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1、第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用,高考定位1.高考對(duì)數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過(guò)分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔偏下；2.在考查數(shù)列運(yùn)算的同時(shí)，將數(shù)列與不等式、函數(shù)交匯滲透.,解(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n， 故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，,真 題 感 悟,又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.,考 點(diǎn) 整 合,2.數(shù)列求和,3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯,數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)
2、應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題一般以數(shù)列為載體，考查最值問(wèn)題、不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題.,解(1)因?yàn)閍n5Sn1，nN*，所以an15Sn11，,(2)bn1log2|an|2n1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tnn2，,因此An是單調(diào)遞增數(shù)列，,探究提高1.給出Sn與an的遞推關(guān)系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 2.形如an1panq(p1，q0)，可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列.,(1)解2(Sn1)(n3)an， 當(dāng)n2時(shí)，2(Sn11)(n2)an1， 得，(n1)
3、an(n2)an1，,熱點(diǎn)二數(shù)列的求和 考法1分組轉(zhuǎn)化求和 【例21】 (2018合肥質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S424，S763. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,因此an的通項(xiàng)公式an2n1. (2)bn 2an (1)nan22n1(1)n(2n1) 24n(1)n(2n1)，,探究提高1.在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和.在利用分組求和法求和時(shí)，常常根據(jù)需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n的奇偶進(jìn)行討論.最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式. 2.分組求和的策略：(1)根據(jù)
4、等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.,(1)證明Sn2n25n， 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n3. 又當(dāng)n1時(shí)，a1S17也滿足an4n3.故an4n3(nN*).,數(shù)列3an是公比為81的等比數(shù)列.,(2)解bn4n27n，,探究提高1.裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng). 2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).,解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，,所以ana1qn13n. (2)由(1)得bnlog332n12n1，,解(1)設(shè)an的公差為d，由題
5、設(shè),解之得a11，且d1.因此ann.,探究提高1.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解. 2.在寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式.,解(1)由題意知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5. 當(dāng)n1時(shí)，a1S111，符合上式.所以an6n5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為d，,所以bn3n1.,又Tnc1c2cn， 得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2. 兩式作差，得 Tn322223242
6、n1(n1)2n2,所以Tn3n2n2.,an1f(an)，且a11. an1an2則an1an2， 因此數(shù)列an是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列. an12(n1)2n1.,等比數(shù)列bn中，b1a11，b2a23，q3.bn3n1.,又nN*，n1，或n2 故適合條件TnSn的所有n的值為1和2.,探究提高1.求解數(shù)列與函數(shù)交匯問(wèn)題注意兩點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視；(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件. 2.數(shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性
7、處理.,解(1)由已知Sn2ana1， 有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2). 從而a22a1，a32a24a1. 又因?yàn)閍1，a21，a3成等差數(shù)列，即a1a32(a21)， 所以a14a12(2a11)，解得a12， 所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an2n.,即2n1 000，又nN*， 因?yàn)?9512<1 000<1 024210，所以n10，,1.錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn),(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)得到的數(shù)列anbn求和. (2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn的公比.把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減.整理結(jié)果形式.,2.裂項(xiàng)求和的常見(jiàn)技巧,3.數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題,(1)如果是證明不等式，常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問(wèn)題，同時(shí)要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用； (2)如果是解不等式，注意因式分解的應(yīng)用.,
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