備戰(zhàn)2014高考數(shù)學(xué)真題集錦《向量的運(yùn)算》

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1、 【三年真題重溫】 1.【2011新課標(biāo)全國(guó)理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題： ：； ：； ：； ：． 其中的真命題是( ) A．， B．， C．， D．， 2.【2011 新課標(biāo)全國(guó)文，13】已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，為實(shí)數(shù)，若向量與向量垂直，則 ． 【答案】 【解析】本題考查向量的基本運(yùn)算和性質(zhì)． ，展開易得． 3.【2010 新課標(biāo)全國(guó)文，2】a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的

2、余弦值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】 C 【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式.因a＝(4,3)，b＝(x,y), 2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12. cos= 4. 【2012 新課標(biāo)全國(guó)】已知向量夾角為 ，且；則 【答案】 【解析】 依題意，可知 【命題意圖猜想】 1. 2011年新課標(biāo)高考理對(duì)向量的考查體現(xiàn)在求向量的夾角和模的運(yùn)算，難度中等，文科則表現(xiàn)在向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單；2010年理科沒有涉及向量問題，而文科考查以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為依托，

3、考查了向量的夾角問題，也為簡(jiǎn)單題.2012年文理為同一道題目，求向量的模，考查向量的數(shù)量積公式和模的運(yùn)算技巧，難度較低，中規(guī)中矩.綜上可知，近三年對(duì)本熱點(diǎn)的考查整體較為簡(jiǎn)單，均未涉及向量的幾何運(yùn)算，故猜想2013年高考題可能給出向量等式，然后借助其幾何含義，利用數(shù)形結(jié)合思想或可借助坐標(biāo)系將向量問題坐標(biāo)化，探求一些最值問題，試題難度會(huì)加大. 2.從近幾年的高考試題來(lái)看，向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，屬于中、低檔題目，常與向量的數(shù)量積運(yùn)算等交匯命題，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)用．同時(shí)又注重對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法的考查

4、．預(yù)測(cè)2013年高考仍將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與應(yīng)用能力． 3.通過對(duì)近幾年高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的考查多為一個(gè)小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)經(jīng)常用到．整個(gè)命題過程緊扣課本，重點(diǎn)突出，有時(shí)考查單一知識(shí)點(diǎn)；有時(shí)通過知識(shí)的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運(yùn)算律等內(nèi)容．預(yù)測(cè)2013年高考仍將以向量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量的平行、垂直為主要考點(diǎn)，以與三角、解析幾何知識(shí)交匯命題為考向． 【最新考綱解讀】 1．向量的線性運(yùn)算 (1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算及其

5、幾何意義． (2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． (3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 2．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意義． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． (3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． (4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 3．平面向量的數(shù)量積 (1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． (3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． (4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)

6、系． 【回歸課本整合】 1、平面向量的數(shù)量積： （1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量. （3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0. （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積. （5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則： ①； ②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞

7、0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； ③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④. 2、向量的運(yùn)算： （1）幾何運(yùn)算： ①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即； ②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同. （2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則： ①向量的加減法運(yùn)算：，. ②實(shí)數(shù)與向量的積：. ③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).

8、 ④平面向量數(shù)量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0. 5、向量垂直的充要條件： .特別地. 【方法技巧提煉】 1.如何利用向量的幾何表示三角形的各種心 向量的幾何表示是高考的熱點(diǎn)問題，特別是用三角形的各種心的向量表

9、示經(jīng)常是命題的素材，常見的結(jié)論如下： ①為的重心，特別地為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心；等于已知AD是中BC邊的中線. ②為的垂心；是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心. ③ 的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線). ④為 的外心. 2.向量與平行四邊形相關(guān)的結(jié)論 向量的加法的幾何意義是通過平行四邊形法則得到，其應(yīng)用非常廣泛.在平行四邊形中，設(shè)，則有以下的結(jié)論： ①通過這個(gè)公式可以把共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量進(jìn)行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形； ②若對(duì)角線相等或鄰邊垂直，則平行四邊形為矩形；對(duì)角線垂直.則平行四邊形為菱形； ③

10、說(shuō)明平行四邊形的四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和； ④，特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似). 3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用 向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn).命題方向有兩點(diǎn)：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 4.向量運(yùn)算問題的兩大處理思路 向量運(yùn)算包括幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算.利用幾何運(yùn)算就是充分利用加法和減法的幾何含義，以及一些具有幾何含義的式子，進(jìn)行化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化向量的計(jì)算.利用坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

11、，即向量問題坐標(biāo)化. 樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系時(shí)，要正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，去計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離等.由于向量作為工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn). 5.如何恰當(dāng)?shù)倪x擇向量的數(shù)量積的公式 求向量的數(shù)量積的公式有兩個(gè)：一是定義式＝；二是坐標(biāo)式.定義式的特點(diǎn)是具有強(qiáng)烈的幾何含義，需要明確兩個(gè)向量的模及夾角，夾角的求解方法靈活多樣，一般通過具體的圖形可確定，因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個(gè)重要途徑.坐標(biāo)式的特點(diǎn)具有明顯的代數(shù)特征，解題

