上海市高三數(shù)學 兩角和與差的余弦復(fù)習課件 滬教

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1、復(fù)習復(fù)習1.三角比的定義三角比的定義 2.同角三角比的關(guān)系同角三角比的關(guān)系 1cossin22 22sec1 tg 22csc1 ctg1cscsin 1seccos1 ctgtg tg cossin ctg sincosry sinrx cosxytg yxctg xr secyr csc 是是 角的余弦值，角的余弦值，不能簡單的應(yīng)用分配律用不能簡單的應(yīng)用分配律用“cos”乘以乘以 乘以乘以 )cos()(coscos)cos(引入引入 是否成立？是否成立？coscos)cos(答：將答：將 代入上式，代入上式，0,2左邊左邊右邊右邊02cos)02cos(10cos2cos問題：問題：因此

2、因此 cos(-）cos-cos一、作（一、作（）角）角 1.1.在坐標系中作在坐標系中作單位圓單位圓,推導(dǎo)推導(dǎo)cos(-)公式公式 oYX 單位圓就是以原點為圓心單位圓就是以原點為圓心,以以1為半徑的圓為半徑的圓3.3.（-）角的始邊是）角的始邊是OQOQ，終邊是，終邊是OPOPPQ11-1-12.作作任意任意角角角角,終邊分別與單位終邊分別與單位圓相交于圓相交于P P，Q Q兩點。兩點。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，推導(dǎo)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，推導(dǎo)cos(-)公式公式oYXPQ 推導(dǎo)推導(dǎo)cos(-)公式公式 二、旋轉(zhuǎn)（二、旋轉(zhuǎn)（-）角）角6.全等，有全等，有OQP,/PQO/QPPQ 5.點移到

3、，點移到。點移到，點移到。/Q/PP/Q/4.4.將將 角繞角繞O O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn) 角角)(/QPPQ 重要的發(fā)現(xiàn)重要的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)推導(dǎo)cos(-)公式公式oYXP(cos(),sin(-)(1,0)三、分析四個點的坐標三、分析四個點的坐標 sin1,cos1 ppyxsin1,cos1QQyxP點坐標為：點坐標為：)sin,(cos Q點坐標為：點坐標為：)sin,(cos )sin(1),cos(1/PPyx P/點的坐標點的坐標：)sin(),(cos()0,1(Q/點的坐標為：點的坐標為：Q)sin,(cos)sin,(cos P/Q/QPPQ 重要的發(fā)現(xiàn)重要的發(fā)現(xiàn)222/0)sin(1)

4、cos(QP推導(dǎo)推導(dǎo)cos(-)公式公式oYX兩點間距離公式兩點間距離公式：22122121)()(yyxxPP )(sin1)-2cos(-)-(cos22)cos(22222)sin(sin)cos(cosPQ2222sinsinsin2sincoscoscos2cos)sinsincos(cos22)cos(22)sinsincos(cos22由由 得到：得到：/QPPQ P/(cos(),sin(-)Q/(1,0)四、演算四、演算/QPPQ 因此因此cos(-)=coscos+sinsinQ(cos，sin)P(cos,sin)/QPPQ 重要的發(fā)現(xiàn)重要的發(fā)現(xiàn)Wonderful!它的關(guān)

5、鍵四步是：它的關(guān)鍵四步是：推導(dǎo)過程回顧推導(dǎo)過程回顧 兩角差余弦公式推導(dǎo)思路是兩角差余弦公式推導(dǎo)思路是,構(gòu)造構(gòu)造(-)(-)角，將角，將(-)(-)角旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)-，由由|PQ|=|P|PQ|=|P/Q Q/|，得到兩角差余弦公式。，得到兩角差余弦公式。這個推導(dǎo)方法稱為圖形構(gòu)造法。這個推導(dǎo)方法稱為圖形構(gòu)造法。P/(cos(),sin(-)Q/(1,0)XoYQ(cos，sin)P(cos,sin)3.3.四個點的坐標分別是四個點的坐標分別是 2.2.將（將（-）角繞）角繞O O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)-角；角；)cos(22)sinsincos(cos22 4.4.由由|PQ|=|P|PQ|=|P/Q Q/|

