【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第18講 多邊形與平行四邊形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第五單元　四邊形 第18講　多邊形與平行四邊形 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．了解多邊形的有關(guān)概念，掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與證明．2．掌握平行四邊形的概念及有關(guān)性質(zhì)和判定，并能進(jìn)行計(jì)算和證明． 3．了解鑲嵌的概念，會(huì)判斷幾種正多邊形能否進(jìn)行鑲嵌. 　　中考命題多以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，主要考查多邊形的邊角關(guān)系、多邊形內(nèi)角和、平面鑲嵌及平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定．另外，平行四邊形常和三角形、圓、函數(shù)結(jié)合起來(lái)命題，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力. 知識(shí)梳理 一、多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì) 1．多邊形的概念 定義：在平面內(nèi)，由一些不在同一直線上

2、的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形． 對(duì)角線：連接多邊形________的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線． 正多邊形：各個(gè)角都________，各條邊都________的多邊形叫做正多邊形． 2．性質(zhì) n邊形過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有________條，共有________條對(duì)角線；n邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_______，外角和為360°. 二、平面圖形的密鋪(鑲嵌) 1．密鋪的定義 用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的________． 2．平面圖形的密鋪 正三角形、正方形、正六邊形都可

3、以單獨(dú)使用密鋪平面，部分正多邊形的組合也可以密鋪平面． 三、平行四邊形的定義和性質(zhì) 1．定義 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形． 2．性質(zhì) (1)平行四邊形的對(duì)邊________． (2)平行四邊形的對(duì)角________． (3)平行四邊形的對(duì)角線__________． (4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形． 四、平行四邊形的判定 1．兩組對(duì)邊分別________的四邊形是平行四邊形． 2．兩組對(duì)邊分別________的四邊形是平行四邊形． 3．一組對(duì)邊________的四邊形是平行四邊形． 4．對(duì)角線相互________的四邊形是平行四邊形． 5．兩組對(duì)角分別__

4、______的四邊形是平行四邊形． 自主測(cè)試 1．正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為(　　) A．120° B．135° C．140° D．144° 2．一批相同的正六邊形地磚鋪滿地面的圖案中，每個(gè)頂點(diǎn)處的正六邊形的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知ABCD的周長(zhǎng)為32，AB＝4，則BC＝(　　) A．4 B．12 C．24 D．28 4．如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，則∠EDF的度數(shù)是__________°.

5、 5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則可添加的條件為_(kāi)_________．(填一個(gè)即可) 6．如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)． 求證：(1)△AFD≌△CEB； (2)四邊形AECF是平行四邊形． 考點(diǎn)一、多邊形的內(nèi)角和與外角和 【例1】某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：多邊形的外角和是360°，不隨邊數(shù)的改變而改變．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是x，由題意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8. 答案：

6、D 方法總結(jié) 要記住多邊形的內(nèi)角和公式，當(dāng)已知邊數(shù)時(shí)，可求內(nèi)角和；當(dāng)已知內(nèi)角和時(shí)，可求邊數(shù)．特別地，正多邊形的每個(gè)外角等于. 觸類旁通1 正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為135°，則該多邊形的邊數(shù)為(　　) A．9 B．8 C．7 D．4 考點(diǎn)二、平面的密鋪 【例2】下列多邊形中，不能夠單獨(dú)鋪滿地面的是(　　) A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形 解析：要解決這類問(wèn)題，我們不妨設(shè)有n個(gè)同一種正多邊形圍繞一點(diǎn)密鋪，它的每一個(gè)內(nèi)角為α，則有nα＝360°，所以n＝360°÷α，要使n為整數(shù)，α只能取60°，90°，120°.也

7、就是說(shuō)只有正三角形、正方形、正六邊形三種正多邊形可以單獨(dú)密鋪地面，其他的正多邊形是不可以密鋪地面的． 答案：C 方法總結(jié) 判斷給定的某種正多邊形能否密鋪，關(guān)鍵在于分析能用于完整鋪平地面的正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起時(shí)，幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角． 觸類旁通2 按下面擺好的方式，并使用同一種圖形，只通過(guò)平移方式就能進(jìn)行平面鑲嵌(即平面密鋪)的有__________(寫出所有正確答案的序號(hào))． 考點(diǎn)三、平行四邊形的性質(zhì) 【例3】如圖，已知E，F(xiàn)是ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC. (1)求證：△ABE≌△CDF； (2)請(qǐng)寫出圖中

8、除△ABE≌△CDF外其余兩對(duì)全等三角形(不再添加輔助線)． 分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知對(duì)邊平行且相等，又BE⊥AC，DF⊥AC，可以利用“AAS”證明△ABE與△CDF全等；(2)圖中有三對(duì)全等三角形，寫出其他兩對(duì)即可． 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠FCD. 又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∴△ABE≌△CDF. (2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF. 方法總結(jié) 1．利用平行四邊形的性質(zhì)可證明線段或角相等，或求角的度數(shù)． 2．利用平行四邊形的性質(zhì)常把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

9、三角形問(wèn)題，通過(guò)證明三角形全等來(lái)解決． 觸類旁通3 如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF. 求證：∠EBF＝∠FDE. 考點(diǎn)四、平行四邊形的判定 【例4】如圖，在ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長(zhǎng)線上，且AE＝AD，CF＝CB. (1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形； (2)若去掉已知條件的“∠DAB＝60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°， ∴∠ADE＝∠CBF＝60°. ∵AE＝AD，

