人教版九下數(shù)學 中考專題復習 專題3 動態(tài)變化問題

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1、 人教版九下數(shù)學 中考專題復習 專題3 動態(tài)變化問題 1. 如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點 P 是 AD 邊上一個動點，連接 BP，作點 A 關于直線 BP 的對稱點 A1，連接 A1C，設 A1C 的中點為 Q，當點 P 從點 A 出發(fā)，沿邊 AD 運動到點 D 時停止運動，點 Q 的運動路徑長為 ． 2. 如圖所示，點 A 是雙曲線 y=2x 在第一象限分支上的一個動點，連接 AO 并延長交另一分支于點 B，以 AB 為邊作等邊三角形 ABC，點 C 在第二象限，隨著點 A 的運動，點 C 的位置也不斷變化，但點 C 始終在雙曲線 y=kx 上運

2、動，則 k 的值為 ?? A． -8 B． -6 C． -4 D． -2 3. 如圖所示，在平面直角坐標系中，點 O 為坐標原點，△ABC 是邊長為 16 的正三角形，點 A，B 分別在 x 軸的正半軸，y 軸的正半軸上滑動，點 C 在第一象限，連接 OC，則線段 OC 的長的最大值是 ． 4. 如圖所示，△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC 于點 E，D 是線段 BE 上的一個動點，則 CD+55BD 的最小值是 ?? A． 25 B． 45 C． 53 D． 10 5. 如圖所示，在 Rt△ABC 中，∠C

3、=90°，AB=10，AC=8，D 是 AC 的中點，點 E 在邊 AB 上，將 △ADE 沿 DE 翻折，使得點 A 落在點 A? 處，當 A?E⊥AB 時，則 A?A= ． 6. 如圖，在平面直角坐標系中，已知 A(-3,-2)，B(0,-2)，C(-3,0)，點 M 是線段 AB 上的一個動點，連接 CM，過點 M 作 MN⊥MC 交 y 軸于點 N 若點 M，N 在直線 y=kx+b 上，則 b 的最大值是 A． -78 B． -34 C． -1 D． 0 7. 如圖所示，AB 是 ⊙O 的直徑，M，N 是 AB（異于 A，B）上兩點，C

4、 是 MN 上一動點，∠ACB 的平分線交 ⊙O 于點 D，∠BAC 的平分線交 CD 于點 E．當點 C 從點 M 運動到點 N 時，C，E 兩點的運動路徑長的比值是 ?? A． 2 B． π2 C． 32 D． 52 8. 如圖，點 A 是雙曲線 y=-6x 在第二象限分支上的一個動點，連接 AO 并延長交另一分支于點 B，以 AB 為底作等腰 △ABC，且 ∠ACB=120°，點 C 在第一象限，隨著點 A 的運動，點 C 的位置也不斷變化，但點 C 始終在雙曲線 y=kx 上運動，則 k 的值為 ?? A．1 B．2 C．3 D．4 9. 如圖所

5、示，在矩形 ABCD 中，AB=4，∠DCA=30°，點 F 是對角線 AC 上的一個動點，連接 DF，以 DF 為斜邊作 ∠DFE=30° 的直角三角形 DEF，使點 E 和點 A 位于 DF 兩側，點 F 從點 A 到點 C 的運動過程中，點 E 的運動路徑長是 ． 10. 如圖所示，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，M 是 AD 邊的中點，N 是 AB 邊上的動點，將 △AMN 沿 MN 所在直線折疊，得到 △A?MN，連接 A?C，則 A?C 的最小值是 ． 11. 如圖所示，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=7，點 P 是直線 BC 上一動

6、點，若將 △ABP 沿 AP 折疊，使點 B 落在平面上的點 E 處，連接 AE，PE．若 P，E，D 三點在一條直線上，則 BP= ． 12. 如圖所示，平行四邊形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 為邊 CD 上的一動點，則 PB+32PD 的最小值等于 ． 13. (1) 如圖 1，等邊三角形 ABC 的邊長為 4，兩頂點 B，C 分別在 y 軸的正半軸和 x 軸的正半軸上運動，顯然，當 OA⊥BC 于點 D 時，頂點 A 到原點 O 的距離最大，試求出此時線段 OA 的長． (2) 如圖 2，在 Rt△ACB 中，∠A

7、CB=90°，AC=3，BC=4，兩頂點 B，C 分別在 x 軸的正半制和 y 軸的正半軸上運動，求出頂點 A 到原點 O 的最大距離． (3) 如圖 3，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 4，頂點 B，C 分別在 x 軸正半軸和 y 軸正半軸上運動，直接寫出頂點 E 到原點 O 的距離的最大值和最小值． 14. 我們定義：如圖 1，在 △ABC 中，把 AB 繞點 A 順時針旋轉 α0°<α<180° 得到 AB?，把 AC 繞點 A 逆時針旋轉 β 得到 AC?，連接 B?C?．當 α+β=180° 時，我們稱 △AB?C? 是 △ABC 的“旋補三角形”，△AB?C?

