流體力學(xué)第a10章.ppt

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1、1,流體力學(xué),暖通教研室 二00七年六月,主講：周傳輝,第十章 相似性原理和因次分析,101 力學(xué)相似性原理,102 相似準(zhǔn)數(shù),103 模型律,104 因次分析法,,,,,3,,如何設(shè)計模型，使原型與模型流動相似 ？ 如何把模型中測量的物理量換算到原型 ？ 相似原理和模型試驗基礎(chǔ),,答案,4,101 力學(xué)相似性原理,“沒有理論的實踐是盲目的實踐；沒有實踐的理論是空洞的理論”,實驗分原型實驗和模化實驗：,原型實驗：現(xiàn)場實物實驗，所有條件均為真實的物理條件。 模化實驗：對真實條件作相似變換，既可放大，也可縮小。,相似：如果兩個同一類的物理現(xiàn)象，在對應(yīng)的時空點，各標(biāo)量物理量的大小成 比例，

2、 各向量物理量除大小成比例外，方向相同，則稱這兩個現(xiàn)象是相似的。,一、幾何相似,幾何相似指的是流動空間幾何相似。,即形成此空間任意相應(yīng)兩線段夾角相同，任意相應(yīng)線段長度保持一定的比例,5,10 1 力學(xué)相似性原理,相應(yīng)線段夾角相同，即：,相應(yīng)的線性長度保持一定的比例：,稱為長度 比例常數(shù),相應(yīng)面積之比為長度單位的平方：,相應(yīng)體積之比為長度的立方：,6,10 1 力學(xué)相似性原理,二、運(yùn)動相似,兩流動運(yùn)動相似，要求兩流動的相應(yīng)流線幾何相似，相應(yīng)點的流速成比例。,v稱為速度比例常數(shù)。,時間比例常數(shù),該式表明原型流動和模型流動實現(xiàn)一個特定流動過程所需時間之比。,加速度比例常數(shù)是速度比例常數(shù)除以時間比

3、例常數(shù)：,只要速度相似，加速度也必然相似。反之亦然。,由于流速場的研究是流體力學(xué)的首要任務(wù)，運(yùn)動相似通常是模型實驗的目的。,7,101 力學(xué)相似性原理,三、動力相似,流體的運(yùn)動相似，要求同名力作用，相應(yīng)的同名力成比例。,同名力是指同一物理性質(zhì)的力。例如粘性力、壓力、重力、慣性力、彈性力。,同名力作用是指原型中，如果作用著粘性力、壓力、重力、慣性力、彈性力。 則模型中也同樣作用著粘性力、壓力、重力、慣性力、彈性力。,相應(yīng)的同名力成比例是指原型流動和模型流動的同名力成比例,式中，v、P、G、I、E分別表示粘性力、壓力、重力、慣性力、彈性力。,幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)。

4、動力相似是決定兩流動運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素。 三者是一個彼此密切相關(guān)的整體，缺一不可。,8,102 相似準(zhǔn)數(shù),設(shè)想在兩相似的水流中，如圖，取兩個相應(yīng)的質(zhì)點n和m，研究這兩個質(zhì) 點所受的粘性力、壓力、重力、慣性力。流體不可壓縮，不存在彈性力。,根據(jù)動力相似條件：,,9,102 相似準(zhǔn)數(shù),現(xiàn)將(a)寫成：,原型水流中所取的質(zhì)點是邊長為Ln的立方體； 模型水流中所取的相應(yīng)質(zhì)點是邊長為Lm的立方體,則兩水流質(zhì)點所受壓差作用分別為,作用于這兩個立方體的慣性力（動量）為：,將以上兩式代入(a)式。得：,即：,稱為流動的歐拉數(shù)，歐拉數(shù)是壓差和慣性力的相對比值。,原型水流和模型水流壓力和慣性力的相似關(guān)系可以寫為：

5、,EunEum，即原型與模型的歐拉數(shù)相等。,結(jié)論：如果兩現(xiàn)象動力相似，那么它們的Eu數(shù)應(yīng)相等。,10,102 相似準(zhǔn)數(shù),由(b）式得,代入（b）式，可得：,再由,稱為弗諾德數(shù)。,弗諾德數(shù)是慣性力與重力的相對比值。,原型水流與模型水流慣性力和重力的相似關(guān)系，可以寫成：,將,得：,即原型與模型的弗諾德數(shù)相等。,11,102 相似準(zhǔn)數(shù),由(c）式,是慣性力與粘性力的比值，,即雷諾數(shù)。,原型水流和模型水流粘性力與慣性力的相似關(guān)系可以寫成： 即原型與模型的雷諾數(shù)相等。,12,102 相似準(zhǔn)數(shù),在高速氣流中，彈性力起主要作用,慣性力與彈性力的比值，以,來表示,則原型與模型的彈性力相似，在消去

