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1、第56課 立體幾何中的翻折問題
1.（2012東城一模）如圖，在邊長為的正三角形中，，，分別為，，上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結，.（如圖）
（1）若為中點，求證：∥平面；
（2）求證：.
證明：（1）取中點，連結．
在中，分別為的中點，
2、∴∥，且．
∵，
∴∥,且，
∴∥，且．
∴四邊形為平行四邊形，∴∥．
又∵平面，且平面，
∴∥平面．
（2） 取中點，連結.
∵，，
∴，而，
即是正三角形.
又∵, ∴.
∴在圖2中有.
∵平面平面，平面平面，
∴⊥平面.
又平面，∴⊥.
2．（2012海淀一模）已知菱形中，， （如圖1所示），將菱形沿對角線翻折，使點翻折到點的位置（如圖2所示），點，，分別是，，的中點．
（1）證
3、明： //平面；
（2）證明：；
（3）當時，求線段的長．
證明：（1）∵點分別是的中點，
∴．
又平面，平面，
∴平面．
（2）在菱形中，設為的交點，
則．
∴ 在三棱錐中，
.
又
∴ 平面．
又平面，∴．
?。?）連結．
在菱形中，，
∴ 是等邊三角形，
∴ ．
∵ 為中點，
∴ ．
又 ，．
4、
∴平面，即平面．
又 平面，∴ ．
∵ ，，
∴ ．
3．（2012汕頭二模）如圖，在邊長為4的菱形中，，點、分別在邊、上．點與點、不重合，，，沿將翻折到的位置，使平面平面．
（1）求證：平面；
（2）記三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，且，求此時線段的長．
【解析】（1）證明：在菱形中，
∵，∴．
∵，∴，
∵平面⊥平面，
平面平面，且平面，
∴平面，
∵平面，∴．
∵，∴平面．
（2）設．
由（1）知，平面，
∴為三棱錐及四棱錐的高，
∴，∵，
5、∴，∴，
∵，
∴，∴∽．
∴，
∴，
∴．
4．（2012西城一模）如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．
（1）求證：∥平面；
（2）若，求證：；
（3）求四面體體積的最大值．
【解析】（1）證明：∵四邊形，都是矩形，
∴ ∥∥，．
∴ 四邊形是平行四邊形，
∴ ∥，
∵ 平面，∴ ∥平面．
（2）證明：設．
∵平面平面，且，
∴ 平面， ∴ ．
又 ， ∴四邊形為正方形，
∴ ．
∴ 平面， ∴ ．
（3）設，則，其中．
由（1）得平面，
∴四面體的體積為
．
∴ ．
當且僅當，即時，取等號，
∴時，四面體的體積最大．
（廣東專用）2014高考數學第一輪復習用書 第56課 立體幾何中的翻折問題 文