8、邊 B?C? 上的中線 AD 叫做 △ABC 的“旋補中線”，點 A 叫做“旋補中心”． (1) 特例感知： 在圖 2，圖 3 中，△AB?C? 是 △ABC 的“旋補三角形”．AD 是 △ABC 的“旋補中線”． ①如圖 2，當 △ABC 為等邊三角形時，AD 與 BC 的數(shù)量關系為 AD= BC； ②如圖 3，當 ∠BAC=90°，BC=8 時，則 AD 長為 ． (2) 猜想論證： 在圖 1 中，當 △ABC 為任意三角形時，猜想 AD 與 BC 的數(shù)量關系，并給予證明． (3) 拓展應用 如圖 4，在四邊形 ABCD，∠C=90°，∠D=1

9、50°，BC=12，CD=23，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點 P，使 △PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求 △PAB 的“旋補中線”長；若不存在，說明理由． 答案 1. 【答案】 3π3 2. 【答案】B 【解析】 ∵ 雙曲線 y=2x 關于原點對稱， ∴ 點 A 與點 B 關于原點對稱， ∴OA=OB． 連接 OC，如圖所示． ∵△ABC 是等邊三角形，OA=OB， ∴OC⊥AB，∠BAC=60°， ∴tan∠OAC=OCOA=3， ∴OC=3OA． 過點 A 作 AE⊥x 軸，垂足為 E，過點 C 作 CF⊥

10、x 軸，垂足為 F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA， ∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF， ∴△AEO∽△OFC， ∴AEOF=OECF=OAOC． ∵OC=3OA， ∴OF=3AE，F(xiàn)C=3EO． 設點 A 的坐標為 b,a， ∵ 點 A 在第一象限， ∴AE=a，OE=b． ∴OF=3AE=3a，F(xiàn)C=3EO=3b． ∵ 點 A 在雙曲線 y=2x 上， ∴ab=2． ∴FC?OF=3b?3a=3ab=6． 設點 C 的坐標為 x,y， ∵ 點 C 在第二象限， ∴FC=y，OF=-x， ∴FC

11、?OF=y?-x=-xy=6． ∴xy=-6． ∵ 點 C 在雙曲線 y=kx 上， ∴k=xy=-6． 3. 【答案】 8+83 【解析】取 AB 的中點 D，連接 OD，CD，如圖所示． ∵△AOB 為直角三角形，D 為 AB 的中點， ∴OD=12AB=8． ∵△ABC 是邊長為 16 的正三角形，D 為 AB 的中點， ∴CD=32AB=83． 在 △OCD 中，OC

12、B 于 M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB=90°． ∵tanA=BEAE=2， 設 AE=a，BE=2a，則有 100=a2+4a2， ∴a2=20， ∴a=25?或?-25（舍去）， ∴BE=2a=45． ∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM=BE=45（等腰三角形兩腰上的高相等）． ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA， ∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55， ∴DH=55BD， ∴CD+55BD=CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+55BD≥45， ∴CD+55BD 的最小值為 45． 5

13、. 【答案】 2825 或 425 【解析】如圖 1 所示，作 DF⊥AB 于 F，連接 AA?． 在 Rt△ACB 中，BC=AB2-AC2=6， ∵∠DAF=∠BAC，∠AFD=∠C=90°， ∴△AFD∽△ACB， ∴DFBC=ADAB=AFAC， ∴DF6=410=AF8， ∴DF=125，AF=165． ∵A?E⊥AB， ∴∠AEA?=90°． 由翻折不變性可知 ∠AED=45°， ∴EF=DF=125， ∴AE=A?E=125+165=285， ∴AA?=2825． 如圖 2 所示，作 DF⊥AB 于 F， 當 EA?⊥AB 時

14、，同法可得 AE=165-125=45，AA?=2AE=425． 6. 【答案】A 7. 【答案】A 【解析】如圖所示，連接 EB． 設 OA=r． ∵AB 是直徑， ∴∠ACB=90°． ∵E 是 △ACB 的內(nèi)心， ∴∠AEB=135°． 作等腰直角三角形 ADB，AD=DB，∠ADB=90°， 以 D 為圓心，DA 為半徑的弧與 DM 交于點 G，與 DN 交于點 F， 則點 E 在以 D 為圓心 DA 為半徑的弧上運動， 運動軌跡是 GF，點 C 的運動軌跡是 MN， ∵∠MON=2∠GDF，設 ∠GDF=α，則 ∠MON=2α，

15、 ∴MN的長GF的長=2α?π?r180α?π?2r180=2． 8. 【答案】B 9. 【答案】 433 【解析】如圖所示，E 的運動路徑長是線段 EE? 的長． ∵AB=4，∠DCA=30°， ∴BC=433． 當 F 與 A 點重合時， 在 Rt△ADE? 中，AD=433，∠DAE?=30°，∠ADE?=60°， ∴DE?=233，∠CDE?=30°． 當 F 與 C 重合時，∠EDC=60°， ∴∠EDE?=90°，∠DEE?=30°，在 Rt△DEE? 中，EE?=433． 10. 【答案】 10-1 【解析】 ∵ 四邊