6、 l2 以后，得出,根據(jù)氣體動力學(xué)，我們知道：,相似關(guān)系簡化以后,式中E為氣體的體積彈性模量。,這個速度比值就是馬赫數(shù)M。,即彈性力相似，原型與模型的馬赫數(shù)相等：MnMm,13,各種不同力作用下的相似準(zhǔn)則,重力與 浮升力之比,阿基米德數(shù),,浮升力 相 似,7,當(dāng)?shù)貞T性力與 牽連慣性力之比,斯特羅哈數(shù),,諧 時 相 似,6,慣性力與 彈性力之比,馬赫數(shù),FEA,彈性力 相 似,5,壓差與 慣性力之比,歐拉數(shù),PpA,壓 力 相 似,4,慣性力與 粘性力之比,雷諾數(shù),,層流阻 力相似,3,慣性力與 重力之比,弗諾德數(shù),Gmg,重 力 相 似,2,各種力與 慣性力之比,牛頓數(shù),Fma,牛 頓 相 似

7、,1,物理意義,準(zhǔn) 則 數(shù),作用力,相 似 準(zhǔn) 則,,,,,,,,,,,,,,,,,14,102 相似準(zhǔn)數(shù),對某一流動具有代表性的物理量稱為定性量，或叫特征物理量。,比如：在管內(nèi)流動中，斷面的平均速度就是有代表性的速度，我們稱為定性速度。,對于長度的代表性的量，有管內(nèi)徑、外徑和管長度，,管內(nèi)徑就是定性長度（定型尺寸）。,用動力相似的定義得到了相似準(zhǔn)則數(shù)，結(jié)果表明， 兩個流動現(xiàn)象相似，它們的同名準(zhǔn)則數(shù)相等。,下面我們再從流體的運(yùn)動微分方程出發(fā)，用比例代換的方法， 也可以推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則數(shù)。,主要采用的方法是對微分方程進(jìn)行無量綱化，然后通過有量綱的方程與 無量綱的方程之間的對比得到一些準(zhǔn)則數(shù)。,我們

8、以重力作用下的粘性不可壓縮恒定流為例。,15,102 相似準(zhǔn)數(shù),引入無量綱的參數(shù)，,有量綱與無量綱參數(shù)之間的關(guān)系為：,其中L、V、P均為定性的量。,,比如,16,102 相似準(zhǔn)數(shù),由于L、V、P為常數(shù)，可以提到微分項的外邊，即有：,17,102 相似準(zhǔn)數(shù),方程變?yōu)椋?18,102 相似準(zhǔn)數(shù),把常數(shù)整理一下，動量方程通除以V2/L,得：,19,102 相似準(zhǔn)數(shù),無量綱方程組,20,相似準(zhǔn)則數(shù)的確定方法,方程分析法,量綱分析法,物理法則分析法,以 定理為基礎(chǔ),適用于物理方程未知但相關(guān)物理量可以確定的物理現(xiàn)象，主要缺點是相似準(zhǔn)則數(shù)的物理意義不夠明確。,主要方法是列出支配現(xiàn)象的物理法則（或定律），根據(jù)

9、這些法則用特征物理量的冪次表示相應(yīng)的力，由這些力的比值得到動力相似準(zhǔn)則數(shù)。,牛頓第二定律,牛頓粘性定律,壓強(qiáng)公式,用物理法則法導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確，例如Re數(shù)代表慣性力與粘性力之比， Fr數(shù)代表慣性力與重力之比等，只要物理法則運(yùn)用得當(dāng)，導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)便具有代表性。,根據(jù)物理方程的量綱齊次性可對已知方程進(jìn)行量綱為1化，無量綱形式的方程將包含相關(guān)的相似準(zhǔn)則數(shù)。,21,102 相似準(zhǔn)數(shù),如果兩個流動現(xiàn)象是相似的，它們的無量綱量應(yīng)該分別相等，即有：,相似理論中的三大定理：,第一定理： 兩個現(xiàn)象相似，它們的同名相似準(zhǔn)則數(shù)必定相等，即相同名稱的相 似準(zhǔn)則數(shù)分別相等。 第二定理：由定性物

