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安徽省滁州二中高二數(shù)學《222 反證法》教案 新人教A版選修2-2
教學目的：搞清函數(shù)的反證法，了解反證法是間接證明的一種方法，理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題.
教學重點：反證法的解題思想
教學難點：反證法的解題步驟.
教學過程：
用反證法證明否定性命題
例1 已知三個正數(shù) 成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：不成等差數(shù)列.
證明：假設成等差數(shù)列，
則即，
而，即，
，即.
從而，與不成等差數(shù)列矛盾，故不成等差數(shù)列.
點評：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題的反面比較具體，適用反證法.（2）反證法屬于“間接解題的方法”書寫格式
2、易錯之處是“假設”易錯寫成“設”.
二、用反證法證明唯一性問題
例2 一點A和平面.
求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面垂直.
證明：根據(jù)點A和平面的位置關系，分兩種情況證明.
（1）如圖（1），點A在平面內(nèi)，假設經(jīng)過點A至少有平面的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面，平面和平面相交于經(jīng)過點A的一條直線.
因為平面，平面，，所以，在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和直線垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.
（2）如圖（2），點A在平面外，假設經(jīng)過點A至少有平面的兩條垂線AB和AC（B、C為垂足），那么AB、AC是兩條相
3、交直線，它們確定一個平面，平面和平面相交于直線BC，因為平面，平面，，，所以.
在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.綜上，經(jīng)過一點A只能有平面的一條垂線.
三、用反證法證明“至多”或“至少”類問題.
例3 已知，且，求證：方程和中，至少有一個方程有實根
證明：假設兩個一元二次方程都沒有實根，那么它們的判別式都小于零，即，，把代入上式，得，即。這與“任何實數(shù)的平方為非負數(shù)”相矛盾，所以假設不成立。故這兩個方程中，至少有一個方程有實根.
點評；對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法.
常用的“原結(jié)論詞”與“反設詞”歸納如下表：
原結(jié)論詞
至少有一個
至多有一個
至少有個
至多有個
反設詞
一個也沒有
至少有兩個
至多有個
至少有
總結(jié)歸納：
課后練習：設均為實數(shù)，且，求證：
中至少有一個大于零.
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安徽省滁州二中高二數(shù)學《222 反證法》教案 新人教A版選修2-2
