《2012年高考數(shù)學 考點25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2012年高考數(shù)學 考點25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
一、選擇題
1. （2012·新課標全國高考文科·Ｔ12）數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，則{an}的前60項和為（ ）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.
【解析】選D. ，
，
…，，，，，
＝.
二、填空題
2.（2012·新課標全國高考理科·T16）數(shù)列滿足=2n-1，則前60項和為
2、
【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.
【解析】，
，
…，，，，，
＝.
【答案】1830.
3. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：
將三角形數(shù)1,3， 6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：
（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項；
（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）
【解題指南】本題考查求數(shù)列通項公
3、式的方法，解答本題可先根據(jù)數(shù)列{an}前項與后項的關(guān)系，求出數(shù)列{an}的通項，再結(jié)合數(shù)列{bn}與{an}的關(guān)系求出數(shù)列{bn}的通項解答本題.
【解析】由圖可知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an-an-1=n(n≥2).
所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=(n≥2),當n=1時,也符合上式,則an=.
當n=4,5,9,10,14,15,19,20,…時,構(gòu)成數(shù)列{bn}的第1,2,3,4,…項,
則可以看出n=5,10,15,20,…時,分別對應(yīng)著{bn}的第2,4,6,8…項.
(1)b2012是數(shù)列{an}中的
4、第5030項;
(2)b2k-1=.
【答案】(1)5030 (2).
4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）對于，將n表示為,當時，當時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.
（1）b2+b4+b6+b8=
（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是
【解題指南】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.本題實際是描述的將一個十進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制，然
5、后找出規(guī)律.
【解析】（1）觀察知；；
一次類推；；
；，，，
b2+b4+b6+b8=３；
（2）由（1）知cm的最大值為２.
【答案】（1）3 （2）2.
三、解答題
5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分）
已知等差數(shù)列{an}前三項的和為-3，前三項的積為8.
（1） 求等差數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.
【解題指南】本題考查兩類數(shù)列的基本運算與性質(zhì),解答本題可先設(shè)出首項和公差,再代入求解.
【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則，由題意知解得，故等差數(shù)列{an}的通項公式為：.
6、
（2）當時，a2,a3,a1分別為-1，-4，2不是等比數(shù)列，所以
當n=1時，數(shù)列的和為：S1=4；當n=2時，數(shù)列的和為：S2=4+1=5；當n3時，
Sn= =
當n=2時,符合上式，所以
6.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分）
某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出
7、與an的關(guān)系式；
（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.
【解題指南】本題考查遞推數(shù)列問題在實際問題中的應(yīng)用，考查運算能力和使用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力.第一問建立數(shù)學模型，得出與an的關(guān)系式，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決.
【解析】（Ⅰ）由題意得，
=4500-d，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
整理得
.
由題意，
解得.
故該企業(yè)每年上繳資金的值為時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為４０００萬元.
7.（2012·江蘇高考·Ｔ20）（本小題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)
8、列和滿足：．
（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值．
【解題指南】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。
（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比.從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出.
【解析】（1）∵，∴。
∴ .
∴ .
∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列.
（2）∵，∴。
.（﹡）
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明
若則，∴當時，，與（﹡）矛盾.
若則，∴當時，，與（﹡）矛盾.
∴綜上所述，。∴，∴.
又∵，∴是公比是的等比數(shù)列.
若，則，于是.
又由即，得.
∴
9、中至少有兩項相同，與矛盾.∴.
∴.
∴ .
8.（2012·廣東高考理科·Ｔ19）（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。
（1） 求a1的值；
（2） 求數(shù)列的通項公式.
（3） 證明：對一切正整數(shù)n，有.
【解題指南】(1)根據(jù)利用,可得到,令n=1，從而得到,再根據(jù)成等差數(shù)列得,三個方程聯(lián)立可解出.
(2)在（1）的基礎(chǔ)上對的兩邊同除以得,
再驗證：也滿足上式，因而對都成立，
然后再利用疊加求和的方法確定,進而確定的通項公式.
