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1、考點44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用
一、選擇題
1.（2012·山東高考理科·Ｔ10）已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解題指南】本題關(guān)鍵利用橢圓的對稱性及雙曲線的漸近線為，找出雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，然后加上條件離心率為，即可求得橢圓的方程.
【解析】選D.由于雙曲線的漸近線為，以及橢圓的對稱性可知漸近線與橢圓的四個交點為頂點的四邊形為正方形，因為四邊形面積為16，所以邊長為4，所以橢圓過點（2,2）.所以，解得，所以橢圓的方程為.
2、
二、解答題
2.（2012·湖北高考理科·Ｔ21）與（2012·湖北高考文科·Ｔ21）相同
設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點，是過點A與x軸垂直的直線，D是直線與x軸的交點，點M在直線上，且滿足當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.
（2）過原點斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，請說明理由.
【解題指南】本題考查求軌跡的方法和直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是把點M的坐
3、標設(shè)出，代入法求軌跡，再結(jié)合一定的運算能力求解。
【解析】
（1）如圖1.設(shè)，則由得①.又A是單位圓x2+y2=1上任意一點,則②.把①代入②得曲線C的方程為:.
當 曲線C為以點為焦點的橢圓; 當 曲線C為以點為焦點的橢圓.
(2)如圖2,3, 對任意的K>0 ,設(shè),直線QN的方程為: 將其帶入橢圓方程并整理得:.
依題意設(shè)此方程的兩根為: ,則
.又點H在直線QN上,所以,于是.又PQ⊥PH,則,即,也就是.
故存在m=,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH.
3.（2012·遼寧高考文科·T20）如圖，
動圓,1
4、別為的左，右頂點.
(Ⅰ)當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；
(Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.
【解題指南】（1）由于A,B,C,D四點的對稱性，可設(shè)出它們的坐標，利用坐標的某個變量來表示矩形面積，建立函數(shù)，求最值；（2）利用點的坐標，據(jù)直線方程的點斜式寫出直線方程，求交點坐標，用交軌法求軌跡方程.
【解析】（1）由于A,B,C,D四點的對稱性，
設(shè)
則矩形ABCD的面積為，
由點在橢圓上，所以
從而，故時，取得最大值。
從而取得最大值6.此時.
（2）由可得
直線的方程：--------------------①
直線的方
5、程：--------------------②
設(shè)直線與直線的交點
由①②得----------------------------③
由（1）知------------------------------------④
④代入③整理得
因此點M的軌跡方程為.
4.（2012·遼寧高考理科·T20）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點.
(Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)動圓與相交于四點，其中，
。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值.
【解題指南】（1）由于A,B點的對稱性，可設(shè)出它們的坐標，利用點的坐標
6、，據(jù)直線方程的點斜式寫出直線方程，求交點坐標，用參數(shù)法求軌跡方程（2）利用坐標的變量來表示矩形面積，建立等量關(guān)系.
【解析】(Ⅰ)設(shè)，
直線的方程：-------------------- ①
直線的方程：-------------------- ②
設(shè)直線與直線的交點
由①②得----------------------------③
由在橢圓上，故
從而，代入③整理得
（Ⅱ）證明：設(shè)，由矩形ABCD和矩形面積相等得，
即，-------------------- ④
因為點，均在橢圓上，
所以，
代入④得，進一步得到
，由于，所以
從而，
故 為定值.
2012年高考數(shù)學 考點44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用