10、理量組成的相似準(zhǔn)數(shù)，相互之間存在著函數(shù)關(guān)系。 第三定理：兩個現(xiàn)象相似的充要條件除了由基本規(guī)律導(dǎo)得的相似準(zhǔn)數(shù)相等以外 還包括單值性條件相似。,22,102 相似準(zhǔn)數(shù),單值性條件：是指把某一現(xiàn)象從無數(shù)個同類現(xiàn)象中區(qū)分開來的條件。單值性 條件包括：幾何相似，邊界條件初始條件相似，以及由單值性 條件所推得的相似準(zhǔn)數(shù)相等。,定理三說明準(zhǔn)則數(shù)之間由于存在函數(shù)關(guān)系，因此相互之間并不是獨立的。 比如：對于不可壓縮流體流動的動力相似，決定流動平衡的四種力， 粘滯力、壓力、重力和慣性力并非都是獨立的，,在決定動力相似的三個準(zhǔn)則數(shù)中Eu，Re，F(xiàn)r，也必有一個是被動的，

11、相互之間存在函數(shù)關(guān)系：Eu=F(Re，F(xiàn)r),對大多數(shù)的流動， 通常Eu數(shù)是被動的準(zhǔn)則數(shù)。,定型相似準(zhǔn)數(shù)：對流動起決定作用的準(zhǔn)則數(shù)，也叫決定性相似準(zhǔn)數(shù)， 也叫同名已定準(zhǔn)則數(shù)。 非定型相似準(zhǔn)數(shù)：被動的準(zhǔn)則數(shù)，也叫被決定的相似準(zhǔn)數(shù)，也叫待定準(zhǔn)則數(shù) 準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系稱為準(zhǔn)則方程。,應(yīng)用這些定理我們就可以組織試驗，整理試驗數(shù)據(jù)，推廣試驗結(jié)果。,,23,102 相似準(zhǔn)數(shù),作業(yè)：102；103；107；1012,例題1： 采用直徑300mm幾何相似的管路，用氣流模型試驗測定直徑600mm 水管的沿程阻力系數(shù)。已知原型水流量Q=0.283m3/s ，水的運(yùn)動粘度=1.01

12、0-6 m2/s ，空氣的運(yùn)動粘度=1.610-5 m2/s ，試求： 模型氣流量。,解：粘 滯 力 起 主 要 作 用， 采 用 雷 諾 準(zhǔn) 則,24,102 相似準(zhǔn)數(shù),解：重力起主要作用，采用佛勞德準(zhǔn)則,分 鐘,例題2：貯水池放空的模型試驗，已知長度比尺 =225 ，打開底部閥門30分鐘， 池內(nèi)水全部 放空，試求原型貯水池放空所需時間，水池示意于 圖。,25,103 模型律,對不可壓縮恒定流，動力相似要求佛羅德數(shù)和雷諾數(shù)相等，,對雷諾數(shù)相等有：,如果實驗采用相同的工質(zhì)，則,即有：,雷諾模型律：原型流動和模型流動的雷諾數(shù)相等,,,26,103 模型律,對于佛羅德數(shù)相等：,重力場只有一個：gn

13、=gm，,通過比較可以發(fā)現(xiàn)，除非取L1，才能同時滿足這兩個準(zhǔn)則數(shù)相等，但L1意味著模型和原型相等，實驗時是很難保證的。,對運(yùn)動粘性系數(shù)應(yīng)滿足：,在模型流動中，要采用一定粘度的流體，這也是很難辦到的。,我們必須要學(xué)會抓主要矛盾，通過分析找出流動起決定作用的是哪種力，保證反映這個力的準(zhǔn)則數(shù)相等，所以實驗一般都是局部相似，這種局部相似所得的結(jié)果往往需要進(jìn)行修正。,,,27,(1) 有壓差作用的管內(nèi)流動：平均流速和沿程損失，在同一水頭作用下與管子是否 傾斜無關(guān)，因此，F(xiàn)r數(shù)（重力相似）可以不考慮，采用雷諾模型律。 (2) 管內(nèi)流動的粗糙問題：由于管壁摩擦作用成為主要因素，在幾何相似的設(shè)計中 要考

