2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(二十六) 第四章 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 文

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1、課時提升作業(yè)(二十六) 第四章 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 一、選擇題 1.有下列四個命題: ①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個數(shù)是　(　　) (A)1　　　　(B)2　　　　(C)3　　　　(D)4 2.(2012·遼寧高考)已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是　(　　) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b 3.(2013·渭南模擬)設(shè)向量a=(cos 25

2、°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是　(　　) (A) (B)1 (C) (D) 4.(2013·南昌模擬)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角的正切值等于-,則x的值為　(　　) (A) (B)2 (C)-2 (D)-2, 5.在△ABC中,=1,=2,則AB邊的長度為　(　　) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 6.向量a=(-

3、1,1),且a與a+2b方向相同,則a·b的范圍是　(　　) (A)(1,+∞) (B)(-1,1) (C)(-1,+∞) (D)(-∞,1) 7.(2013·南平模擬)設(shè)a,b是非零向量,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,則必有　(　　) (A)a⊥b (B)a∥b (C)|a|=|b| (D)|a|≠|(zhì)b| 8.已知O是△ABC內(nèi)部一點,++=0,·=2,且∠BAC=30°,則△AOB的面積為　(　　) (A)2

4、 (B)1 (C) (D) 9.在△ABC中,a,b,c分別為三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,設(shè)向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,則角A的大小為　(　　) (A) (B) (C) (D) 10.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知點A(1,1)和單位圓上半部分上的動點B.且⊥,則向量的坐標(biāo)為　(　　) (A)(-,) (B)(-,) (C)(-,) (D)(-,) 二、填空題 11

5、.(2013·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,則|b|=　　　　. 12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(+)·的最小值是　　　　. 13.(2013·杭州模擬)以下命題:①若|a·b|=|a|·|b|,則a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則·=20;④若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中所有真命題的序號是　　　　. 14.(能力挑戰(zhàn)題)給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為90°.

6、如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動,若=x+y,其中x,y∈R,則xy的范圍是　　　　. 三、解答題 15.(2013·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10. (1)求D點的坐標(biāo). (2)設(shè)=(m,2),若3+與垂直,求的坐標(biāo). 答案解析 1.【解析】選A.設(shè)a,b夾角為θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2; ②|a+b|與|a-b|大小不確定; ③正確; ④a∥b,當(dāng)a,b同向時有a·b=|a|·|b|;當(dāng)a,b反向時有a·b=-|a|·|b|.故不正確. 2.【思路點

7、撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個向量的關(guān)系. 【解析】選B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b. 【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為,那么下列結(jié)論中一定成立的是　(　　) (A)a=b (B)|a|=|b| (C)a⊥b (D)a∥b 【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|. 3.【解析】選C.∵|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2 =1+2t(cos 25°sin 20°

8、+sin 25°cos 20°)+t2 =t2+t+1=(t+)2+≥, ∴|u|≥,故選C. 4.【解析】選C.∵a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角等于θ, ∴a·b=3x-6=cosθ, ∴cosθ=. ∵tanθ=-,∴cosθ=-. ∴=-, 整理得3x2-20x-52=0. 解得x1=-2,x2=. 經(jīng)檢驗x2=是增根,x1=-2滿足要求. ∴x=-2. 5.【思路點撥】根據(jù)數(shù)量積的定義計算,并結(jié)合解三角形的知識得到結(jié)果. 【解析】選B.過點C作AB的垂線,垂足為D. 由條件得==||cosA=|AD|=1,同理|BD|=2. 故|AB|=

9、|AD|+|DB|=3. 6.【解析】選C.∵a與a+2b同向, ∴可設(shè)a+2b=λa(λ>0), 則有b=a.又∵|a|==, ∴a·b=·|a|2=×2=λ-1>-1, ∴a·b的范圍是(-1,+∞),故應(yīng)選C. 7.【解析】選A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù). 而(xa+b)·(a-xb) =x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2, 故a·b=0.又∵a,b為非零向量, ∴a⊥b,故應(yīng)選A. 8.【解析】選D.由++=0得O為△ABC的重心,∴S△AOB=S△ABC. 又·=||||cos30°=2

10、, 得||||=4,∴S△ABC=||||sin30°=1. ∴S△AOB=. 9.【解析】選B.由m⊥n可得m·n=0, 即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0, ∴b2-bc+c2-a2=0. 由余弦定理得cosA==, 所以A=. 10.【解析】選B.依題意設(shè)B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π. 則=(1,1),=(cosθ,sinθ). 因為⊥,所以·=0, 即cosθ+sinθ=0, 解得θ=, 所以=(-,). 【方法技巧】解題時引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)θ是解題的關(guān)鍵,進(jìn)而可利用三角函數(shù)的定義求得點B的坐標(biāo),可將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題來解決. 11.【

11、解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b|=5. 答案:5 12.【思路點撥】設(shè)|PO|=x(0≤x≤3),運(yùn)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識求解. 【解析】設(shè)|PO|=x,則|PC|=3-x(0≤x≤3), 則(+)·=2·=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-)2-. ∵0≤x≤3, ∴當(dāng)x=時,(+)·有最小值-. 答案:- 13.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知 cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正確;②中a在b方向上的投影為|a|·cos

12、θ=|a|·==,故正確;③中,由余弦定理得cosC==,故·=-·=-5×8×=-20,故錯誤.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故錯誤. 答案:①② 14.【解析】由=x+y,得 =x2+y2+2xy·. 又||=||=||=1,·=0, ∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤, 而點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動, 得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤. 答案:[0,] 15.【解析】(1)設(shè)D(x,y),=(1,2),=(x+1,y). 由題得 ∴或 ∴D點的坐標(biāo)為(-2

13、,3)或(2,1). (2)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2), ∵3+與垂直,∴(3+)·=0, ∴m+14=0,∴m=-14,∴=(-14,2). 【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t), C(ksinθ,t)(0≤θ≤). (1)若⊥a,且||=||(O為坐標(biāo)原點),求向量. (2)若向量與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時,求·. 【解析】(1)可得=(n-8,t), ∵⊥a, ∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0, 得n=2t+8, 則=(2t,t). 又||=||,||=8. ∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8, 當(dāng)t=8時,n=24;當(dāng)t=-8時,n=-8. ∴=(24,8)或=(-8,-8). (2)∵向量與向量a共線, ∴t=-2ksinθ+16, tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ =-2k(sinθ-)2+. ∵k>4,∴0<<1,故當(dāng)sinθ=時,tsinθ取最大值,有=4,得k=8. 這時,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8, 則=(4,8), ∴·=(8,0)·(4,8)=32.