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1、簡便計算,循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù),解決問題專項訓練,環(huán)形道路上的行程問題本質上講就是追及問題或相遇問題。當二人或二物同時運動時就是追及問題，追及距離是二人初始距離及環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和；當二人或二物反向運動時就是相遇問題，相遇距離是二人從出發(fā)到相遇所行路程和。,環(huán)形路上的行程問題,追及問題,相差路程速度之差=追上時間 追上時間速度之差=相差路程 相差路程追上時間=速度之差,相遇問題,速度之和相遇時間=相遇路程（路程之和） 相遇路程相遇時間=速度之和 相遇路程速度之和=相遇時間,1.甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上跑步，兩人朝相反的方向跑。兩人第一次和第二次相遇間隔40秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑
2、多少米？,甲乙兩人從第一次到第二次相遇共走：,400米,40040=10（米/秒）,106=4（米/秒）,答：乙每秒跑4米。,復習：,2.甲乙兩人同時從A點反向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？,甲走一圈的時間：40080=5（分）,乙走一圈的時間：40050=8（分）,因為5和8的最小公倍數(shù)是40.,所以兩人至少用40分鐘再在A點相遇。,3.如圖，在一圓形跑道上。小明從A點出發(fā)，小強從B點同時出發(fā)，相向行走。6分鐘后，小明與小強相遇，再過4分鐘，小明到達B點，又再過8分鐘，小明與小強再次相遇。問小明環(huán)形一周要多少時間？,分析：
3、,小明走4分鐘的路程相當于小強走6分鐘的路程。,從第一次相遇到第二次相遇小明走了：,4+8=12（分）,小明走12分鐘，小強同樣也走12分鐘，但小強走12分鐘的路程，小明只需走8分鐘。,所以小明走一周要：12+8=20（分鐘）,經(jīng)典題目訓練,1.甲、乙兩運動員在周長為400米環(huán)形跑道上同向競走，已知乙的平均速度是每分鐘80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米處。問幾分鐘后，甲第1次追上乙？,,,,,,,,,,,乙,甲,甲的速度：801.25=100米/分,（400100）（10080）=15（分）,答：15分鐘后，甲第一次追上乙。,同一點出發(fā)， 距離差=跑道長,2 如圖，兩名運
4、動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，45分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？,250分,追上時間速度之差=相差路程,（跑道長）,跑道長：,45（250200）=2250（米）,,相遇路程速度之和=相遇時間,相遇時間：,2250（250+200）=5（分鐘）,答：經(jīng)過5分鐘兩人相遇。,同一點出發(fā)， 距離差=跑道長,3.甲乙從360米的環(huán)形跑道上的同一地點同向跑步。甲每分鐘跑305米，乙每分鐘跑275米。兩人起跑后，第一次相遇在離起點多少米處？,360（305275）=12（分）,甲：30512=3660（米
5、）,共跑的圈數(shù)：3660360=10（圈）60（米）,答：第一次相遇在離起點60米處。,4 下圖是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端。小軍在A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行。他倆第1次在C點相遇，C點離A有50米；第2次在D點相遇，D離B有30米。問這個花園一周長多少米？,小軍,小勇,分析：,第1次相遇兩人合起來走了半周長，從C點開始到D點相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。,小軍：,503=150（米）,半周：150BD(30米),周長：（15030）2=240（米）,答：這個花園一周長240米。,5 已知等邊三角形ABC的周長為360米，甲從A點出發(fā)，按逆時針方向前進，每分鐘走55
6、米，乙從BC邊上D點（距C點30米）出發(fā)，按順時針方向前進，每分鐘走50米。兩人同時出發(fā)，幾分鐘相遇？當乙到達A點時，甲在哪條邊上，離C點多遠？,甲乙兩人的相遇時間：,乙從D到A用的時間：,（3603230）（55+50）=2分,21050=4.2(分),乙到A點時甲走的路程：,554.2=231(米),這時甲在BC邊上，離C點的距離：,36032231=9(米),,90m,6 如圖，一個邊長為100米的正方形跑道。甲從A點出發(fā)，乙從C點出發(fā)都逆時針同時起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他們拐彎處都要停留5秒，當甲第一次追上乙時，乙跑了多少米？,100米,100米,7米/秒,5米/秒,
7、分析：,甲乙相距200米（相差距離）。且甲第一次追及乙要多拐兩個彎。即要多休息5+5=10秒鐘。,甲走的路程乙走到路程=200米,解：設甲純跑步時間為x秒。則乙跑步的時間為x+10秒。,7x5（x+10）=200,x=125,甲跑的路程是：1257=875（米）,當甲跑的800米時用時： 8007+57149.28（秒）又離開A點。 而乙到達A點再離開時用時： 6005+56=150（秒） 因此：從起跑到149.28秒至150秒的間隔內甲乙都在A點。 所以：甲第一次追上乙，此時乙跑了600米。,7 一個圓的周長為1.44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿圓周相向爬行。1分鐘后它們
8、都調頭而行，經(jīng)過3分鐘，它們又調頭而行，依次按照1、3、5、7、（連續(xù)奇數(shù)）分鐘調頭爬行。這兩只螞蟻每分鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，那么，經(jīng)過多少時間，它們初次相遇？再次相遇需要多少時間？,分析：,半圓的周長：1.442=0.72米=72厘米,折返情況如下表：,如果不折返：72（5.5+3.5）=8分鐘,1,3,5,7,9,11,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,所以在15分鐘的那次爬行中，兩只螞蟻在下半圓爬行剛好都是8分鐘。,則它們從出發(fā)到初次相遇經(jīng)過的時間是： 1+3+5+7+9+11+13+15=64分鐘 第一次相遇在下半圓，折返向上半圓爬去，須爬行17分鐘。去掉在下半
