y＝2x2＋＝2x2＋＋ ≥3＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝，即

10、x＝時(shí)， ymin＝3＝. 10．已知a，b為正實(shí)數(shù)，a＋b＝1. 求證：2＋2≥. 證明：∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2，≤.∴≥4. ∵≤ ，∴≥2. ∴2＋2≥22＝≥≥. ∴2＋2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立． 11．設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)， 求證：＋＋＋abc≥2. 證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由算術(shù)—幾何平均不等式可得 ＋＋≥3， 即＋＋≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立)． 所以＋＋＋abc≥＋abc. 而＋abc≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c2＝3時(shí)，等號(hào)成立)， 所以＋＋＋abc≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立)．