2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(五十二) 第八章 第六節(jié) 拋 物 線 文

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1、課時提升作業(yè)(五十二) 第八章 第六節(jié) 拋 物 線 一、選擇題 1.(2013·宜春模擬)動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,則動點(diǎn)P的軌跡方程為　(　　) (A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y 2.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)在圓x2+y2+2x-3=0上,則p=　(　　) (A) (B)1 (C)2 (D)3 3.拋物線y=-2x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是　(　　) (A) (B) (C)- (D)- 4.正三角形的一個頂點(diǎn)位

2、于原點(diǎn),另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=4x上,則這個正三角形的邊長為　(　　) (A)4 (B)8 (C)8 (D)16 5.(2013·九江模擬)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為　 (　　) (A)x=1 (B)x=-1 (C)x=2 (D)x=-2 6.(2013·銅陵模擬)直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P,Q,則梯形APQB的面積為　(　　) (A)48 (B)56 (C)

3、64 (D)72 7.(2013·西安模擬)若雙曲線-=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線x=y2的焦點(diǎn)分成3∶2的兩段,則此雙曲線的離心率為　(　　) (A) (B) (C) (D) 8.(能力挑戰(zhàn)題)若已知點(diǎn)Q(4,0)和拋物線y=x2+2上一動點(diǎn)P(x,y),則y+|PQ|最小值為　(　　) (A)2+2 (B)11 (C)1+2 (D)6 二、填空題 9.以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為　　　. 10.(2013·巢湖模擬)拋物線y=x2的焦點(diǎn)與雙曲線-=

4、1的上焦點(diǎn)重合,則m=　　　　. 11.(2013·南昌模擬)已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,a),則當(dāng)|a|>4時,|PA|+|PM|的最小值是　　　　. 三、解答題 12.已知圓心為P的動圓與直線y=-2相切,且與定圓x2+(y-1)2=1內(nèi)切,記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程. (2)設(shè)斜率為2的直線與曲線E相切,求此時直線到原點(diǎn)的距離. 13.(2013·寶雞模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)A(1,-2). (1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程. (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線

5、l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. 14.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,曲線C1是以原點(diǎn)O為中心,F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線C2是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn),F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A,B是曲線C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=. (1)求曲線C1和C2的方程. (2)設(shè)點(diǎn)C,D是曲線C2所在拋物線上的兩點(diǎn)(如圖).設(shè)直線OC的斜率為k1,直線OD的斜率為k2,且k1+k2=,證明:直線CD過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 答案解析 1.【解析】選D.

6、由已知得,動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與它到直線l:y=-2的距離相等,根據(jù)拋物線的定義得,該軌跡為以A(0,2)為焦點(diǎn),y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且=2,∴p=4.又焦點(diǎn)在y軸上,開口向上,所以所求方程為:x2=8y. 2.【解析】選C.由已知(,0)在圓x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0, 即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去). 3.【解析】選D.由拋物線y=-2x2得x2=-y, 所以其焦點(diǎn)為F(0,-), 設(shè)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為y0, 由拋物線定義得-y0=1,得y0=-. 【方法技巧】求解拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題的技巧 拋物線上的

7、點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化:(1)若求點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,則可聯(lián)想點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;(2)若求點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,則經(jīng)常聯(lián)想點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.解題時一定要注意. 4.【解析】選B.設(shè)其中一個頂點(diǎn)為(x,2),∵是正三角形,∴=tan 30°=,即=, ∴x=12. ∴除原點(diǎn)外的另外兩個頂點(diǎn)是(12,4)與(12,-4), ∴這個正三角形的邊長為8. 5.【解析】選B.方法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知直線AB的方程為:y=x-,與y2=2px聯(lián)立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p, 由題意知:y1+y2=4, ∴p=2,∴拋物線的方程

8、為y2=4x, 其準(zhǔn)線方程為x=-1,故選B. 方法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意得y1+y2=4,=2px1,=2px2, 兩式相減得:kAB====1,∴p=2, ∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1. 6.【解析】選A.由題不妨設(shè)A在第一象限,聯(lián)立y=x-3和y2=4x可得A(9,6), B(1,-2),而準(zhǔn)線方程是 x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8, 故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48. 7.【解析】選D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0), 拋物線x=y2,即y2=2bx的焦點(diǎn)F(,0), 依題意=.

9、 即=,得:5b=2c?25b2=4c2, 又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2, 解得c=a. 故雙曲線的離心率為=. 8.【解析】選D.拋物線y=+2的準(zhǔn)線是y=1,焦點(diǎn)F(0,3).用拋物線的定義:設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d, 則y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,(當(dāng)且僅當(dāng)F,Q,P共線時取等號) 故y+|PQ|的最小值是6. 9.【解析】拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為(0,4),準(zhǔn)線方程為y=-4,故圓的圓心為(0,4),又圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以圓的半徑r=4-(-4)=8,所以圓的方程為x2+(y-4)2=64.

10、答案:x2+(y-4)2=64 10.【解析】因為拋物線y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),又因為雙曲線-=1的上焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),依題意有4=,解得m=13. 答案:13 【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)y=x2的焦點(diǎn)為(0,)的錯誤,原因是對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程記憶不準(zhǔn)確. 11.【解析】由y2=4x得,拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1, 由|a|>4知點(diǎn)A(4,a)在拋物線的外部, 要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,這只需點(diǎn)A,P,F三點(diǎn)共線即可,此時:(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值為(|PA|+|

11、PF|)min-1=-1. 答案:-1 12.【解析】(1)由題意,得點(diǎn)P到直線y=-1和點(diǎn)(0,1)距離相等, ∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn),以直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線, ∴曲線E的方程是x2=4y. (2)設(shè)斜率為2的直線方程為y=2x+m, 由消去y,得x2-8x-4m=0, 由直線與曲線E相切,得Δ=(-8)2+16m=0, 得m=-8, ∴直線方程為y=2x-8,即2x-y-8=0. ∴原點(diǎn)到直線的距離為d==. 13.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1, 所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線

12、方程為x=-1. (2)存在.假設(shè)存在符合題意的直線l, 其方程為y=-2x+t. 由得y2+2y-2t=0. ∵直線l與拋物線C有公共點(diǎn), ∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 由直線OA與l的距離d=,可得=, 解得t=±1. ∵-1?[-,+∞),1∈[-,+∞). ∴符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0. 14.【解析】(1)設(shè)A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲線C1所在橢圓的長軸長為2a,則2a=|AF1|+|AF2|=6. 又由已知及圓錐曲線的定義得: (xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=, 得:(xA-c)2=.又∵∠AF2F1為鈍角, ∴xA-c=,故xA=,c=1, 即曲線C1的方程為+=1(-3≤x≤), 曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤). (2)設(shè)直線OC的方程為:y=k1x, 由 得(k1x)2-4x=0,即C(,), 同理得:D(,), ∴直線CD的方程為:y-=(x-),即y=x+2, 當(dāng)x=0時,恒有y=2,即直線CD過定點(diǎn)(0,2).