齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt

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1、一、向量空間的基與維數(shù),定義10 設(shè) 是向量空間，如果 個向量 ，且滿足, 4.4 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),,（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基,說明,（3）若向量組 是向量空間 的一 個基，則 可表示為,（2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的最大無關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的 秩.,,解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,二、齊次線性方程組的解空間,則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,（2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則 也是

2、 的解,證明,由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量 所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的， 因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線 性方程組 的解空間,證畢.,基礎(chǔ)解系的定義,三、基礎(chǔ)解系及其求法,線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,現(xiàn)對 取下列 組數(shù)：,依次得,從而求得原方程組的 個解：,下面證明 是齊次線性方程組解空 間的一個基,所以 個 維向量 亦線性無關(guān).,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個基.,說明,解空間的基不是唯一的,解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系,若 是 的基礎(chǔ)解系，則 其通解為,定理11,解,對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚?陣，有,例2 解線性方程組,解,對系數(shù)矩陣施 行初等行變換,即方程組有無窮多解，,其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量.,所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為,故原方程組的通解為,