14、慮管壁粗糙度相似，即管壁的絕對粗糙度K也應(yīng)保持同樣的長度比例常數(shù),即：原型相對粗糙度與模型的相等。,(3) 具有自由面的流動：無論是流速的變化還是水面的波動，都強(qiáng)烈地受重力的作 用一般采用弗諾得模型律。,(4) 等溫射流：重力與浮力平衡，采用歐拉模型律。,(5) 非等溫射流：重力與浮力不平衡，采用阿基米德模型律，在弗諾得準(zhǔn)則數(shù)的 基礎(chǔ)上，相差一個乘數(shù) 其中為流體密度與外界介質(zhì)密度之差，,103 模型律,為流體密度，由狀態(tài)方程可知：,阿基米德數(shù)為：,28,103 模型律,自模擬區(qū)：,當(dāng)某一相似準(zhǔn)數(shù)在一定的數(shù)值范圍內(nèi)，流動的相似性和該準(zhǔn)則數(shù)無關(guān)，也就是說即使原型和模型的該準(zhǔn)則數(shù)不相等，流

15、動仍然保持相似。 比如：管內(nèi)流動，當(dāng)Re數(shù)很大時，紊流變?yōu)橥⑽闪?，流動進(jìn)入阻力平方區(qū)。阻力 系數(shù)與Re數(shù)無關(guān)了，這時模型設(shè)計可以不受模型律的制約，因為，Re數(shù)等于10萬和20萬，二者仍然還是相似的。因此，在做這類試驗的時候，盡可能提高Re數(shù)，使流動進(jìn)入阻力平方區(qū)。,這種現(xiàn)象我們叫自?；串?dāng)Re大于某一個臨界Re以后， 即使模型和原型的Re數(shù)不相等，二者也是相似的。,29,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,一、因次分析的概念和原理,因次（量綱）：物理量的性質(zhì)和類別。比如：長度L,質(zhì)量M.,一種因次往往包含許多種單位,L：米、厘米、毫米等等。,因次分類,基本因次：

16、某一物理現(xiàn)象中，不存在任何聯(lián)系的、性質(zhì)不同 的因次（即不能通過其他因次推導(dǎo)出來）。 比如：流體力學(xué)的基本因次為： 質(zhì)量長度時間溫度。MLT. 導(dǎo)出因次：由基本因次導(dǎo)出的因次。 比如：速度LT-1，力MLT-2,,,,,,,,dim V = LT -1,dim g =LT -2,,30,因次分析法：通過對現(xiàn)象中物理量的因次以及因次之間相互聯(lián)系的各種性質(zhì)的分析 來研究相似性的方法。,因次分析法是研究相似性的另一種方法，它是以方程式的因次和諧性為基礎(chǔ)的。,因次和諧性：在完整的物理方程式中各項的因次應(yīng)具有相同的性質(zhì)。,只有兩個同類型的物理量才能相加減

17、，即相同因次的量才能相加減。,一個方程式中各項的量綱必須是相同和一致的。,但是，不同類型的物理量卻可以相乘，從而得到用導(dǎo)出因次表示的另一類物理量。比如：速度x質(zhì)量動量。,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,31,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,因次和諧性的重要性,1、一個方程式在因次上是和諧的，則方程的形式不隨 因次單位的改變而變化。因次和諧性可用來檢驗 新建方程式或經(jīng)驗公式的正確性和完整性。 比如：伯努利方程，每一項的單位都是米， 如果換成英尺，方程的形式不會改變,3、可用來建立物理方程式,32,104 因次分析法（Dime

18、nsional Analysis）,一、定理（The Pi Theorem ）：,定理：任何一個物理過程，如果包括有n個物理量，涉及m個基本因次，則這個物理過程可由n個物理量組成的（nm）個無因次量所表達(dá)的關(guān)系式來描述。在使用時因這些無因次量用來表示，因此，把這個定理稱為定理。,用數(shù)學(xué)語言來表示：,影響物理過程的n個物理量為：x1，x2，xn 這個過程可用一個完整的函數(shù)關(guān)系表示：f（x1，x2，xn）0。 這些物理量中有m個基本因次，則由定理知，這個物理過程可用nm個無因次的量來描述。即關(guān)系式為：f（1，2，nm）0。然后，在變量x1，x2，xn中選取m個因次獨立的量作為重復(fù)變量，連同其他的x

19、i量中的一個變量組成每一個i，再通過無因次的條件，確定各個表達(dá)式的指數(shù)值。,較早提議做量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877），而奠定量綱分析理論基礎(chǔ)的 是白金漢(E.Buckingham,1914），他提出了定理。,33,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,推導(dǎo)有壓管流中的壓強(qiáng)損失計算式,根據(jù)試驗我們知道：壓強(qiáng)損失與管長，管徑，管壁粗糙度以及流體的粘性系數(shù)，密度，平均流速等有關(guān)。即：,有7個量，這其中的基本因次為3（L、M、T）個，我們就取三個作為重復(fù)的量，具體取哪三個，還要看它們的指數(shù)行列式不能為0。,下面我們?nèi)。?管徑、平均速度、密度作為重復(fù)變量。,

