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1、
（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列 課時(shí)闖關(guān)（含解析）
[A級(jí) 雙基鞏固]
一、填空題
1．(2010·高考福建卷)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，
∴a1＝1，∴an＝1·4n－1＝4n－1.
答案：4n－1
2．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于________．
解析：a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝a1q10＝a11.
∴m
2、＝11.
答案：11
3．(2012·無錫調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9＝2a，a2＝2，則a1等于________．
解析：由題意可知，a3·a9＝a＝2a，∴公比q＝，
∴a1＝＝＝.
答案：
4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________.
解析：由8a2＋a5＝0，∴＝－8，即q3＝－8，q＝－2.
∴＝＝＝＝－11.
答案：－11
5．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為________．
解析：易知公比q≠1，由9S3＝S6得9＝，解得q＝2，
3、
∴{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
∴其前5項(xiàng)和為＝.
答案：
6．已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8等于________．
解析：由題意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.
答案：16
7．在等比數(shù)列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，則a99＋a100等于________．
解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，…，a99＋a100＝b10.它們構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列．所以a99＋a100＝a·(
4、)9＝.
答案：
8．關(guān)于數(shù)列有下面四個(gè)判斷：
①若a，b，c，d成等比數(shù)列，則a＋b，b＋c，c＋d也成等比數(shù)列；
②若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則{an}為常數(shù)列；
③數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，則{an}為等差或等比數(shù)列；
④數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{an}中不會(huì)有am＝an(m≠n)．
其中正確判斷的序號(hào)是________．(注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上)
解析：①中，若a＝2，b＝－2，c＝2，d＝－2不滿足條件，③中，若a＝0，則Sn＝－1，a1＝－1，an＝0(n≥2)，∴{an}既不是等差也不是
5、等比數(shù)列．
答案：②④
二、解答題
9．(2011·高考江西卷)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}惟一，求a的值．
解：(1)設(shè){an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.
由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，
即q2－4q＋2＝0，
解得q1＝2＋，q2＝2－，
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)設(shè){an}的公比為q，則
6、由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.()
由a>0，得Δ＝4a2＋4a>0，故方程()有兩個(gè)不同的實(shí)根，
由{an}惟一，知方程()必有一根為0，代入()得a＝.
10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn；
(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．
解：(1)由條件可知?jiǎng)td＝2, 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)證明：由(1)得bn＝＝n＋，假設(shè){bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*且互
7、不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
化簡得(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因?yàn)閜，q，r均為正整數(shù)，所以所以()2＝pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r.
故{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．
[B級(jí) 能力提升]
一、填空題
1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn＝，且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)一切正整數(shù)n都有Sn>Tn，則數(shù)列{an}的公比q的取值范圍是________．
解析：由于{an}是等比數(shù)列，公比為q，所以bn＝＝an，于是b1＋b2＋…＋bn＝(a1＋a2＋…＋an)，
即Tn＝·Sn.
又Sn
8、>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1.
因?yàn)閍n>0對(duì)任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范圍是q>1.
答案：q>1
2．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立．
答案： b1b2…bn＝b1b2…b17－n
3．若干個(gè)能惟一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列{an}的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第________組．(寫出所有符合要求的組號(hào))
①S1
9、與S2；②a2與S3；③a1與an；④q與an.
(其中n為大于1的整數(shù)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和)
解析：①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q確定，∴等比數(shù)列{an}確定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q，q＋＋1－＝0，即q2＋(1－)q＋1＝0.不能惟一確定q，從而該數(shù)列不能惟一確定．
③qn－1＝，n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，q不能惟一確定．
④a1＝惟一確定，即{an}惟一確定．
∴①④滿足題意．
答案：①④
4．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，
10、則6q＝________.
解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，
而{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，
∴{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1.
∴{an}中的連續(xù)四項(xiàng)為－24,36，－54,81，
∵q＝＝－，∴6q＝－9.
答案：－9
二、解答題
5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
證明：法一：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
則S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)
11、＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，所以q＝1時(shí)，等式成立．
當(dāng)q≠1時(shí)，則Sn＝，
S2n＝＝(1－qn)(1＋qn)，
S3n＝＝(1＋qn＋q2n)．
所以S＋S＝[]2＋[(1＋qn)]2
＝[1＋(1＋qn)2]＝(2＋2qn＋q2n)．
Sn(S2n＋S3n)＝[(1－qn)(1＋qn)＋(1－qn)(1＋qn＋q2n)]
＝(2＋2qn＋q2n)．
所以當(dāng)q≠1時(shí)，等式成立，綜上所述：等式成立．
法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則S2n＝(a1＋a2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a1qn＋a2qn＋…＋anq
12、n)＝(a1＋a2＋…＋an)(1＋qn)＝Sn(1＋qn)．
同理S3n＝(1＋qn＋q2n)Sn.所以
S＋S－Sn(S2n＋S3n)＝S＋S(1＋qn)2－S[(1＋qn)＋(1＋qn＋q2n)]
＝S＋S(1＋qn)2－S[1＋(1＋qn)2]＝0.
所以S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
6．按所給流程，可打印出一個(gè)數(shù)列，設(shè)這個(gè)數(shù)列為{xn}．
(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)；
(2)建立數(shù)列{xn}的遞推公式；
(3)證明{xn＋1－xn}是等比數(shù)列；
(4)求通項(xiàng)xn.
解：(1)x1＝＝，x2＝＝，x3＝＝，x4＝＝.
(2)遞推公式為
(3)證明：由(2)，得＝＝＝－，又x2－x1＝，
∴{xn＋1－xn}是首項(xiàng)為，公比為－的等比數(shù)列．
(4)由(3)，xn＋1－xn＝(－)n－1.
∴xn＝x1＋(xi＋1－xi)＝＋(－)i－1.
（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列課時(shí)闖關(guān)（含解析）