16、形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=2． ∵M 是 AD 邊的中點， ∴AM=MD=1． ∵ 將 △AMN 沿 MN 所在直線折疊， ∴AM=A?M=1， ∴ 點 A? 在以點 M 為圓心，AM 為半徑的圓上， ∴ 如圖所示，當點 A? 在線段 MC 上時，A?C 有最小值． ∵MC=MD2+CD2=10， ∴A?C 的最小值 =MC-MA?=10-1． 11. 【答案】 7+26 或 7-26 【解析】①如圖（1）所示，當點 P 在線段 BC 上， 若 P，E，D 三點在一條直線上， 由折疊得 AB=AE=5，BP=P

17、E，∠B=∠AEP=90°． 在 Rt△ADE 中，由勾股定理得 DE=AD2-AE2=72-52=26． 設 BP=x，則 PE=x，PC=7-x． 在 Rt△DCP 中，由勾股定理得 26+x2=7-x2+52， 解得 x=7-26，即 BP=7-26． ②如圖（2）所示，當點 P 在 BC 的延長線上時， 由折疊得 AB=AE=5，BP=PE，∠B=∠AEP=90°，易證 △ADE≌△DPC， ∴AD=DP=7． 在 Rt△DCP 中，由勾股定理得 PC=72-52=26， ∴BP=BC+PC=7+26． 12. 【答案】 33 【解析】如圖所示，過

18、點 P 作 PE⊥AD，交 AD 的延長線于點 E． ∵AB∥CD， ∴∠EDP=∠DAB=60°， ∴sin∠EDP=EPDP， ∴EP=32PD， ∴PB+32PD=PB+PE， ∴ 當 B，P，E 三點共線且 BE⊥AD 時，PB+PE 有最小值，即最小值為 BE 的長． ∵sinA=BEAB=32， ∴BE=33． 13. 【答案】 (1) 如圖 1 中， ∵△ABC 是等邊三角形， ∴AB=BC=AC=4，∠ACD=60°， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD，AD=AC?sin60°=23， ∴OD=12BC=2，

19、∴OA=2+23． (2) 如圖 2? 中， 取 BC 的中點 K，連接 OK，AK，OA． 在 Rt△BOC 中，OK=12BC=2， 在 Rt△ACK 中，AK=32+22=13， ∵OA≤AK+OK， ∴O，K，A 共線時，OA 的值最大，最大值為 2+13． (3) 最大值為 2+213，最小值為 213． 【解析】 (3) 如圖 3? 中， 取 BC 的中點 K，連接 OK，EK，OE． 則 OK=12BC=2，EC=43，∠ECK=90°， 在 Rt△ECK 中，EK=22+432=213， ∵OE≤OK+EK， ∴O，K，E 共線時，OE

20、 的值最大，最大值為 2+213． 當點 C 與 O 重合時，OE 的值最小，最小值為 213． 14. 【答案】 (1) ① 12；② 4 (2) 猜想：AD=12BC． 證明：如圖 1，延長 AD 至 E，使 DE=AD． ∵AD 是 △ABC 的“旋補中線”， ∴B?D=C?D． ∴ 四邊形 AB?EC? 是平行四邊形． ∴EC?∥B?A，EC?=B?A． ∴∠AC?E+∠B?AC?=180°． 由定義可知 ∠B?AC?+∠BAC=180°，B?A=BA，AC=AC?， ∴∠AC?E=∠BAC，EC?=BA． 在 △AC?E 和 △CA

21、B 中， EC?=BA,∠AC?E=∠CAB,AC?=AC, ∴△AC?E≌△CABSAS． ∴AE=BC． ∵AD=12AE， ∴AD=12BC． (3) 存在． 如圖 4，以 AD 為邊向四邊形 ABCD 的內(nèi)部作等邊 △PAD，連接 PB，PC，延長 BP 交 AD 于點 F， 則有：∠ADP=∠APD=60°，PA=PD=AD=6． ∵∠CDA=150°， ∴∠CDP=90°． 過點 P 作 PG⊥BC 于點 G， 易知四邊形 PDGE 為矩形． ∴CG=PD=6． ∴tan∠1=CDPD=236=33． ∴∠1=30°，∠2=60

22、°． ∴BG=12-6=6=CG． 又 PG⊥BC， ∴PC=PB，∠3=∠2=60°． ∴∠APD+∠BPC=60°+120°=180°． 又 PA=PD，PB=PC， ∴△PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”． ∵∠3=60°，∠DPG=90°， ∴∠DPF=30°． ∴BF⊥AD，AF=12AD=3，PF=33． 在 Rt△PBG 中， PB=PG2+BG2=CD2+BG2=232+62=43． ∴BF=PB+PF=73． 在 Rt△ABF 中，AB=732+32=239． ∵△PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”． ∴△PAB 的“旋補中線”長為 12AB=39．