（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 不等式、推理與證明 7.5 數(shù)學歸納法課件.ppt

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1、7.5數(shù)學歸納法,知識梳理,雙擊自測,1.數(shù)學歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法. 2.數(shù)學歸納法的適用范圍 數(shù)學歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題,證明時,它的兩個步驟(歸納奠基與歸納遞推)缺一不可.,,,知識梳理,雙擊自測,3.數(shù)學歸納法的框圖表示,知識梳理,雙擊自測,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.用

2、數(shù)學歸納法證明1+2+22++2n-1=2n-1(nN*)的過程中,第二步假設(shè)當n=k(kN*)時等式成立,則當n=k+1時應得到() A.1+2+22++2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22++2k+2k+1=2k-1-1+2k+1 C.1+2+22++2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22++2k-1+2k=2k-1+2k,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.(教材改編)在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n-3)條時,第一步檢驗n等于() A.1B.2C.3D.4,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,n=k+1不等式左邊增添的項數(shù)是() A.k B.2k-1

3、 C.2k D.2k+1,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.用數(shù)學歸納法證明1+2+3++n2= ,則當n=k+1時,左端應在n=k的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.數(shù)學歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題.證明時步驟(1)和(2)缺一不可,步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ),步驟(2)是遞推的依據(jù). 2.當?shù)?1)步驗算n=n0時,要觀察表達式中能起通項作用的項,把n=n0代入這個通項,就能找到命題的表達式. 3.在用數(shù)學歸納法證明時,第(1)步驗算n=n0的n0不一定為1,而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值,第(2)步證明當n=k+1時命題也成立,

4、n的取值不一定就是k+1,而是滿足題意的比k大的下一個值.,考點一,考點二,考點三,用數(shù)學歸納法證明等式(考點難度) 【例1】 求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).,證明:(1)當n=1時,等式左邊=2,右邊=2,等式成立. (2)假設(shè)當n=k(kN*)時等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 則當n=k+1時, 左邊=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k135(2k-1)(2k+1)2 =2k+1135(2k-1)(2k+1), 即當n=k+1時等式

5、也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知等式對所有nN*都成立.,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.用數(shù)學歸納法證明等式問題,要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少. 2.由當n=k時等式成立,推出當n=k+1時等式成立.一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標;二要充分利用歸納假設(shè),進行合理變形,正確寫出證明過程. 3.變形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆項;(3)配方法.,考點一,考點二,考點三,對點訓練(2018浙江舟山模擬)已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3++an(x-1)n(n2,nN*). (1)當n=5時,求

6、a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.,(1)解:當n=5時, 原等式變?yōu)?x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5. 令x=2,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,用數(shù)學歸納法證明不等式(考點難度),證明:當n=1時,左邊=1,右邊=2. 左邊<右邊,不等式成立.,這就是說,當n=k+1時,不等式成立. 由可知,原不等式對任意自然數(shù)n都成立.,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,若應用其他辦法不容易證,則可考慮應用數(shù)學歸納法.

7、 2.用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證當n=k+1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.,考點一,考點二,考點三,對點訓練(2017浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知對任意的nN*,點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上. (1)求r的值; (2)當b=2時,記bn=2(log2an+1)(nN*).,解:由題意,得Sn=bn+r, 當n2時,Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于b0,且b1,所以n2時,數(shù)列an是以b為公比的等比數(shù)列.,

8、考點一,考點二,考點三,證明:由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*),,考點一,考點二,考點三,歸納猜想證明(考點難度),【例3】 已知nN*, Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1). (1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3; (2)猜想Sn與Tn的關(guān)系,并用數(shù)學歸納法證明.,解:(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120. (2)猜想:Sn=Tn(nN*). 證明:當n=1時,S1=T1; 假設(shè)當n=k(k1且kN*)時,Sk=Tk, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1), 則當n=k+1時,,考點一,考點二,考點

9、三,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2),=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1, 即n=k+1時也成立. 由可知nN*,Sn=Tn成立.,方法總結(jié)“歸納猜想證明”的模式,是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式.其一般思路是:通過觀察有限個特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應用.,考點一,考點二,考點三,由x2x4x6猜想:數(shù)列x2n是遞減數(shù)列. 下面用數(shù)學歸納法證明: 當n=1時,已證命題

10、成立. 假設(shè)當n=k(k1,kN*)時命題成立, 即x2kx2k+2,易知xk0,那么,考點一,考點二,考點三,即x2(k+1)x2(k+1)+2. 也就是說,當n=k+1時命題也成立. 結(jié)合知,對nN*命題成立.,難點突破利用數(shù)學歸納法結(jié)合放縮法證明不等式問題 數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法,只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題.當要證明的關(guān)系式等號或不等號有一邊是一個常數(shù)時,數(shù)學歸納法常常需要結(jié)合放縮法才能有效地解決問題.,當nN時,TnM. 對任意M(0,6),總存在正整數(shù)N,使得nN時,TnM.,答題指導數(shù)學歸納法證明過程的表述嚴格而且規(guī)范,兩個步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù).第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,當n=k+1時一定要運用它,否則就不是數(shù)學歸納法.第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”.當式子一邊為常數(shù)時,要通過放縮法把數(shù)學歸納法的結(jié)果和常數(shù)建立聯(lián)系. 高分策略應用數(shù)學歸納法時,以下幾點容易造成失分: (1)把初始值搞錯; (2)在推證當n=k+1時,沒有用上歸納假設(shè); (3)對項數(shù)估算的錯誤,特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系時,項數(shù)發(fā)生的變化易被弄錯.,