12、時(shí)需要引入直角坐標(biāo)系，明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解.即向量問題“坐標(biāo)化”，使得問題操作起來(lái)容易、方便. 6.如何判斷三角形形狀 給出三角形邊相關(guān)的向量關(guān)系式，判斷三角形的形狀是一個(gè)熱點(diǎn)題型.此類題的關(guān)鍵是對(duì)給定的關(guān)系式恰當(dāng)?shù)娜セ?jiǎn)，變形，整理.最終能夠說(shuō)明三角形的形狀.常用的技巧有： （1）利用向量加減法的運(yùn)算可以合并或分解. （2）利用拆、添、減項(xiàng)等技巧,對(duì)式子進(jìn)行變形化簡(jiǎn). （3）利用一些常見的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】 1．.求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小

13、于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角關(guān)系是鈍角． 2.如果高考單獨(dú)考查向量運(yùn)算，如代數(shù)或幾何運(yùn)算，一般試題難度較低，位置較為靠前，此時(shí)為得全分的題目；如果向量和其他知識(shí)相結(jié)合，考查最值問題，一般以后幾道選擇題出現(xiàn)，難度較大，此時(shí)應(yīng)充分考慮向量的幾何意義或坐標(biāo)法進(jìn)行解決.在利用坐標(biāo)法解決問題時(shí)，可考慮一般問題特殊化，即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算.如果探求一些范圍問題，適當(dāng)?shù)拇禉z驗(yàn)是一個(gè)良策. 【新題預(yù)測(cè)演練】 1.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練】已知向量,且,則實(shí)數(shù) A. B. C.6 D.14 【答案】D 因?yàn)椋?，即，所以，解得。選D. 2.【山東省煙臺(tái)市20

14、12-2013學(xué)年度第一學(xué)期模塊檢測(cè)】 若向量,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A． B． C． D．對(duì)任一向量，存在實(shí)數(shù)，使 3.【天津市新華中學(xué)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考】若向量，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)，則，所以，解得，即，選D. 4.【湖北省黃岡中學(xué)、孝感高中2013屆高三三月聯(lián)合考試】已知兩不共線向量，則下列說(shuō)法不正確的是（ ） A． B． C．與的夾角等于 D．與在方向上的投影相等 5.【安徽省2013屆高三開年第一考】已知向

15、量，且，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，選C 6.【山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期末考試】設(shè)向量，若，則等于 A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以，即。所以，選B. 7.【廣東省華南師大附中2012-2013學(xué)年度高三第三次月考】定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（　?。? （A） （B） （C）或 （D） 【答案】B 【解析】由，，可得，又，所以，從而，故選B． 8.【河南省三門峽市2013屆高三第一次大練習(xí)】.在平面直角坐

16、標(biāo)系中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P（， ）滿足向量在向量上的投影為，則點(diǎn)P的軌跡方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知，==，∴點(diǎn)P的軌跡方程是，故選C. 9.【2013年山東省日照高三一模模擬考試】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中，下列判斷正確的是 A.滿足的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B.滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè) C.的最大值為3 D.的最小值不存在 10.【2012年秋湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考】已知||＝1，||＝，⊥，點(diǎn)R在△PO

17、Q內(nèi)，且∠POR＝30°，＝m＋n (m，n∈R)，則等于（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，＝m＋n，⊥，∴ 又∵，∴故. 11.【廣西百所高中2013屆高三年級(jí)第三屆聯(lián)考】已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，，，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t,的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 12.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)試卷】中，若，則的值為 A.2 B.4 C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)中， 分別是所對(duì)的邊，由 得 即，∴ ∴，即

18、， ∴. 13.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)】如圖，已知在ΔABC中,BC= 2，以BC為直徑的圓分別交AB， AC于點(diǎn)M，N，MC與NB交于點(diǎn)G，若， 則，的度數(shù)為 (A) 135° (B) 120° (C)150。 （D) 105° 【答案】D 【解析】本題考查線段向量的處理能力?？梢砸訠C為x軸建立坐標(biāo)系（圓心為O點(diǎn)），由題數(shù)量積知道分別90°，60°，由平面幾何知道，，且,得角A為75°，從而為105°。 14.【2012年秋湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考】在平面內(nèi)，點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，l1∥l2∥l3（l2在l

19、1與l3之間），l1與l2之間距離為1，l2與l3之間距離為2，且＝·，則△ABC的面積最小值為（ ） A．4 B． C．2 D． 15.【2013年浙江省高考測(cè)試卷】如圖，在四邊形ABCD中，，若，，則( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用特例法是解決本題的好手段，將圖改成右圖所示：，，，，， 則 16.【上海市閘北2013屆高三一模】已知向量，滿足：，且()．則向量與向量的夾角的最大值為 ( ) (A) (B)

20、 (C) (D) 18.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】已知向量夾角為，若，，則 【答案】-10 【解析】∵∴∵ ∴=-10 19.【天津市新華中學(xué)2013屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷】如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 ． 20.【天津一中2012-2013學(xué)年高三年級(jí)一月考】已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，．若，且，則角 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，所?又，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，即，所以，所以. 21.【安徽省2013屆高三開年第一考文】已知O是直線AB外一點(diǎn)，平面OAB上一點(diǎn)C滿足，P是線段AB和OC的交點(diǎn)，則 【答案】3:2 【解析】 ∵P，A，B三點(diǎn)共線∴∴ ∴ 故 所以3:2 22.【北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】在中，，，是的中點(diǎn)，那么 ____________;若是的中點(diǎn)，是（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則的取值范圍是___________. 23.【天津市新華中學(xué)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考】平面上的向量與滿足，且，若點(diǎn)滿足，則的最小值為__________.