(3)解本題的關(guān)鍵是當時，
，然后放縮再利用裂項求和的方法證明即可.
【解析】（1）
兩式相減得
,
10、
又成等差數(shù)列，
即
.
(2)由（1）得
時，
兩邊同除以得
又時，,也滿足上式，
時，，
.
。
(3)當n=1時，;當n=2時，.
當時，
9.（2012·廣東高考文科·Ｔ19）
設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列前項和為，滿足，.
(1)求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式.
【解題指南】 (1)根據(jù)，利用,可建立關(guān)于的方程，即可求出.(2)解本題的關(guān)鍵是
,因為當n=1時，也滿足上式，所以，然后轉(zhuǎn)化為常規(guī)題型來做即可。
【解析】（1）令n=1時，.
(2)
因為當n=1時，也滿足上式，所以
當
兩式相減得
所以
所以
11、
因為,所以數(shù)列是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列，
所以
所以.
10.（2012·安徽高考理科·Ｔ21）(本小題滿分13分）數(shù)列滿足：
（I）證明： 是遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）求的取值范圍，使是遞增數(shù)列.
【解題指南】（1）要證明必要性和充分性；（2）由（I），然后分類討論，根據(jù)作差法去討論的值.
【解析】（I）必要條件
當時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列
充分條件
數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列
得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是.
（II）由（I）得：
①當時
12、，，不合題意
②當時，
當時，與同號，
由
當時，存在，使與異號
與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾
得：當時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
11.（2012·安徽高考文科·Ｔ21）(本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)的前項和為，求。
【解題指南】（1）根據(jù)導數(shù)，的左側(cè)導函數(shù)小于0，的右側(cè)導函數(shù)大于0，求出極小值點；（2）由（I）求出的前項和為，再代入.
【解析】（I）
13、 得：當時，取極小值
得：
（II）由（I）得：
當時，
當時，
當時，
所以
12.（2012·浙江高考文科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.
（1）求an，bn；
（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
【解題指南】由前n項和Sn可求出通項公式，而數(shù)列{an·bn}的通項符合等差與等比數(shù)列乘積的形式,故
14、可用錯位相減法求出.
【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得
當時，
當時，符合上式，所以
由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得.
（2）
∴ ①
②
①-②可得
∴.
13.（2012·山東高考理科·Ｔ20）在等差數(shù)列中，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和.
【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，再利用求出公差d，利用求出通項公式；（2）利用數(shù)列的中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為兩個等比數(shù)列.
【解析】(1) 由得，
所以
.
(2) 對
15、任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，則，即，所以，
于是
，
即.
14. （2012·山東高考文科·Ｔ20）已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ)對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和.
【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列出方程組求出首項和公差；進而求得通項公式.（2）利用數(shù)列的中不大于內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的前n項公式求得.
【解析】(I)由已知得：
解得,
所以通項公式為.
(II)對，若，則，
因此.
∵，
∴是公比為49的等比數(shù)列，
∴.
15. （
16、2012·江西高考理科·Ｔ16）已知數(shù)列{an}的前n項和（其中）,且Sn的最大值為8.
（1）確定常數(shù)k，求an；
（2）求數(shù)列的前n項和Tn.
【解題指南】（1）先求得的值，再利用求，注意驗證首項；
（2）用錯位相減法求和.
【解析】（1）當時，取最大值，即，
故，因此，
從而.又，所以.
（2）因為，
，
所以
16.（2012·江西高考文科·Ｔ17）已知數(shù)列|an|的前n項和（其中c，k為常數(shù)），且a2=4，a6=8a3.
（1）求an；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項和Tn。
【解題指南】（1）利用求，注意驗證首項；
（2）用錯位相減法求和.
【解析】(1)當時，
則
，
，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）
當n=1時，
綜上所述.
(2) ，則
（1）-（2）得
.
2012年高考數(shù)學 考點25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