6、，得到得到)sin(),(cos(),0,1(/PQ)sin,(cos),sin,(cosQPcos(-)=coscos+sinsin1.1.作（作（-）角；）角；/QPPQ 重要的發(fā)現(xiàn)重要的發(fā)現(xiàn)公式說明公式說明 兩角差的余弦公式 1.,1.,角是任意角，（角是任意角，（-）也是任意角。）也是任意角。2.兩角差的余弦公式中，前面是兩角差的余弦公式中，前面是“號號”，后面是，后面是“號號”。3.cos（-）的展開式是兩個同名三角弦乘積的和。）的展開式是兩個同名三角弦乘積的和。說明：說明：cos(-)=coscos+sinsin練習1.計算：(1)(2)(3)15cos10sin53sin10co

7、s53cos課堂練習：課堂練習：20sin80sin20cos80cos 46222232221sin45sin60cos45cos60)4560cos(解：原式)3045cos(15cos（方法二）30sin45sin30cos45cos462 2160cos)2080cos(解：原式02cos)10106cos()1053cos(解：原式由于由于兩角差余弦公式是對兩角差余弦公式是對任意的任意的,角角都成立，都成立，問題：問題：cos(+)=?兩角和余弦公式的推導(dǎo)兩角和余弦公式的推導(dǎo))sin(sin)cos(cos)(cos()cos(sinsincoscos 兩角和的余弦公式：兩角和的余弦

8、公式：cos(+)=coscos-sinsinsinsincoscsin)sin(cos)cos()cos()(cos)cos(os兩角差的余弦公式：兩角差的余弦公式：cos()=coscossinsin方法二：方法二：+=（)方法一：方法一：+=()課堂練習：課堂練習：練習練習2.2.計算：計算：(1)(2)(3)105cos解：（1）)4560cos(105cos45sin60sin45cos60cos 4622223222115sin15cos224622122232230sin135sin30cos135cos)30135cos(105cos（方法二）42sin18sin42cos18

9、cos解：（2）42sin18sin42cos18cos2160cos)4218cos(解：（3）15sin15cos2215sin15sin15cos15cos2330cos)1515cos(例題已知例題已知求求9030,53)30cos(cos課堂練習：課堂練習：練習練習3.化簡：化簡：(1)(1)(2)sin)sin(cos)cos(30sin)30sin(30cos)30cos()cos(sin)sin(cos)cos(cos解：解：30)30cos(30sin)30sin(30cos)30cos(cos解：解：60300,9030 54)53(1)30(cos1)30sin(22解：

10、解：30sin)30sin(30cos)30cos(30)30cos(cos1043321542353展開，求方程的解，能解決問題？展開，求方程的解，能解決問題？正確的思路正確的思路:（30300 0）30300 0這種方法稱為角變換方法，關(guān)鍵是這種方法稱為角變換方法，關(guān)鍵是 30)30(小結(jié)：小結(jié)：1.兩角差的余弦公式推導(dǎo)的關(guān)鍵四步：兩角差的余弦公式推導(dǎo)的關(guān)鍵四步：3.3.兩角和的余弦公式兩角和的余弦公式:2.2.兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式:4.“角變換角變換”數(shù)學方法數(shù)學方法：（1 1）作（作（-）角；）角；（2 2）將（）將（-）角繞）角繞O O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)-角；角；（3 3）分析

11、四個點的坐標分析四個點的坐標（4 4）由）由|PQ|=|P|PQ|=|P/Q Q/|cos(-)=coscos+sinsincos(+)=coscos-sinsin如如=（300）300 （）作業(yè)：作業(yè)：1.1.練習冊：練習冊：P15 4P15 4(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)2.補充題：補充題：1已知已知 求的值。求的值。2已知已知 求求 。31)cos(22)cos(cos)sin(sin cos9030,135)30cos(例題例題.已知已知 求求 解解：例題講解：例題講解：9030,53)30cos(cos56sincos353sin21cos235330sinsin30coscos53)30cos(221cos1sincostt令cos356-12t移項得)(025113512433562)56(12222ttttt兩邊平方得：25256251144)3512(2上式方程中：1043342252563512)(2,1t式方程的解是：此時還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，討論此時還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，討論這兩個根的取舍。這兩個根的取舍。因此這種解法不是一個好方法。因此這種解法不是一個好方法。思考：用什么方法解這一題？思考：用什么方法解這一題？