（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第二章第11課時 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算課時闖關(guān)（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第二章第11課時 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．(2010·高考江西卷)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 解析：選B.由題意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，從題中可知f′(x)為奇函數(shù)，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故選B. 2．下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為(　　) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(cos5x)′＝－5si

2、nx；④(sinx2)′＝2xcosx2；⑤(x·ex)′＝ex＋1. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.求導(dǎo)運算正確的有②④，2個，故選B. 3．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線互相垂直，則為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線斜率為3，所以＝－. 4．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(　　) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 解析：選D.y′＝，所以y＝e在點(4，e2)的導(dǎo)數(shù)為， 所以y＝e在點(4，e2)的切線

3、方程為y－e2＝e2(x－4)． 切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0)和(0，－e2)， 所以S＝×2×e2＝e2. 5．下圖中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝(　　) A. B．－ C. D．－或 解析：選B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上． 又∵a≠0，∴其圖象必為圖(3)．由圖象特征知f′(0)＝0， 且－a＞0，∴a＝－1.故f(－1)＝－－1＋1＝－. 二、填空題 6.如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B

4、，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝________；函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝________. 解析：由題圖知，f(f(0))＝f(4)＝2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝kAB＝－2. 答案：2　－2 7．(2012·三明質(zhì)檢) 一質(zhì)點的運動方程為y＝，則它在x＝1時的速度為________． 解析：因為y′＝′＝＝，所以y′|x＝1＝－. 答案：－ 8．若點P在拋物線y＝3x2＋4x＋2上，A(0，－3)、B(－1，－1)，要使△ABP的面積最小，則P點的坐標是________． 解析：欲使△ABP的面積最小，則必須使P點

5、到直線AB的距離最近．因此作直線AB的平行直線，與拋物線相切時的切點即為所求的點P.因為y′＝kAB，即6x＋4＝－2，得x＝－1，故P點的坐標是(－1,1)． 答案：(－1,1) 三、解答題 9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝； (3)y＝tanx；(4)y＝(1＋sinx)2. (2)y′＝()′＝＝＝. (3)y′＝()′＝ ＝＝. (4)y′＝[(1＋sinx)2]′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′ ＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx＋sin2x. 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x

6、)在點(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程． 解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. (2)法一：設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1， ∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直線l過

7、點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)． 法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，則k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1，解之得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－＋3垂直，∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點的坐標為(x0，y0

8、)，則f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1， ∴或 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 一、選擇題 1．設(shè)函數(shù)y＝xsinx＋cosx的圖象上的點(x，y)處的切線斜率為k，若k＝g(x)，則函數(shù)k＝g(x)的圖象大致為(　　) 解析：選B.k＝g(x)＝y(tǒng)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故函數(shù)k＝g(x)為奇函數(shù)，排除A、C；又當x∈時，g(x)＞0，∴B正確． 2．已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x－lnx存在與直線x＋y－1＝0互相垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.

9、 B. C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：選A.∵y＝ax2＋3x－lnx， ∴y′＝2ax＋3－.(x>0) 由2ax＋3－＝1，即2ax2＋2x－1＝0. 得2a＝－＝2－1， ∵x>0，∴2－1≥－1. ∴2a≥－1，∴a≥－.故選A. 二、填空題 3．(2012·龍巖質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(0)＞0. 若對任意實數(shù)x都有f(x)≥0，則的最小值為________． 解析：由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)>0，所以b>0. 又因為對任意實數(shù)x，都有f(x)≥0， 所以a>0且Δ＝b2－4a≤0

10、，即b2≤4a. 所以＝＝＋＋1≥2＋1≥2 ＋1＝2. 當且僅當＝且b2＝4a，即a＝1，b＝2時，“＝”成立， 即當a＝1，b＝2時，有最小值2. 答案：2 4．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為____． 解析：點(1,1)在曲線y＝xn＋1(n∈N*)上，點(1,1)為切點，y′＝(n＋1)xn，故切線的斜率為k＝n＋1， 曲線在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切點的橫坐標為xn＝， 故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝ lg

11、＝lg＝－2. 答案：－2 三、解答題 5．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0， 即3a－6－6a＝0， ∴a＝－2. (2)∵直線m恒過定點(0,9)，先求直線m是曲線y＝g(x)的切線，設(shè)切點為(x0,3x＋6x0＋12)， ∵g′(x0)＝6x0＋6， ∴切線方程為y－(

12、3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 將點(0,9)代入，得x0＝±1, 當x0＝－1時，切線方程為y＝9； 當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9. 由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2， 當x＝－1時，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 當x＝2時，y＝f(x)的切線方程為y＝9. ∴公切線是y＝9. 又有f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0或x＝1. 當x＝0時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 當x＝1時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10， ∴公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述公

13、切線是y＝9，此時存在，k＝0. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求y＝f(x)的解析式； (2)求證：函數(shù)f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心； (3)證明曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當x＝2時，y＝. 又f′(x)＝a＋. 于是解得 故f(x)＝x－. (2)證明：由上知f(x)＝x－， 因為f(－x)＝－x＋＝ －f(x)，所以是奇函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，其對稱中心為原點． (3)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，故定值為6.