2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)43 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

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1、考點(diǎn)43 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一、選擇題 1.（2012·安徽高考理科·Ｔ9）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)， 是原點(diǎn)，若，則的面積為（ ） 【解題指南】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，同理可以得，解出，代入公式. 【解析】選.設(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 得： 又,的面積為. 二、填空題 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ14）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=______. 【解題指南】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，同理可以得，解出. 【解析】設(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 得： 又. 【答案】.

2、 三、解答題 3.（2012·天津高考理科·Ｔ19）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率； （Ⅱ）若，證明直線的斜率滿足. 【解題指南】利用橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線、兩點(diǎn)間的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式等知識(shí)綜合求解. 【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，由題意得，由,得，由，可得，代入（1）并整理得于是. （Ⅱ）方法一：依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由條件得整理得 由|AP|=|OA|,得， 整理得， ，代入（2）整理得， . 方法二：依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)

3、P的坐標(biāo)為，由條件得，，，即 由|AP|=|OA|,得，整理得， ，代入（3）得， 解得. 4.（2012·天津高考文科·Ｔ19）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值. 【解題指南】利用橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線、兩點(diǎn)間的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)綜合求解. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，可得，于是. （Ⅱ）設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為 ，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由條件得整理得 由|AQ|=|OA|,得，整理得， ，代入（1）整理得， 由（1）知，故，即，所以直線OQ的斜率為

4、. 5.（2012·福建高考理科·Ｔ19）(本小題滿分13分) 如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率．過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8． (Ⅰ) 求橢圓E的方程． (Ⅱ) 設(shè)動(dòng)直線：與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【解題指南】本小題主要考查橢圓的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，特殊與一般思想. 【解析】（

5、Ⅰ）因?yàn)? 即 所以， 又因?yàn)?，即，所? 所以 故橢圓的方程為. （Ⅱ）由得 因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以且， 即，化簡(jiǎn)得（*） 此時(shí)，，，所以 由得 假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱知，點(diǎn)M必在x軸上． 設(shè)，則對(duì)滿足（*）式的m，k恒成立， 因?yàn)?，? 由得 整理，得 （**） 由于（**）對(duì)（*）式的m，k恒成立，所以 解得 故存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M． 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）由得 因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 所以且 即，化簡(jiǎn)得 此時(shí)，，，所以 由得，假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)

6、M滿足條件，由圖形對(duì)稱知，點(diǎn)M必在x軸上．取，，此時(shí)，，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)，，取，，此時(shí)，，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)，． 所以若符合條件的M存在，則M的坐標(biāo)必為 以下證明就是滿足條件的點(diǎn)： 因?yàn)榈淖鴺?biāo)是， 所以，， 從而得 故恒有，即存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M. 6.（2012·山東高考理科·Ｔ21）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； （Ⅲ）若點(diǎn)的橫坐

7、標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的最小值. 【解題指南】（1）考查對(duì)拋物線定義的理解以及三角形的外接圓心在三邊的垂直平分線上.（2）考查直線與圓錐曲線相切時(shí)切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用斜率與導(dǎo)數(shù)相等即可求得.（3）利用直線與拋物線的弦長(zhǎng)公式可求出,利用圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)一半，半徑構(gòu)成直角三角形可求的,利用導(dǎo)數(shù)求的最小值. 【解析】（Ⅰ）由是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F坐標(biāo)為：，拋物線的準(zhǔn)線為，過三點(diǎn)的圓的圓心為，則圓心Q在線段OF的垂直平分線，所以，所以P=1，故拋物線方程為. (Ⅱ)若存在這樣的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為， 所以MO的中點(diǎn)，圓心Q在M

8、O的垂直平分線上，所以MO的垂直平分線方程為，圓心Q在線段OF的垂直平分線解得點(diǎn)Q坐標(biāo)為， 直線與拋物線相切于點(diǎn) 拋物線的導(dǎo)數(shù)為，過點(diǎn)的切線斜率為 ，整理得：， 解得：或（舍去） 所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：. (Ⅲ)由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（Ⅱ）知圓心Q， 半徑， 圓心Q到直線的距離為： ，， 聯(lián)立，消去y可得：，設(shè)， 于是，令 ， 設(shè)，， 當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí). 故當(dāng)時(shí)，. 7.（2012·山東高考文科·Ｔ21）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同

9、的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值. 【解題指南】（1）考查對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的理解，矩形ABCD面積為8，即，由離心率為可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可聯(lián)立直線與橢圓方程，用m表示出PQ的距離，與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的距離也用含m的代數(shù)式，再討論求最大值. 【解析】(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：， ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (II)， 設(shè)，則， 由得. . 當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，. ①當(dāng)時(shí)，有， ， 其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. ②由對(duì)稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值. ③當(dāng)時(shí)，，， 由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 綜上

10、可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值. 8.（2012·浙江高考理科·Ｔ21）（本題滿分15分）如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)Ｐ（２,１）的距離為，不過原點(diǎn)Ｏ的直線ｌ與Ｃ相交于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，且線段ＡＢ被直線ＯＰ平分. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）求△APB面積取最大值時(shí)直線的方程. 【解題指南】本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，利用三角形面積這一公式表示其面積,可發(fā)現(xiàn)為4次函數(shù),需用導(dǎo)數(shù)研究面積的最值情況. 【解析】（Ⅰ）左焦點(diǎn)到點(diǎn)Ｐ（２,１）的距離為，解得 又離心率為，可得，所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）由題意可知，直線不垂直于軸，故可設(shè)直線，交點(diǎn)， 由消去并整理得