9、圓的8分鐘，在上半圓須爬行178=9分鐘。但在上半圓爬行8分鐘就會相遇，因此總時間用去了8+8=16分鐘。 即：在第一次64分鐘相遇后再過16分鐘第二次相遇。 （相遇位置在上半圓）,16,8,8 .三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道的周長均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示的方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運動，甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘20、15厘米。問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米？,,分析： 甲乙爬蟲第一次相遇時，它們位于2號環(huán)形道的上方。它們共爬行了3個“半環(huán)形”。 第二次相遇時它
10、們共爬行了5個“半環(huán)形”。 則相遇時間是：21025（20+15）=15（分） 即：甲爬蟲爬行了：2015=300（米）,9.甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙同時反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問乙跑完一圈用多少秒？,解：設乙跑完一圈用x秒。,答：乙跑完一圈用24秒。,X=24,,,1.有一條長500米的環(huán)形跑道。甲乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，反向而跑，1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則10分鐘后相遇，已知甲跑的比乙快，問甲乙兩人每分鐘各跑多少米？,甲乙速度之和：5001=500（米/分）,甲乙速度之差：50010=50（米）,甲：,答：甲每分鐘跑275米，乙每分鐘跑225米。,（500
11、+50）2=275（米/分）,乙：,500275=225（米/分）,2.小明在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈。已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？,解：設小明跑一圈用x秒。,(x2) 5+(x2) 4=360,X=80,前一半用時：1805=36（秒）,后一半用時：8036=44（秒）,答：小明后一半路程用了44秒。,3.繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā) ，反向而行，小王以4千米/時的速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/時的速度每走50分鐘后休息10分鐘。問兩人出發(fā)后多少時間第一次相遇？,分析：,假設小王走了2小時10分：4
12、2=8（千米）,小張在這段時間走了：,2 (6010)10+1=11（千米）,此時兩人相距：24811=5（千米）,則現(xiàn)在相遇時間：5（6+4）=0.5（小時）=30分,第一次相遇時間：2小時10分+30分=2小時40分。,4.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點相距100米。甲乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒。那么甲追上乙需要多長時間？,分析：,如果不考慮休息時間則甲追上乙需要：,100（5-4）=100（秒）,100秒甲跑了：,5100=500（米）,甲共休息了：,5-1=4（次）410=40（秒）,100秒乙跑了：,4
13、100=400（米）,乙共休息了：410=40（秒）,所以甲追上乙需要100+40=140秒。,5.在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲乙兩人分別以6米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘內甲追上乙多少次？,分析：,16分鐘=960秒,16分鐘甲比乙多走：,960（65）=960米,第一次追上乙只有100米。,所以16分鐘內可以追上：,以后每一次追上要200米。,（960100）200=4（次）60（米）,4+1=5（次）,6.如圖：某單位圍墻外面的小路是邊長300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)。已知甲每分鐘走90米，乙分鐘走70米，問至
14、少經(jīng)過多長時間甲才能看到乙？,分析：,甲追上乙一條邊的時間：,300（9070）=15（分）,15分鐘甲走了：,9015=1350（米）,走的邊數(shù)：,1350300=4.5（條）,15分鐘乙走了：,7015=1050（米）,走的邊數(shù)：,1050300=3.5（條）,,兩人相差一條邊的距離,甲只要再走0.5條邊就和乙在同一條邊上了。就能看到乙了。,經(jīng)過的時間：300590=16分40秒。,7.在一個圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)，反向而行，8分鐘后兩人相遇。再過6分鐘甲到B點，又過10分鐘兩人再次相遇，甲環(huán)形一周需要多少分鐘？,分析：因為第一次相遇到第二次相遇用時：,10+6=16（分鐘
15、）,從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘。所以兩人共行了半圈，即A到B是半圈。,甲走半圈共用了：,8+6=14（分鐘）,甲環(huán)形一周用時：,142=28（分鐘）,8.小張、小王、小李同時從湖邊同一地點出發(fā)，繞湖而行。小張速度是5.4千米/時，小王的速度是4.2千米/時，他們兩人同方向行走，小李與他們反方向行走，半小時后小張與小李相遇，再過5分鐘，小李與小王相遇。那么繞湖一周的行程是多少千米？,分析：半小時后小王落后小張：,5.40.54.20.5=0.6（千米）,小王和小李5分鐘共走了0.6千米。,小王和小李從出發(fā)到相遇共用：30+5=35（分鐘）,繞湖一周的路程：,0.6（355）=4.2（千米）,
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