10、CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形． 在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF. ∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF. 又∵DC∥AB，即EC∥AF， ∴四邊形AFCE是平行四邊形． (2)上述結(jié)論還成立． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB. ∴∠ADE＝∠CBF. ∵AE＝AD，CF＝CB， ∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF. ∴∠AED＝∠CFB. 又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB. ∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA， ∴EC綉AF.∴四邊形EA

11、FC是平行四邊形． 方法總結(jié) 平行四邊形的判定方法： (1)如果已知一組對(duì)邊平行，常考慮證另一組對(duì)邊平行或者證這組對(duì)邊相等； (2)如果已知一組對(duì)邊相等，?？紤]證另一組對(duì)邊相等或者證這組對(duì)邊平行； (3)如果已知條件與對(duì)角線有關(guān)，?？紤]證對(duì)角線互相平分． 觸類旁通4 如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG. 求證：GF∥HE. 1．(2012江蘇無(wú)錫)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1 080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．(2012浙江杭州)已知ABC

12、D中，∠B＝4∠A，則∠C＝(　　) A．18° B．36° C．72° D．144° 3．(2012四川巴中)不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是(　　) A．兩組對(duì)邊分別平行 B．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等 C．一組對(duì)邊平行且相等 D．兩組對(duì)邊分別相等 4．(2012湖南懷化)如圖，在ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF＝________.' 5．(2012四川廣安)如圖，四邊形ABCD中，若去掉一個(gè)60°的角得到一個(gè)五邊形，則∠1＋∠2＝__________. 6．(2012貴州銅仁)一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都等于40°，

13、則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__________． 7．(2012廣東湛江)如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，且AE＝CF. 求證：(1)△ABE≌△CDF； (2)四邊形BFDE是平行四邊形． 1．如圖，小陳從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)5米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20°，……，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了(　　) A．60米 B．100米 C．90米 D．120米 2．如圖，在周長(zhǎng)為20 cm的ABCD中AB≠AD，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于點(diǎn)E，則△ABE的周長(zhǎng)為(　　) A．4 cm B．

14、6 cm C．8 cm D．10 cm 3．如圖，ABCD中，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別在CD，BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，則EF的長(zhǎng)為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 4．如圖，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝4，則△CEF的周長(zhǎng)為(　　) A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 5．如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α＋∠β的度數(shù)是(　　) A．180°

15、 B．220° C．240° D．300° 6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于點(diǎn)O.若AC＝6，則線段AO的長(zhǎng)度等于__________． 7．如圖，觀察每一個(gè)圖中黑色正六邊形的排列規(guī)律，則第10個(gè)圖中黑色正六邊形有__________個(gè)． 8．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，AD上的點(diǎn)，∠1＝∠2. 求證：△ABE≌△CDF. 9．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BO＝DO.求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測(cè)試 1．

16、B　2．B　3．B　4．45　5．AD∥BC(或AB＝CD) 6．證明：(1)在ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B.又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)， ∴DF＝CD，BE＝AB. ∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB. (2)在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綉CF.∴四邊形AECF是平行四邊形． 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．8 觸類旁通2．②③　根據(jù)鑲嵌的條件可知單獨(dú)一種圖形，能夠進(jìn)行鑲嵌的有①②③，而正三角形不能只通過(guò)平移來(lái)鑲嵌． 所以只通過(guò)平移方式就能進(jìn)行平面鑲嵌的只有②③. 觸類旁通3． 證明：連接BD交AC于O點(diǎn)．如圖所示．

17、 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AE＝CF，∴OE＝OF. ∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴∠EBF＝∠FDE. 觸類旁通4．分析：要證明GF∥HE，關(guān)鍵是說(shuō)明四邊形EGFH是平行四邊形，本題出現(xiàn)了對(duì)角線，可利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形來(lái)證明． 證明：∵ABCD中，OA＝OC， ∵AF＝CE，AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE. 同理得，OG＝OH. ∴四邊形EGFH是平行四邊形． ∴GF∥HE. 品鑒經(jīng)典考題 1．C　設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：(n－2)·180°＝1 080°，所以n＝8. 2．B　∵四邊形AB

18、CD是平行四邊形， ∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°， ∴∠C＝∠A＝36°，故選B. 3．B　因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，所以B項(xiàng)的條件不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形． 4．4　因?yàn)锳D＝8，所以BC＝8；點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF為△CBD的中位線，則EF＝BC＝4. 5．240°　∠1＋∠2＝2×180°－(180°－60°)＝240°. 6．9　因?yàn)?60÷40＝9，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9. 7．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C. 在△AB

19、E與△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC且AD∥BC. ∵AE＝CF，∴DE＝BF. 又DE∥BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形． 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．C　2．D　3．B 4．A　∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝9.∴∠DAF＝∠AEB. ∵AF是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠DAF. ∴∠AEB＝∠BAF.∴BE＝AB＝6.∴EC＝3. 在Rt△ABG中，AG＝2，∴AE＝4. 易證△ABE∽△FCE，得＝， ∴EF＝2，可證CF＝EC＝3. ∴△CEF的周長(zhǎng)為8. 5．C　6．3　7．100 8．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，AB＝DC. 又∵∠1＝∠2， ∴△ABE≌△CDF. 9．證明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2. 在△ABO和△CDO中， ∵ ∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AO＝CO. ∵BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 8