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1、7.1二元一次不等式(組) 與簡單的線性規(guī)劃問題,知識梳理,考點自診,1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域邊界直線.當我們在平面直角坐標系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應邊界直線,則把邊界直線畫成. (2)因為把直線Ax+By+C=0同一側的所有點(x,y)代入Ax+By+C,所得的符號都,所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0,y0)作為測試點,由Ax0+By0+C的即可判斷Ax+By+C0表示的是直線Ax+By+C=0哪一側的平面
2、區(qū)域. (3)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.,平面區(qū)域,不包括,包括,實線,相同,符號,知識梳理,考點自診,2.線性規(guī)劃的相關概念,線性約束條件,可行解,最大值 最小值,最大值,最小值,知識梳理,考點自診,1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域,2.點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直線Ax+By+C=0的兩側的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,知識梳理,考點自診,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)不等式x-y-10表示的平面區(qū)域一定在直線x-y-1=0的上方.
3、 () (2)兩點(x1,y1),(x2,y2)在直線Ax+By+C=0異側的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0. () (3)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域. () (4)線性目標函數取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上. () (5)在目標函數z=ax+by(b0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. (),,,,,,知識梳理,考點自診,C,解析:用特殊點代入,比如(0,0),容易判斷為C.,知識梳理,考點自診,D,解析:畫出可行域如圖所示,可知當目標函數z=3x+y經過點A(4,0)時z取到最大值,最大值zmax=34+0=1
4、2.故選D.,知識梳理,考點自診,A,解析:由題知可行域如圖所示,,知識梳理,考點自診,1,解析:作可行域如圖陰影部分所示,A(0,1),z=x2+y2表示可行域內點P到坐標原點距離的平方,由圖可得z=x2+y2最小值為OA2=1.,考點1,考點2,考點3,二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,B,m2,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,易知直線x=1與x-2y+1=0的交點坐標為A(1,1), 不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形, 則點A位于直線x+y=m下方, 據此有1+12.,考點1,考點2,考點3,思考確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是什么?求平面區(qū)域的面積的
5、技巧是什么? 思路分析(1)先作可行域,再根據三角形面積公式求結果.(2)首先確定 所表示的平面區(qū)域,然后結合點與直線的位置關系整理計算即可求得最終結果.,考點1,考點2,考點3,解題心得(1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法: “直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式(組).若滿足不等式(組),則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域;否則就表示直線與特殊點異側的那部分區(qū)域.當不等式中帶等號時,邊界畫為實線,不帶等號時,邊界應畫為虛線,特殊點常取原點. 也常利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域:對于Ax+By+C
6、0或Ax+By+C0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的上方;()當B(Ax+By+C)<0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的下方.,考點1,考點2,考點3,(2)求平面區(qū)域的面積的方法: 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題,從而再作出平面區(qū)域; 對平面區(qū)域進行分析,若為三角形應確定底與高;若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解;若為不規(guī)則四邊形,則可分割成幾個三角形分別求解再求和. 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題,也應作出平面圖形,利用數形結合的方法去求解.,考點1,考點2,考點3,C,A,考點1,考點2,考點3,表示
7、的可行域有交點, 畫出可行域M如圖所示,,考點1,考點2,考點3,求得A(2,10),C(3,8),B(1,9), 由圖可知,欲滿足條件必有a1且圖像在過B,C兩點的圖像之間, 當圖像過B點時,a1=9,a=9, 當圖像過C點時,a3=8,a=2, 故a的取值范圍是2,9,故選C. (2)由于x=1與x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0與kx-y=0垂直或x=1與kx-y=0垂直. 當x+y-4=0與kx-y=0垂直時,k=1,檢驗知三角形區(qū)域面積為1,即符合要求. 當x=1與kx-y=0垂直時,k=0,檢驗不符合要求.故選A.,考點1,考點2,考點3,求目標函數的最值問題(多考
8、向) 考向1求線性目標函數的最值,6,考點1,考點2,考點3,思考求線性目標函數的最值的注意事項是什么?,考點1,考點2,考點3,考向2求非線性目標函數的最值,C,C,考點1,考點2,考點3,解析: (1)畫出不等式表示的可行域,如圖陰影三角形所示,由題意得A(2,2),B(2,-4).,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考如何利用可行域求非線性目標函數最值?,考點1,考點2,考點3,考向3求參數值或取值范圍,B,B,考點1,考點2,考點3,解析: (1)由z=ax+y得y=-ax+z,如圖,作出不等式組對應的平面區(qū)域(陰影部分),則A(1,1),B(2,4). 由題意和圖可
9、知,直線z=ax+y過點B時, 取得最大值為2a+4,過點A時,取得最小值為a+1, 若a=0,則y=z,此時滿足條件, 若a0,k=-a0,則目標函數的斜率滿足-akAC=2,即-2a<0. 綜上,-2a1.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考如何利用可行域及最優(yōu)解求參數及其取值范圍? 思路分析(1)作出可行域,利用目標函數的幾何意義求得最值所在位置,轉動直線討論斜率-a適合的情況.(2)首先繪制出可行域,然后結合目標函數的幾何意義得到關于m的方程,解方程即可求得實數m的值.,考點1,考點2,考點3,考向4最優(yōu)解不唯一的條件下求參數的值,-1或2,解析:目標函數z=y-ax
