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1、1 定積分的概念,在很多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題中，經(jīng)常需要,求一類(lèi)特殊的和式的極限，這類(lèi)特殊,的和式的極限問(wèn)題導(dǎo)出了定積分的概,念.,三個(gè)典型問(wèn)題,S (A), 其中,2. 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，求從時(shí),3.已知非勻速分布線狀物體的密度函數(shù),求線狀物體的質(zhì)量 m .,顯然,,這就是說(shuō),在“常值”、“均勻”、“不變”的情況下，,刻 a 到時(shí)刻 b，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程 s.,可以用簡(jiǎn)單的乘法進(jìn)行計(jì)算. 而現(xiàn)在遇到的問(wèn)題,以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類(lèi)問(wèn)題,中心思想：,是“非常值” 、“不均勻”、“有變化”的情形，如何,來(lái)解決這些問(wèn)題呢？,合理地歸為一類(lèi)特殊的和式的極限.,把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊
2、梯形之和，每,個(gè)小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來(lái)替,代，雖然為此會(huì)產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)的,一分為二,時(shí)候，矩形面積之和就越來(lái)越接近于曲邊梯形面,積.,一分為四,一分為八,一分為 n,可以看出小矩形面積之和越來(lái)越接近于曲邊,梯形的面積.,過(guò)程呢？ 可以分三步進(jìn)行.,1. 分割：把曲邊梯形 A 分成 n 個(gè)小曲邊梯形,如何嚴(yán)格地定義這一越來(lái)越逼近曲邊梯形面積的,2.近似:,3. 逼近：不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是,S 總有差別. 當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，和式,問(wèn)題是：,越細(xì)？,就會(huì)越來(lái)越小.,下面依次討論這兩個(gè)問(wèn)題.,來(lái)表示分割 T 越來(lái)越細(xì),因?yàn)榭赡苣承?的長(zhǎng)度不趨于 0 .,,就能
3、保證分割越來(lái)越細(xì).,總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.,對(duì)于另外兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題,也可類(lèi)似地歸結(jié)為黎曼和,的極限.,定義1,并稱(chēng) J 為 f 在 a,b上的,及任意,定積分,記作,注1,列極限，也不是函數(shù)極限.,注2,中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時(shí),顯然要求,因此定積分既不是數(shù),關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,f (x)在每個(gè)小區(qū)間 xi1, xi 上變化不大, 這相當(dāng)于,要求 f (x) 有某種程度上的連續(xù)性.,a, b 上的一致連續(xù)性, 可證 f (x)在a, b上可積.,下面舉例來(lái)加深理解用定義求定積分的方法.,解,例1,存在. 為方便起見(jiàn),令,以后將知道 f (x) 在a, b 上連續(xù)時(shí), 利用 f (x) 在,則,此時(shí)黎曼和的極限化為,的極限.,于是,注 這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因?yàn)榭煞e,所,以可取特殊的分割(等分)和特殊的介點(diǎn),
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