20、方程的個數(shù)為734,34,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,將各量的因次代入，寫出因次公式,對每一個方程寫出因次和諧方程組：,35,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,最后解得：,代入上面的表達(dá)式，得：,根據(jù)定理可得：,函數(shù)的具體形式由試驗確定，對管流一般處理成：,36,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,說明 量綱分析法看起來簡潔明了，要正確應(yīng)用卻并不容易，關(guān)鍵在第一步。若遺漏了必需的物理量將導(dǎo)致錯誤結(jié)果，而引入無關(guān)的物理量將使分析復(fù)雜化。要正確選擇物理量需掌握必要的流體力學(xué)知識和對研究對象的感性認(rèn)識，并具

21、有一定的量綱分析經(jīng)驗。 量綱分析的結(jié)果主要用于指導(dǎo)實驗。上例中原來有7個變量，若通過實驗確定 式中的f,按每個變量改變10次獲得一條實驗曲線計算，共需106次實驗，而且其中要改變10次和，實際上難以實現(xiàn)。經(jīng)量綱分析后變量減少為4個，為確定函數(shù)關(guān)系只需要103次實驗，而且通過改變速度,便可實現(xiàn)，實驗量已大大減少。,37,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,二、瑞利法,定理：假定物理量y是物理量x1，x2，xm的一個函數(shù)yf（x1，x2，xm）。 則y的因次等于x1，x2，xm的因次的冪乘積， 即：,推論：,其中C0為無因次比例常數(shù)。,根據(jù)瑞利

22、法，我們可以把單位管長上的壓強(qiáng)降設(shè)為：,方程的因次應(yīng)該是和諧的，即有：,于是有：,38,104 因次分析法（Dimensional Analysis）,三個方程有5個未知數(shù)，這時我們可以選2個是待定的指數(shù)， 比如選c1和c4作為待定指數(shù)。,于是有：,因次計算公式為,整理為：,10-1. 加 熱 爐 回 熱 裝 置 的 模 型 尺 寸 為 實 物 的1/5， 已 知 回 熱 裝 置 中 的 煙 氣 的 運(yùn) 動 粘 度=0.72x10-4m2/s， 流 速 為v=2m/s， 用 空 氣 進(jìn) 行 模 型 試 驗， 空 氣 的 運(yùn) 動 粘 度 為a=15.7x10-6m2/s， 試 求 模 型

23、 中 的 流 速。 解： 粘 滯 力 起 主 要 作 用， 采 用 雷 諾 準(zhǔn) 則,10-2 無 限 空 間 的 液 體 中 壓 力 波 的 傳 播 速 度C 取 決 于 液 體 的 彈 性 模 量E、 密 度， 試 用 量 綱 分 析 法 求 波 速C 的 表 達(dá) 式。,解：,K為 常 數(shù),寫 出 量 綱 式,按 量 綱 和 諧 原 理 定 指 數(shù) 得：,解：,10-3. 已 知 圓 球 繞 力 阻 力D 與 球 的 直 徑d， 來 流 速 度U0， 流 體 的 密 度、 動 力 粘 度 有 關(guān)， 試 用 定 理 推 求 阻 力D 的 表 達(dá) 式。,選d,U0, 為 獨 立 基

24、本 量 綱， 可 以 組 成5-3=2 個 項,對1寫 成 量 綱 式,按 量 綱 和 諧 原 理 求 指 數(shù)， 對,聯(lián) 立 求 解 得，,所 以,，阻 力,或,令,則,CD稱 為 阻 力 系 數(shù)， A為 球 在 來 流 方 向 投 影 面 積。,43,10-4. 用模型在風(fēng)洞中吹風(fēng)的辦法確定汽車的空氣動力阻力（如圖示），已知車高h(yuǎn)=1.5m，最大風(fēng)速vp=108000m/h， 風(fēng)洞中模型吹風(fēng)速度vm=45m/s，原型與 模型的物理特性一致。 試求： 1、 為 保 證 粘 滯 力 相 似， 模 型 尺 寸 應(yīng) 為 多 少？ 2、 模 型 所 受 阻 力=14.7N， 汽 車 所 受 的 正 面 阻 力 是 多 少？,解：1、 粘滯力相似， 采用雷諾準(zhǔn)則,阻 力,2、,