10、可化為y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,則當l0AB或l0AC時符合題意,故a=-1或a=2.,考點1,考點2,考點3,思考最優(yōu)解有無數多個時,目標函數有什么特點? 思路分析由于線性目標函數z=y-ax的最優(yōu)解有無數多個,則取最優(yōu)解的直線與邊界重合. 解題心得1.利用可行域求線性目標函數最值的方法:利用約束條件作出可行域,根據目標函數找到最優(yōu)解時的點,解得點的坐標代入求解即可. 2.利用可行域及最優(yōu)解求參數及其范圍的方法:(1)若限制條件中含參數,依據參數的不同范圍將各種情況下的可行域畫出來,尋求最優(yōu)解,確定參數的值;(2)若線性目標函數中含有參數,可對線性目標函數的斜率分類討論,以此
11、來確定線性目標函數經過哪個頂點取得最值,從而求出參數的值;也可以直接求出線性目標函數經過各頂點時對應的參數的值,然后進行檢驗,找出符合題意的參數值.,考點1,考點2,考點3,3.利用可行域求非線性目標函數最值的方法:畫出可行域,分析目標函數的幾何意義是斜率問題還是距離問題,依據幾何意義可求得最值. 4.需要注意的是:(1)準確無誤地作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)畫目標函數所對應的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;(3)一般情況下,目標函數的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得;(4)注意b的正負對最優(yōu)解所在位置的影響.,考點1,考點2,考點
12、3,B,B,考點1,考點2,考點3,A,D,考點1,考點2,考點3,C,考點1,考點2,考點3,解析: (1)不等式組對應的可行域如圖所示: 因為z=2x+y,所以y=-2x+z, 所以當直線y=-2x+z經過點A(1,4)時,直線的縱截距z最小, 所以z的最小值為21+4=6.故選B.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(3)作出不等式組對應的平面區(qū)域,x2+(y-3)2的幾何意義是區(qū)域內的點到點D(0,3)的距離的平方,,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,線性規(guī)劃的實際應用 例6(2016全國1,文16)某高科
13、技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2 100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元.,216 000,考點1,考點2,考點3,解析:設生產產品A x件,生產產品B y件,,目標函數z=2 100 x+900y,畫出約束條件對應的可行域(如圖陰影部分中的整數點所示),,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考
14、點3,思考利用線性規(guī)劃解決實際應用問題的步驟是什么?其注意事項是什么? 解題心得1.利用線性規(guī)劃求解實際問題的一般步驟 (1)認真分析并掌握實際問題的背景,收集有關數據; (2)將影響該問題的各項主要因素作為決策量,設未知量; (3)根據問題的特點,寫出約束條件; (4)根據問題的特點,寫出目標函數,并求出最優(yōu)解或其他要求的解. 2.求解線性規(guī)劃應用題的三個注意點 (1)明確問題中的所有約束條件,并根據題意判斷約束條件是否能夠取到等號. (2)注意結合實際問題的實際意義,判斷所設未知數x,y的取值范圍,特別注意分析x,y是否是整數、是否是非負數等. (3)正確地寫出目標函數,一般地,目標函數是
15、等式的形式.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為() A.31 200元B.36 000元 C.36 800元D.38 400元,C,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直線Ax+By+C=0的兩側的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,考點1,考點2,考點3,3.線性目標函數最值問題的常見類型及解題策
16、略: (1)求線性目標函數的最值.線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,因此對于一般的線性規(guī)劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數求出相應的數值,從而確定目標函數的最值. (2)由目標函數的最值求參數.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種:一是把參數當成常數用,根據線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標函數確定最值,通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍;二是先分離含有參數的式子,通過觀察的方法確定含參數的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數的值.,考點1,考點2,考點3,思想方法轉化與化歸思想在線性規(guī)劃中的應用 轉化與化歸思想的實質
17、是揭示聯(lián)系,實現(xiàn)轉化.除極簡單的數學問題外,每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現(xiàn)的.從這個意義上講,解決數學問題就是從未知向已知轉化的.化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想,解題的過程實際上就是一步步轉化的過程.數學中的轉化比比皆是,如未知向已知轉化,復雜問題向簡單問題轉化,新知識向舊知識的轉化,之間的轉化,數與形的轉化,空間向平面的轉化,高維向低維轉化,多元向一元轉化,高次向低次轉化,超越式向代數式的轉化,函數與方程的轉化等,都是轉化思想的體現(xiàn). 轉化有等價轉化和非等價轉化.等價轉化前后是充要條件,所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下,進行不等價轉化,應附加限制條件,以保持等價性,或對所得結論進行必要的驗證.,思路分析作出可行域對f(x,y)變形,轉化為與斜率有關的式子數形結合,求得f(x,y)的取值范圍,解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,,思路分析,答案:21,解析:一作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.,解析:二由圖可知,陰影區(qū)域內的點都在直線x+2y-4=0的上方,顯然此時有x+2y-40,于是目標函數等價于z=x+2y-4,即轉化為簡單的線性規(guī)劃問題,顯然當直線經過點B時,目標函數取得最大值,zmax=21.,
2020版高考數學一輪復習 第七章 不等式、推理與證明 7.1 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件 文 北師大版.ppt