11、 ∴， ∴的中點(diǎn)為P（，） 而直線，可得=，解得，即直線 = 而點(diǎn)Ｐ（２,１）到直線的距離為 ∴△APB面積為 == 其中 令， 則 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，S取得最大值 此時(shí)直線. 9.（2012·浙江高考文科·Ｔ22）（本題滿分14分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，）到拋物線C：y2=2px（P＞0）的準(zhǔn)線的距離為。點(diǎn)M（t，1）是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分. （1）求p,t的值； （2）求△ABP面積的最大值. 【解題指南】考查拋物線的定義，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線間的距離

12、表示出來三角形的面積，并借助導(dǎo)數(shù)求最值。 【解析】（1）點(diǎn)P（1，）到拋物線C：y2=2px（P＞0）的準(zhǔn)線的距離為，可得準(zhǔn)線方程為， 所以拋物線C：y2=x， 點(diǎn)M（t，1）是C上的點(diǎn)，所以. （2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 由得 所以 ∴直線的方程為 即 由消去，整理得 所以，， 從而 設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則 設(shè)的面積為S,則 由可得。 令，則 設(shè)，則 由，得 所以 . 故的面積的最大值為. 10.（2012·北京高考理科·Ｔ19）已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) （1） 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，

13、求m的取值范圍； （2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線. 【解題指南】（1）化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再列式求范圍；（2）三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與曲線C方程后，把韋達(dá)定理代入證明即可。 【解析】（1）曲線C：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， 則，解得。 （2）C：，與y軸交點(diǎn)A（0，2），B（0，-2），設(shè)， 由消y得，， y=kx+4與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，解得。 由韋達(dá)定理得， 直線， ， ，三點(diǎn)共線. 11.（2012·北京高考文科·Ｔ19）已知

14、橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值 . 【解題指南】第（Ⅰ）問，利用橢圓的a,b,c及e的關(guān)系即可求出橢圓方程；第（Ⅱ）問，△AMN的面積等于x軸上下兩個(gè)小三角形面積之和. 【解析】（Ⅰ），橢圓C：. （Ⅱ）設(shè)，則由，消y得, 直線 y=k(x-1)過橢圓內(nèi)點(diǎn)（1，0），恒成立， 由根與系數(shù)的關(guān)系得， 即，解得. 12.（2012·湖南高考文科·Ｔ21）（本小題滿分13分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E

15、的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心. （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo). 【解題指南】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.（Ⅰ）圓心（2,0）知c=2，=可求a，b的值；（Ⅱ）設(shè)出P的坐標(biāo)，由兩條直線l1，l2斜率之積為，P是橢圓E上一點(diǎn)，可分別列出方程，解方程組求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。 【解析】（Ⅰ）由，得.故圓Ｃ的圓心為點(diǎn) 從而可設(shè)橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設(shè)知 故橢圓Ｅ的方程為： （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐

16、標(biāo)為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切得 　　， 即　　　　　 同理可得　　. 從而是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 　　　　　　　　　　　　　?、? 且 由得解得或 由得由得它們均滿足①式，故點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為 ，或，或，或. 13.（2012·江蘇高考·Ｔ19）（本小題滿分16分） 如圖，A B P O x y （第19題） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P． （i）若，求直線的斜率； （ii

17、）求證：是定值． 【解題指南】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解. （2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解. 【解析】（1）由題設(shè)知，，由點(diǎn)在橢圓上， 得，∴。 由點(diǎn)在橢圓上， 得 ∴橢圓的方程為. （2）由（1）得，，又∵∥， ∴設(shè)、的方程分別為，。 ∴。 ∴.① 同理，.② （i）由①②得，。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴. 由點(diǎn)在橢圓上知，，∴. 同理。. ∴ 由①②得，，， ∴. ∴是定值. A B O x y 14.（2012·福建高

18、考文科·Ｔ21）(本小題滿分12分)如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：上． （Ⅰ）求拋物線E的方程； （Ⅱ） 設(shè)動(dòng)直線與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)Q．證明以PQ為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)． 【解題指南】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想． 【解析】方法一：（Ⅰ）依題意，，． 設(shè)，則，． 因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得． 故拋物線E的方程為． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 設(shè)，則，且的方程為，即． 由，得，所以． 設(shè)，令對(duì)滿足的，恒成立．

19、 由，，得 即．（*） 由于（*）式對(duì)滿足的恒成立，所以， 解得 故以為直徑的圓橫過ｙ軸上的頂點(diǎn)． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 設(shè)，則，且的方程為，即． 由，得，所以． 取，此時(shí)，，以為直徑的圓，交y軸于點(diǎn)或； 取，此時(shí)，，以為直徑的圓為，交y軸于或． 故若滿足條件的存在，只能是． 以下是證明點(diǎn)就是所要求的點(diǎn) 因?yàn)?，? ． 故以為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)． 15.（2012·安徽高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60°. （Ⅰ）求橢圓的離心率

20、； （Ⅱ）已知△的面積為40，求a, b 的值. 【解題指南】（1）由；（2）根據(jù)橢圓的定義設(shè)；則，由余弦定理求出設(shè)，結(jié)合三角形的面積公式即可求出. 【解析】（I） （Ⅱ）設(shè)；則 在中， 面積. 16.（2012·安徽高考理科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖，點(diǎn)分別是橢圓 的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)， 過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)； （I）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為；求此時(shí)橢圓的方程； （II）證明：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)。 【解題指南】（1）點(diǎn)代入得，由，可以得到關(guān)于的關(guān)系，解方程組可以求出，從而得到方程；（2）可以證明直線與橢圓相切. 【解析】（I）點(diǎn)代入得， ① 又 ② ③ 由①②③得：，即橢圓的方程為； （II）【證明】設(shè)，則，且，，過點(diǎn)與橢圓相切的直線斜率，因此直線與橢圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn).