2022年《角的平分線的性質(zhì)》教案 (省一等獎)

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1、 教學(xué)目標(biāo)  12.3 知識與技能 過程與方法  角的平分線的性質(zhì) 1.能夠利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)和 判定． 2.會用尺規(guī)作角的平分線． 3.能利用角平分線性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理，解決一 些實際問題． 經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生 的推理證明意識和能力． 在探討作角的平分線的方法及角的平分線的性 情感態(tài)度價值觀 質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強(qiáng)解 決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，逐步 培養(yǎng)學(xué)生的理性精神 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)準(zhǔn)備 角平分線畫法、性質(zhì)和判定． 角的平分線的性質(zhì)的探究 平

2、分角的儀器(自制)三角尺、多媒體課件等． 創(chuàng)設(shè)情境， 導(dǎo)入新課 教學(xué)過程〔師生活動〕 1.在紙上任意畫一個角，用剪刀剪下，用折紙的方 法，如何確定角的平分線？ 2. 有 一 個 簡 易 平 分 角 的 儀 器 〔 如 圖 〕 ， 其 中 AB=AD,BC=DC,將 A 點(diǎn)放角的頂點(diǎn)，AB 和 AD 沿 AC 畫 一條射線 AE,AE 就是∠BAD 的平分線，為什么？ 設(shè)計理念 復(fù)習(xí)舊知識，回 憶角的平分線的定義 讓學(xué)生體驗利用證明 三角形全等的方法來 對畫法做出說明． 要求學(xué)生能說明所作 的射線是角平分線的 理由． 探究 1. (1)從上面對平分角的儀器

3、的探究中，可以得出作 角的平分線的方法。什么？求作什么？ 【：∠AOB 求作：∠AOB 的平分線】  從實驗中抽象 出幾何模型 , 明確幾 探索新知， 建立模型 何作圖的根本思路和 方法. (2) 把簡易平分角的儀器放在角的兩邊 . 且平分角 的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫? 【以點(diǎn) O 為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交 OA 于點(diǎn) M，交 OB 于點(diǎn) N.】 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用 (3) 簡易平分角的儀器 BC=DC,從幾何角度如何畫 直尺和圓規(guī)作角的平 【分別以點(diǎn) M，N 為圓心，大于二分之一 MN 分線的能力. 長為半徑畫弧，兩弧在角的內(nèi)部交于

4、點(diǎn) C. 讓學(xué)生體驗成 功 (4)OC 與簡易平分角的儀器中,AE 是同一條射線嗎? 【是】 (5)你能說明 OC 是∠AOB 的平分線嗎? 【提示：利用全等的性質(zhì)】 探究 2. (1)在已畫好的角的平分線 OC 上任意找一點(diǎn) P,過 P 點(diǎn)分別作 OA、OB 的垂線交 OA、O 于 M、N, PM、PN 的長度是∠AOB 的平分線上一點(diǎn)到∠AOB 兩邊的距 離。量出它們的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？ A M  P  C  在已有成功經(jīng)驗的根 底上，繼續(xù)探究與應(yīng) O N B 用，提升分析解決問 題的能力并增進(jìn)運(yùn)用 【多媒

5、體課件動態(tài)演示 ( 可用“幾何畫板〞制 數(shù)學(xué)的情感體驗． 作)，當(dāng)拖動∠AOB 平分線 OC 上的點(diǎn) P 時，觀察 PM、 PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的變化規(guī)律. 探究結(jié)果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且 PM＝ PN】 (2)你能歸納角的平分線的性質(zhì)嗎? 【角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等】 (3)你能用三角形全等證明這個性質(zhì)嗎? 探究 3. 那么假設(shè)一個點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這個點(diǎn) 是否在這個角的平分線上呢？ 如圖，PD⊥OA,PE⊥OB,且 PD =PE，那么 P 點(diǎn)在 ∠AOB 的平分線上嗎？為什么？ A D

6、P  在說理的過程中加深 對角平分線性質(zhì)、判 定定理的理解． O  B E 歸納： 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的 平分線上． 思考： 如以下圖，要在 S 區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到 公路、鐵路距離相等，?離公路與鐵路交叉處 500m， 這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處〔在圖上標(biāo)出它的位置， 比例尺為 1：20000〕？ 開展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的 意識與能力 解析、應(yīng)用 與拓展  問題 1．集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線 性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題？ 2．比例尺為 1：20000 是什么意思？

7、 結(jié)論： 1．應(yīng)該是用第二個性質(zhì)．?這個集貿(mào)市場應(yīng)該建在 公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的 頂點(diǎn) 500 米處． 2．圖中 1cm?表示實際距離 200m 的意思． 作圖如下： 第一步：作∠AOB 的平分線 OP． 只要作法合理，均應(yīng) 給予肯定． 第二步：在射線 OP 上截取 OC=，確定 C 點(diǎn)，C 點(diǎn)就 是集貿(mào)市場所建地了． 例題講解： 如圖，△ABC 的角平分線 BM、CN 相交于點(diǎn) P． 求證：點(diǎn) P 到三邊 AB、BC、CA 的距離相等． 小結(jié)提高 布置作業(yè)  分析：點(diǎn) P 到

8、AB、BC、CA 的垂線段 PD、PE、PF 的 長就是 P 點(diǎn)到三邊的距離， ? 也就是說要證： PD=PE=PF．而 BM、CN 分別是∠B、∠C 的平分線，? 根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個 問題． 穩(wěn)固練習(xí)教材 50 頁練習(xí) 1,2 小結(jié)與作業(yè) 我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線的兩個性質(zhì)： ①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等； ②角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分 線上．它們具有互逆性． 與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題，可 以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角 形全等來得出線段相等． 1．必做題：

9、 2．選做題：  通過小結(jié)歸納，完善 學(xué)生對知識的梳理． 此題是對所學(xué)內(nèi)容的 復(fù)習(xí)，又為下節(jié)課學(xué) 習(xí)做準(zhǔn)備． [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問題時，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的

10、形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。 24.1 圓 (第 3 課時) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對 的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的 應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的

11、圓周角相等，?都等于這條 弧所對的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對 的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予 邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決 一些實際問題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們口答下面兩個

12、問題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們 所對的其余各組量都分別相等． 剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的 位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討， 要研究，要解決的問題． 二、探索新知 問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè) E、F 是球門，?設(shè)球員們只 能在  EF  所在的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點(diǎn)．通過

13、觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、 ∠EBF、∠ECF 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問題． 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點(diǎn)評： 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．  B 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們

14、通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? 并且 A  D 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角  B O  C ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程． 1 2 老師

15、點(diǎn)評：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 1 2 老師點(diǎn)評：連結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠

16、AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半， 因此，同弧上的圓周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因為 AB=AC，所以這個△ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點(diǎn)

17、， ?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的對邊分別設(shè)為 a，b，c，⊙O 半徑為 R，求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a b c 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R，

18、=2R， =2R， sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c 即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三 2 R 2 R 2 R 角形中進(jìn)行． 證明：連接 CO 并延長交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師

19、點(diǎn)評〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所 對的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問題時，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。