浙江專版高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)知能專練二十概率隨機變量及其分布

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1、知能專練（二十） 概率、隨機變量及其分布 一、選擇題 1．(2017·寧波模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(　　) A．0.7　　　　　　　　 　B．0.2 C．0.1 D．0.3 解析：選D　∵“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.選D. 2．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃

2、投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：選A　3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A. 3．已知離散型隨機變量X的概率分布列為 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 則其方差D(X)＝(　　) A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4 解析：選C　因為0.5＋

3、m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 4．(2018屆高三·江西八校聯(lián)考)從集合{1,2,3，…，10}中任取5個數(shù)組成集合A，則A中任意兩個元素之和不等于11的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　分組考慮：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)．若A中任意兩個元素之和不等于11，則5個元素必須只有每組中的其中一個，故所求概率P＝＝.故選C. 5．(2017·邯鄲模擬)口袋里裝有紅球、白球

4、、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個球，則2次取出的球的顏色不相同的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　法一：由題意知，基本事件總數(shù)n＝3×3＝9，記事件M為“2次取出的球的顏色不相同”，則事件M所包含的基本事件個數(shù)m＝3×2＝6，所以2次取出的球的顏色不相同的概率P(M)＝＝＝，故選C. 法二：由題意知，所有的基本事件為：紅紅、紅白、紅黑、白紅、白白、白黑、黑紅、黑白、黑黑，共9個，其中2次取出的球的顏色相同的基本事件有3個，所以2次取出的球的顏色不相同的概率為1－＝. 6．(2017·合肥模擬)已知袋中有3個

5、白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，其中每個白球計1分，每個紅球計2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(　　) A. B. C．4 D. 解析：選B　由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 7．設(shè)隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥2)的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵變量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ<1)＝1－Cp0(1－p)2＝，∴p＝，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－

6、P(η＝1)＝1－C×0×3－C×1×2＝1－－＝，故選C. 8．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球成功的概率為p(01.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又

7、由p∈(0,1)，可得p∈. 9．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響，則乙獲勝的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)Ak，Bk(k＝1,2,3)分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)． 記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件與概率計算公式知 P(C)＝P(1B1)＋P(112B2)＋P(11223B3) ＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2

8、)P(2)P(3)P(B3) ＝×＋2×2＋3×3＝. 10．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)從數(shù)字1,2,3,4,5中，隨機抽取3個數(shù)字(允許重復(fù))組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于12的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　從5個數(shù)字中任意抽取3個數(shù)字組成一個三位數(shù)，并且允許有重復(fù)的數(shù)字，這樣構(gòu)成的數(shù)字有53＝125個．則各位數(shù)字之和等于12且沒有重復(fù)數(shù)字，則該數(shù)只能含有3,4,5三個數(shù)字，可構(gòu)成A＝6個三位數(shù)；若三位數(shù)的各位數(shù)字均重復(fù)，則該數(shù)為444；若三位數(shù)中有2個數(shù)字重復(fù)，則該數(shù)為552,525,255，有3個．因此，所求概率為P＝＝，故選A.

9、 二、填空題 11．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，其中k＝1,2,3,4,5,6，則a＝________，E(ξ)＝________. 解析：根據(jù)題意可知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，∴＋＋＋＋＋＝1，∴a＝，E(ξ)＝6a＝. 答案：　 12．(2017·四川綿陽模擬)已知甲、乙二人能譯出某種密碼的概率分別為和，現(xiàn)讓他們獨立地破譯這種密碼，則兩人都能譯出密碼的概率為________，兩人中至少有1人能譯出密碼的概率為________． 解析：兩人都能譯出密碼的概率為×＝.至少有1人能譯出密碼的對立事件是兩人

