線性代數(shù)齊次線性方程組

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1、第二節(jié) 齊次線性方程組,一 齊次線性方程組解的性質(zhì),三 應(yīng)用舉例,二 基礎(chǔ)解系及其求法,、解向量,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),則上述方程組（1）可寫(xiě)成向量方程,若,稱為方程組（1）的解向量，,它也就是向量方程的解,、齊次線性方程組解的性質(zhì),（1）若 為 的解，則,也是 的解.,（2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則,也是 的解,易知，方程組的全體解向量構(gòu)成一個(gè)向量空間，,則,使得方程 成立，,稱其為齊次線性方程組的解空間,、基礎(chǔ)解系的定義,二、基礎(chǔ)解系及其求法,基礎(chǔ)解系，則方程組的通解可表示為：,方程組的解空間N(A)中，它的某一個(gè)部分組,線性相關(guān).

2、,線性無(wú)關(guān)；,則稱為齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系.,滿足：,如果為齊次線性方程組的,其中為任意實(shí)數(shù).,注：基礎(chǔ)解系為解空間的一組基,、線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r，,量線性無(wú)關(guān),因此，的前r個(gè)行向,又任意r+個(gè)行向量線性相關(guān)，所以齊,即（）中的前r個(gè)方程與（）同解.,（）,并不妨,設(shè)的左上角r階子式,次線性方程組的m-r個(gè)方程多余.,所以對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換，將其化為行標(biāo)準(zhǔn)形,所以,即,（）,于是，（）的全部解就可以寫(xiě)成,根據(jù)向量的運(yùn)算法則，（）可以整理成為：,令（）為,（）,（）,則（）就為方程組的通解.,如果,為齊次線性方程組（）的一個(gè),基礎(chǔ)解系.,、證

3、明,線性無(wú)關(guān).,由于n-r個(gè)n-r維列向量,線性無(wú)關(guān)，,所以n-r個(gè)n維向量,、證明解空間的任一解都可由,線性表示.,設(shè),為某一解向量，,再構(gòu)造,的一個(gè)線性組合：,亦線性無(wú)關(guān).,下證,是線性方程組的一組基礎(chǔ)解系.,由于 是 的解，故也是的解.,易知：方程組的前r個(gè)未知量可由后nr個(gè)未知量,唯一確定.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基.,說(shuō)明,、解空間的基不是唯一的,、解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系,、任n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成基礎(chǔ)解系,定理,n元齊次線性方程組 的全體解所構(gòu)成的,集合N(A)是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為r時(shí)，解空,間N(A)的維數(shù)為n-r.,當(dāng) 時(shí)，線性方

4、程組必有含n-r個(gè)向量的基,解系（此時(shí)解空間只含有零向量，稱為維向量空間）,當(dāng)時(shí)，線性方程組只有零解，故沒(méi)有基礎(chǔ),礎(chǔ)解系，此時(shí)線性方程組的解可以表示為,其中為任意實(shí)數(shù)，解空間可以表示為,解,把系數(shù)矩陣用初等行變換變成為,,例1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.,三、應(yīng)用舉例,所以,基礎(chǔ)解系為,所以線性方程組的通解為,例2齊次線性方程組,只有零解，,則滿足（）.,,例3設(shè)n階矩陣的各行元素之和為0，且秩為,的通解為_(kāi)______________.,n-1，則線性方程組,分析：,則,的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)向量.,設(shè),的第個(gè)方程為,又矩陣的各行元素之和為0，即,為它的一個(gè)解向量.,的通解為,例4設(shè)三階矩陣，且的每一列均為方程,的解，,（）求.,（）證明,解（）因?yàn)椋业拿恳涣芯鶠榉匠痰慕猓?所以方程組有非零的解，即方程組的系數(shù)行列式等于零.,（）當(dāng)時(shí)，方程組的矩陣為,所以,則線性方程組基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為321個(gè)，,例5設(shè)A為mn的矩陣，證明：r(A)=r(ATA),分析：A為mn的矩陣，則ATA為nn的矩陣,r(A)=r(ATA)dimN(A)=dimN(ATA),事實(shí)上，AX=0與ATAX=0同解,I. 若AX0=0，則ATAX0=0,II. 若ATAX1=0 ，則X1TATAX1=0，即,(AX1, AX1)=0 AX1=0,