10、都不能譯出密碼， ∴至少有1人能譯出密碼的概率p＝1－＝. 答案：　 13．(2018屆高三·溫州十校聯(lián)合體期末聯(lián)考)袋中有3個大小、質(zhì)量相同的小球，每個小球上分別寫有數(shù)字0,1,2，隨機摸出一個將其上的數(shù)字記為a1，然后放回袋中，再次隨機摸出一個，將其上的數(shù)字記為a2，依次下去，第n次隨機摸出一個，將其上的數(shù)字記為an，記ξn＝a1a2…an，則： (1)隨機變量ξ2的數(shù)學(xué)期望是________； (2)ξn＝2n－1時的概率是________． 解析：可以求得隨機變量ξ2的分布列如表所示： ξ 0 1 2 4 P 所以隨機變量ξ2的數(shù)學(xué)期望為1；當(dāng)ξ

11、n＝2n－1時，在n次取球中，有(n－1)次取到了2，有1次取到了1，故所求概率是. 答案：1　 14．(2018屆高三·浙江名校聯(lián)考)袋中有大小相同的3個紅球，2個白球，1個黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，則恰有兩次是紅球的概率為________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，則摸到紅球次數(shù)的期望為________． 解析：①每次取1球，摸取3次，則恰有兩次是紅球的概率P＝＝. ②設(shè)摸到紅球的次數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，則每次摸到紅球的概率為＝.P(X＝k)＝Ck3－k，(k＝0,1,2,3)． ∴P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X

12、＝3)＝， ∴E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 15．某班班會，準(zhǔn)備從包括甲、乙兩人的7名學(xué)生中選取4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有1人參加，則甲、乙都被選中且發(fā)言時不相鄰的概率為________． 解析：若無限制條件則有A種情況；若甲、乙兩人都不被選中則有A種情況，因此甲、乙兩人至少有1人被選中有A－A種情況．甲、乙兩人都被選中且發(fā)言時不相鄰共有A·A種情況，故所求概率為P＝＝. 答案： 16．(2017·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2＋x＋2 017，其中m∈{2,4,6,8}，n∈{1,3,5,7}，從這些函數(shù)中任取兩個不同的函數(shù)，則它們的圖象在(1

13、，f(1))處的切線相互平行的概率是________． 解析：函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2＋x＋2 017，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝mx2＋nx＋1，可得在(1，f(1))處的切線斜率為m＋n＋1.切線相互平行，即斜率相等，則(m，n)可為(2,7)，(8,1)，(4,5)，(6,3)；(2,5)，(4,3)，(6,1)；(2,3)，(4,1)；(4,7)，(6,5)，(8,3)；(8,5)，(6,7)，共C＋C＋1＋C＋1＝14組，又總共有C＝120組，則它們的圖象在(1，f(1))處的切線相互平行的概率是＝. 答案： 17.如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正

14、方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于________． 解析：由題意X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝＋2×＋3×＝. 答案： [選做題] 1．經(jīng)檢測，有一批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ＝k)取得最大值時，k的值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：選B　根據(jù)題意得，P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5，則P(ξ＝0)＝C0×5＝，P(ξ＝1)＝C1×4＝，P(ξ＝2)＝C2×3

15、＝，P(ξ＝3)＝C3×2＝，P(ξ＝4)＝C4×1＝，P(ξ＝5)＝C5×0＝，故當(dāng)k＝4時，P(ξ＝k)最大． 2．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1,2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1,2)； (2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1,2)．則(　　) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1

16、)：取m＝n＝3進(jìn)行計算、比較即可． 法二(標(biāo)準(zhǔn)解法)：從乙盒中取1個球時，取出的紅球的個數(shù)記為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1，則P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝＋1，所以p1＝＝；從乙盒中取2個球時，取出的紅球的個數(shù)記為η，則η的所有可能取值為0,1,2，則P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝＋1，所以p2＝＝，所以p1>p2，E(ξ1)

17、、乙、丙三人參加某電視臺的應(yīng)聘節(jié)目《非你莫屬》，若甲應(yīng)聘成功的概率為，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為(00， P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝>0， P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝>0， 又0